1. Постановка матмодели задачи
ДУЧП:
Граничные условия:
Согласование граничных условий в угловых точках области не требуется, т.к. в каждой из этих точек и могу т принимать разные значения.
2. Решение задачи методом Фурье.
1. (1)
ДУЧП:
, т.к. ищем нетривиальные решения задачи.
(2)
2. Нулевые граничные условия:
3. Задача Штурма-Лиувилля
(3)
Требуется найти собственные числа , при которых задача (3) имеет нетривиальные решения, называемые собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля.
ДУ из (3): - обыкновенное ДУ II порядка, линейное, однородное, с постоянными коэффициентами.
, где
- ФСЧР.
- константы по
Характеристическое уравнение:
1) случай
- действительные различные числа противоположных знаков
ФСЧР:
.
Таким образом, при решением задачи (3) является только функция (тривиальное решение), значит, при задача Штурма-Лиувилля решений не имеет.
2) случай
- случай равных действительных корней.
ФСЧР:
- удовлетворяет тождественно
Решением задачи (3) является - нетривиальное решение задачи (3) при ,
- является одним из собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля.
3) случай
- комплексно-сопряженные корни
ФСЧР:
Таким образом, собственными числами задачи Штурма-Лиувилля являются:
(4)
Собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля являются
Задача Штурма-Лиувилля разрешена.
4. - обыкновенное ДУ II порядка, однородное, линейное, с постоянными коэффициентами, где .
Характеристическое уравнение:
- действительные различные корни при или действительные равные корни при .
ФСЧР:
Общее решение:
При решении уравнения Лапласа в качестве ФСЧР для второго обыкновенного ДУ системы (2) удобно взять гиперболические функции, основываясь на свойстве решений обыкновенных линейных однородных ДУ II порядка:
Если и - решения ЛОДУ, то тоже решения этого ЛОДУ
лучше взять
ФСЧР:
являются линейно-независимыми, и, следовательно, годятся для ФСЧР.
Таким образом, с учетом этого замечания, решение второго ДУ из системы (2) получаем в следующем виде:
(5)
5. Перемножением функций и находим счетное множество функций и составляем из них функциональный ряд:
Составив ряд, мы предположим его сходимость:
(6)
Для этого ряда предполагается равномерная сходимость для всех .
Подстановку граничных значений и дифференцирование ряда можно осуществить почленно.
Так составленная функция удовлетворяет граничным условиям на двух противоположных сторонах и ДУЧП. Для определения коэффициентов будем удовлетворять (двум) другим граничным условиям на двух других противоположных сторонах.
6. Определение коэффициентов
Граничные условия:
Это равенство представляет собой разложение в ряд Фурье по косинусам функции , продолженной четным образом на промежуток и периодически с на всю числовую ось.
коэффициенты этого разложения могут быть вычислены по формулам Фурье:
(7)
(8)
Другое граничное ненулевое условие:
Это разложение в ряд Фурье по косинусам функции , продолженной четным образом на и периодически с на всю числовую ось.
коэффициенты можно вычислять по формулам Фурье:
Надо согласовать (7) и
(9)
Особенности в определении коэффициентов:
1. в результате решения задачи не определился коэффициент в формуле (6).
искомая функция будет определена с точностью до постоянного слагаемого, и это хорошо согласуется с условиями задачи (и ДУЧП и все граничные условия будут хорошо удовлетворять, если ). При численном исследовании решения можно положить .
2. Для коэффициента получились 2 формулы (7) и , и отсюда следует:
Это равенство описывает согласование начальных условий и физически означает, например, в задаче стационарной теплопроводности в области , что тепловой поток через границу должен быть равным тепловому потоку через границу (в противном случае процесс теплопроводности не будет установившимся).
Тепловой поток – количество тепла, проходящее через границы.
Таким образом, решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в прямоугольной области получено в виде уравнения (6), коэффициенты которого нужно считать по формулам (7), (8), (9).
Дата: 2019-12-10, просмотров: 321.