Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) ДГТУ в г. Азове

Факультет среднего профессионального образования

Краткий конспект лекций

 

По дисциплине                                                  Математика

                                                  

По специальности                      15.02.08 Технология машиностроения

                                                                   

 

Составитель

Преподаватель первой категории

Н.М. Булда

 

Азов

2018

 

Теоретическая часть.

Тема: Определители. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Цель: Научиться выполнять различные операции над матрицами и вычислять определители, решать СЛАУ методом Крамера.

О:   Матрицей размерности m × n называется прямоугольная таблица действительных чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы обозначаются большими латинскими буквами А, В, С и т. д.

В общем случае матрица имеет вид

Обозначения: а _ij, i– номер строки, j- номер столбца. Множество всех матриц порядка  обозначают .

Виды матриц.

О1: Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной.

число n называется  порядком.

Элементы образуют главную диагональ матрицы.

Элементы  – побочную диагональ.

О2: Квадратная матрица, у которой вне главной диагонали стоят нули, называется диагональной.

О3: Диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят 1, называется единичной.

О4: Матрица размерности 1 × n  называется матрица-строка.

Матрица размерности m × 1  называется матрица-столбец.

Операции над матрицами.

Сложение (вычитание) матриц.

Складывать можно только матрицы одной размерности. Сложение выполняется поэлементно:

.

Умножение матрицы на число.

Пусть λ произвольное действительное число. Для вычисления матрицы  нужно каждый элемент матрицы А умножить на число λ.

; λ R

Транспонирование.

О: Транспонированной матрицей по отношению к матрице А называется матрица , у которой строки поставлены в столбцы с соответствующими номерами.

Умножение матриц.

О: Две матрицы А и В называются согласованными по умножению, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

 

 

Умножать можно только матрицы согласованные по умножению. Это действие выполняется по правилу:

а) первая строка первой матрицы умножается скалярно на 1^й, 2^й и т.д. столбцы второй матрицы и результаты записываются в первую строку;

б) вторая строка первой матрицы умножается скалярно на 1^й , 2^й и т.д. столбцы второй матрицы и результаты записываются во вторую строку;

…  т.д.

Таким образом:

 

СЛАУ

О: Систему вида

                  (1)

будем называть системой трёх уравнений с тремя неизвестными x, y и z.

Введём в рассмотрение следующие матрицы

– матрица, составленная из коэффициентов системы (1).

– матрица-столбец свободных членов системы (1).

О: Упорядоченная тройка чисел ( x₀, y₀, z₀), при подстановке которой в систему (1) каждое уравнение обращается в верное равенство называется решением СЛАУ (1).

Метод Крамера решения СЛАУ.

Т. Крамера. Если ∆А≠0, то система (1) имеет единственное решение, которое находится по формулам:

; ; .

Здесь ∆=∆А,

; ; .

Замечание. Если , то система является либо неоприделенной, либо несовместной.

Если опредилитель однородной системы , то система сводится либо к двум неизвестным уравнениям(третье является их следствием), либо к одному (следствием которого являются остальные два уравнения). В обоих случиях однородная система имеет бесконечное множество решений.

Практическая часть.

Пример 1. Придумать три матрицы размерности 4 ´ 3 и выполнить действия:

,             где l = 3

Решение.

Пусть              7    -8     13                      14 31 -18

А =     12   -1         0            В =   11 -3  0

-2   51    4                        4     5 -7

-2    9   -10                      8     1   0

13 2 5

С =  8 -9     1

0 3 1

2 -4 5

 

14  31 -18        -6

1)    11  -3     0 =     -1  0

4   5     -7  

-8  1       0         0

 13 2 5             39 6  15

2) lС = 3∙  8 -9 1  =     24 -27  3

 0 3 1           0  9   3

 2 -4 5           6 -12 15

                   7 -8 13               -6                 7

3)    12 -1 0   +       -1 0 =       -2      0

-2 51 4                     

8  9 10             0           -10

35   7        7         39  6  15         -82  -11 -8

3  3                                                           3     3

4)  А + В – С =     -2     0  – 24 -27  3  =       25 -3

2  1585         0    9    3         -2    131    -4

3    3  3                                                3      3     3

1628 -10          6  -12 15         -2      64   -25

 3   3                                                         3      3

 

Пример 2. Придумать матрицы А М_3×3 ; В М_3×3.

