Метод половинного деления ~ Метод хорд
Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называютсятрансцендентными.
Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:
1. точные методы;
2. итерационные методы.
Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.
Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности.
Пусть дано уравнение
| (1) |
где:
1. Функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка.
2. Значения f(x) на концах отрезка имеют разные знаки (f(a) * f(b) < 0).
3. Первая и вторая производные f' (x) и f'' (x) сохраняют определенный знак на всем отрезке.
Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a, b] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что f(x) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным.
Решить уравнение (1) итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью.
Всякое значение 
, обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что:
|
называется корнем уравнения (1) или нулем функции f(x).
Задача нахождения корня уравнения f(x) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов:
1. отделение корней - отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;
2. уточнение приближенных корней - доведение их до заданной степени точности.
Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f(x) в граничных x = a и x = b точках области ее существования.
Пример 1. Отделить корни уравнения:
| f(x) є x3 - 6х + 2 = 0. | (2) |
Составим приблизительную схему:
| х | - Ґ | - 3 | - 1 | 0 | 1 | 3 | + Ґ |
| f(x) | - | - | + | + | - | + | + |
Следовательно, уравнение (2) имеет три действительных корня, лежащих в интервалах [-3, -1], [0, 1] и [1, 3].
Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом.
В инженерной практике распространен графический способ определения приближенных корней.
Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (1) - это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением:
 ,
| (3) |
где функции f1(x) и f2(x) - более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = f1(x) и у = f2(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.
Рисунок 2.
Пример 2. Графически отделить корни уравнения (Рисунок 2):
| x lg x = 1. | (4) |
Уравнение (4) удобно переписать в виде равенства:
lg x= 
.
Отсюда ясно, что корни уравнения (4) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y = 
. Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень 
уравнения (4) или определим его содержащий отрезок [2, 3].
Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х0. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х1, х2, ..., хn. Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.
Метод половинного деления
Для нахождения корня уравнения (1), принадлежащего отрезку [a, b], делим этот отрезок пополам. Если f 
= 0 , то x = 
является корнем уравнения. Если f не равно 0 (что, практически, наиболее вероятно), то выбираем ту из половин 
или 
, на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок [ а1, b1] снова делим пополам и производим те же самые действия.
Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня данного уравнения, метод прост и надежен, всегда сходится.
Пример 3. Методом половинного деления уточнить корень уравнения
f(x) = x4 + 2 x3 - x - 1 = 0
лежащий на отрезке [ 0, 1] .
Последовательно имеем:
f(0) = - 1; f(1) = 1; f(0,5) = 0,06 + 0,25 - 0,5 - 1 = - 1,19;
f(0,75) = 0,32 + 0,84 - 0,75 - 1 = - 0,59;
f(0,875) = 0,59 + 1,34 - 0,88 - 1 = + 0,05;
f(0,8125) = 0,436 + 1,072 - 0,812 - 1 = - 0,304;
f(0,8438) = 0,507 + 1,202 - 0,844 - 1 = - 0,135;
f(0,8594) = 0,546 + 1,270 - 0,859 - 1 = - 0,043 и т. д.
Можно принять
x = 
(0,859 + 0,875) = 0,867
Метод хорд
В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения (1) принимаются значения х1, х2, ..., хn точек пересечения хорды АВ с осью абсцисс (Рисунок 3). Сначала запишем уравнение хорды AB:
.
Для точки пересечения хорды AB с осью абсцисс (х = х1, y = 0) получим уравнение:
Пусть для определенности f'' (x) > 0 при а 
х b (случай f'' (x) < 0 сводится к нашему, если записать уравнение в виде - f(x) = 0). Тогда кривая у = f(x) будет выпукла вниз и, следовательно, расположена ниже своей хорды АВ. Возможны два случая: 1) f(а) > 0 (Рисунок 3, а) и 2)f(b) < 0 (Рисунок 3, б).
Рисунок 3, а, б.
В первом случае конец а неподвижен и последовательные приближения: x0 = b;
 
| (5) |
образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем
Во втором случае неподвижен конец b, а последовательные приближения: x0 = а;
| (6) |
образуют ограниченную монотонно возрастающую последовательность, причем
Обобщая эти результаты, заключаем:
1. неподвижен тот конец, для которого знак функции f (х) совпадает со знаком ее второй производной f'' (х);
2. последовательные приближения xn лежат по ту сторону корня x , где функция f (х) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f'' (х).
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет обнаружено, что
| xi - xi - 1|< e ,
где e - заданная предельная абсолютная погрешность.
Пример 4. Найти положительный корень уравнения
f(x) = x3 - 0,2 x2 - 0,2 х - 1,2 = 0
с точностью e = 0,01.
Прежде всего, отделяем корень. Так как
f (1) = -0,6 < 0 и f (2) = 5,6 > 0,
то искомый корень x лежит в интервале [1, 2]. Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Так как
f (1,5) = 1,425 > 0, то 1< x < 1,5.
Так как f'' (x) = 6 x - 0,4 > 0 при 1 < х < 1,5 и f (1,5) > 0, то воспользуемся формулой (5) для решения поставленной задачи:
= 1,15;
|x1 - x0| = 0,15 > e ,
следовательно, продолжаем вычисления;
f (х1) = -0,173;
= 1,190;
|x2 - x1| = 0,04 > e ,
f (х2) = -0,036;
= 1,198;
|x3 - x2| = 0,008 < e .
Таким образом, можно принять x = 1,198 с точностью e = 0,01.
Заметим, что точный корень уравнения x = 1,2.
Дата: 2018-11-18, просмотров: 308.
