Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Цель: исследовать данные ряды на сходимость.

 

Числовые ряды

О: Числовым рядом называют выражение вида , где  -члены ряда; U_n –общий член ряда.

I. Схема исследования на сходимость положительных числовых рядов.

 

1. Выписать 3 первых члена ряда.
2. Проверить выполнение необходимого условия сходимости (н.у.с.) ряда, т.е.

           НУС выполнено                                              НУС не выполнено

     Продолжить исследования,                                  Вывод: ряд расходится

      Применив один из трёх признаков:

1. признак сравнения
2. признак Коши
3. признак Даламбера

 

Сделать вывод.

Т1: (признак сравнения) пусть ряды (1)  и (2) - положительные и

Тогда    1) если ряд (1) расходится, то ряд (2)-расходиться.

              2) если ряд (2) сходится, то ряд (1)-сходиться.

 Т2: (признак сравнения) пусть ряды (1)  и (2) - положительные и существует , тогда ряды (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.

Замечание.

1) Удобно ввести сравнение с гармоническим рядом.

2) Формулы эквивалентности:

а) ~arcsinx~arctgx~e^x-1~ln(x+1)~x,

б) a^x-1~xlna,

в) log_a(1+x)~

3) ”шкала роста функций”

ln n <<eⁿ<<n!<<nⁿ,

(*)

Т3: (признак Коши) Пусть ряд -положительный и . Тогда:

1. Если К>1, то ряд расходится.
2. Если К<1, то ряд сходится.
3. Если К=1, то необходимы дополнительные исследования.

Т4: (признак Даламбера) Пусть ряд  положительный и . Тогда:

1. Если Д<1, то ряд сходится.
2. Если Д>1, то ряд расходится.
3. Если Д=1, то необходимы дополнительные исследования.

II. Схема исследования знакочередующихся рядов.

 

1. выписать 3-4 первых члена ряда.
2. исследовать на абсолютную сходимость. Составить ряд из модулей  (4) и исследовать его на сходимость (см. схему исследования I.).

 

 

(4) сходится                                                                                                (4) расходится

Вывод: (3) сходится абсолютно                                                          Вывод для ряда (3)

нет абсолютной сходимости

 

                                                                                                                      исследовать ряд (3) на условную сходимость, применив признак Лейбница

Т5: (признак Лейбница) Ряд  сходится, если:

1.  монотонно убывает, т.е.  

2.

Функциональные ряды (степенной ряд).

О: Ряд вида  - называется степенным.

Замечание.

Ряд вида  сводится к ряду (5) заменой

III. Схема исследования степенного ряда.

 

1. Найти радиус сходимости степенного ряда по формулам:

 или

1. Указать интервал сходимости ряда:

                                сходится

      расходится                           расходится

                             -R  0   R                                 х

1. Исследовать ряд на концах интервала сходимости, т.е. при х=R и х=-R.
2. Записать ответ.

Замечание.

1. если R=0, то ряд (5) сходится только в точке х=0.

2. если , то ряд (5) сходится всюду .

Практическая часть.

Пример 1.

Исследовать на сходимость положительный ряд.

А)

Решение.

Обратимся к схеме (I).

Проверим выполнение н.у.с.

, т.е. н.у.с. выполнимо.

Продолжим исследование, применив признак сравнения (Т2). 

 сходится, т.к. это гармонический ряд (р=2>1) I  данный ряд сходится.

Б)

Решение:

обратимся к схеме I.

Проверим выполнение н.у.с.

, т.е. н.у.с. выполнилось.

Продолжим исследование, применив признак сравнения (Т1).

 расходится как гармонический ряд с р=1/2<1 данный ряд расходится.

В)

Решение:

Обратимся к схеме I.

Т.к. проверка н.у.с.

 вызывает затруднение, то применим достаточный признак сравнения числового ряда, а именно признак Даламбера.

ряд сходится.

Пример 2. Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость.

А)

Решение: обратимся к схеме II.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Составим ряд из модулей.

 - расходится как гармонический с р=1.

для данного ряда нет абсолютной сходимости.

Исследуем ряд на условную сходимость. Применим признак Лейбница:

1) ;

2)

Т.к. условия признака Лейбница выполнены, то данный ряд сходится условно.

Пример 3. Найти радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

Решение: Обратимся к схеме III: т.к.  то

1)

2) Интервал сходимости ряда:

                               сходится

      расходится                           расходится

                           -1  0     1                                   х

(-R;R)=(-1;1)

3) Исследуем сходимость ряда в точках x=-1 и х=1:

х=1

сходится как гармонический с р=2>1.

х=-1

сходится абсолютно.

Ответ: R=1; интервал сходимости [-1;1]