 

Найти: ВА, АВ,  и сделать вывод

 

Решение.

Пусть .

Найдем произведения ВА и АВ:

Посчитаем определители  по правилу Саррюса:

Вывод: 1) АВ ¹ ВА, т.е. для матриц коммутативный закон умножения, вообще говоря, неверен.

2) , т.е. определитель матрицы произведения не зависит от порядка умножения матриц.

 

Пример 3. Решить неравенство, раскрыв определитель.

               3 4 -5

               х 7 -2 - 2 > 0

               4 5 -2

Решение.

Раскрывая определитель, по правилу Саррюса, получим:

(168 + 5х – 16 + 70 – 6 – 48х) – 2 > 0.

Решим линейное неравенство:

- 43х + 214 > 0,

- 43х > - 214  | : (-43),

Ответ: .

Пример 4. Решите систему методом Крамера

Решение.

.

Т.к. ∆≠0, то система имеет единственное решение.

;

;

.

Итак, по формулам Крамера получаем:

; ; .

Выполним проверку:

 

 

 Ответ: (-1;0;1)

 

 

Числовые ряды

О: Числовым рядом называют выражение вида , где  -члены ряда; U_n –общий член ряда.

I. Схема исследования на сходимость положительных числовых рядов.

 

1. Выписать 3 первых члена ряда.
2. Проверить выполнение необходимого условия сходимости (н.у.с.) ряда, т.е.

           НУС выполнено                                              НУС не выполнено

     Продолжить исследования,                                  Вывод: ряд расходится

      Применив один из трёх признаков:

1. признак сравнения
2. признак Коши
3. признак Даламбера

 

Сделать вывод.

Т1: (признак сравнения) пусть ряды (1)  и (2) - положительные и

Тогда    1) если ряд (1) расходится, то ряд (2)-расходиться.

              2) если ряд (2) сходится, то ряд (1)-сходиться.

 Т2: (признак сравнения) пусть ряды (1)  и (2) - положительные и существует , тогда ряды (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.

Замечание.

1) Удобно ввести сравнение с гармоническим рядом.

2) Формулы эквивалентности:

а) ~arcsinx~arctgx~e^x-1~ln(x+1)~x,

б) a^x-1~xlna,

в) log_a(1+x)~

3) ”шкала роста функций”

ln n <<eⁿ<<n!<<nⁿ,

(*)

Т3: (признак Коши) Пусть ряд -положительный и . Тогда:

1. Если К>1, то ряд расходится.
2. Если К<1, то ряд сходится.
3. Если К=1, то необходимы дополнительные исследования.

Т4: (признак Даламбера) Пусть ряд  положительный и . Тогда:

1. Если Д<1, то ряд сходится.
2. Если Д>1, то ряд расходится.
3. Если Д=1, то необходимы дополнительные исследования.

II. Схема исследования знакочередующихся рядов.

 

1. выписать 3-4 первых члена ряда.
2. исследовать на абсолютную сходимость. Составить ряд из модулей  (4) и исследовать его на сходимость (см. схему исследования I.).

 

 

(4) сходится                                                                                                (4) расходится

Вывод: (3) сходится абсолютно                                                          Вывод для ряда (3)

нет абсолютной сходимости

 

                                                                                                                      исследовать ряд (3) на условную сходимость, применив признак Лейбница

Т5: (признак Лейбница) Ряд  сходится, если:

1.  монотонно убывает, т.е.  

2.

Функциональные ряды (степенной ряд).

О: Ряд вида  - называется степенным.

Замечание.

Ряд вида  сводится к ряду (5) заменой

III. Схема исследования степенного ряда.

 

1. Найти радиус сходимости степенного ряда по формулам:

 или

1. Указать интервал сходимости ряда:

                                сходится

      расходится                           расходится

                             -R  0   R                                 х

1. Исследовать ряд на концах интервала сходимости, т.е. при х=R и х=-R.
2. Записать ответ.

Замечание.

1. если R=0, то ряд (5) сходится только в точке х=0.

2. если , то ряд (5) сходится всюду .

Практическая часть.

Пример 1.

Исследовать на сходимость положительный ряд.

А)

Решение.

Обратимся к схеме (I).

Проверим выполнение н.у.с.

, т.е. н.у.с. выполнимо.

Продолжим исследование, применив признак сравнения (Т2). 

 сходится, т.к. это гармонический ряд (р=2>1) I  данный ряд сходится.

Б)

Решение:

обратимся к схеме I.

Проверим выполнение н.у.с.

, т.е. н.у.с. выполнилось.

Продолжим исследование, применив признак сравнения (Т1).

 расходится как гармонический ряд с р=1/2<1 данный ряд расходится.

В)

Решение:

Обратимся к схеме I.

Т.к. проверка н.у.с.

 вызывает затруднение, то применим достаточный признак сравнения числового ряда, а именно признак Даламбера.

ряд сходится.

Пример 2. Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость.

А)

Решение: обратимся к схеме II.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Составим ряд из модулей.

 - расходится как гармонический с р=1.

для данного ряда нет абсолютной сходимости.

Исследуем ряд на условную сходимость. Применим признак Лейбница:

1) ;

2)

Т.к. условия признака Лейбница выполнены, то данный ряд сходится условно.

Пример 3. Найти радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

Решение: Обратимся к схеме III: т.к.  то

1)

2) Интервал сходимости ряда:

                               сходится

      расходится                           расходится

                           -1  0     1                                   х

(-R;R)=(-1;1)

3) Исследуем сходимость ряда в точках x=-1 и х=1:

х=1

сходится как гармонический с р=2>1.

х=-1

сходится абсолютно.

Ответ: R=1; интервал сходимости [-1;1]

I Основные понятия

О1: ДУ I-го порядка связывают независимую переменную х, искомую функцию y и её производную :

(1)

Если уравнение (1) можно разрешить относительно  , то его записывают в виде:

О2: Общим решением ДУ I-го порядка называется функция j(х; с); содержащая одну производную постоянную и удовлетворяющая условиям:

1) функция j(х; с) является решением ДУ при каждом фиксированном с;

2) для любого начального условия  такое, что функция j(х; с₀) удовлетворяют данному начальному условию.

 

О3: Частным решением ДУ I-го порядка называется любая функция

у = j(х; с₀), полученная из общего решения у=j(х;с) при конкретном значении постоянном с=с_0.

IV Линейные ДУ

Общий вид:        у^’+p(x)y=q(x), где p(x), q(x) – заданные функции (3)

Метод решения: Решение ищется в виде произведения двух функций:

 (4)

Ход решения: Подставляем соотношение (4) в уравнение (3):

u^’v + uv^’ + p(x)uv = q(x),

u^’v + u[v^’ + p(x)v] = q(x),

Пусть v такое, что [] = 0

v^’ + p(x)v = 0,

ln

ln ,

,

, c₃=1

Итак:

v =

Подставим v в уравнение (5)

Т.к. , то y=

Замечание: уравнение Бернулли

решается с помощью той же замены (4)

Практическая часть.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение:

- ДУ с разделяющимися переменными.

Выразим y:

Ответ:

Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию:

Решение:

- ДУ с разделяющимися переменными.

 - общее решение ДУ.

Воспользуемся начальными условиями:

Подставим  в общее решение ДУ и получаем: s=8 cost- частное решение ДУ

Ответ: s=8 cost.

Пример 3. Найти общее решение ДУ

Решение:

Замена:

- общее решение ДУ.

Ответ:

Пример 4. Найти общее решение ДУ

Решение: - линейное ДУ

 

Пусть v такое, что

 

Подставляем v в уравнение (*)

                     Найдём:

Т.к. y=uv, то

Ответ: y=

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) ДГТУ в г. Азове

Факультет среднего профессионального образования

Краткий конспект лекций

 

По дисциплине                                                  Математика

                                                  

По специальности                      15.02.08 Технология машиностроения

                                                                   

 

Составитель

Преподаватель первой категории

Н.М. Булда

 

Азов

2018

 

Теоретическая часть.