Решение методом Фурье краевой задачи Дирихле для волнового уравнения.

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

ДУЧП:

Начальные условия:

Граничные условия:

1. Искомую функцию ищем в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.

(1)

Это позволяет разделить переменные в ДУЧП, т.к.

ДУЧП:

При этих действиях и , т.к. в противном случае будет , что не удовлетворяет начальным условиям для функции (случай равен положению покоя струны).

Уравнение с разделенными переменными выполняется при любых x и любых t равенство между его левой и правой частями, зависящими только от одного из аргументов x или t, возможно только тогда, когда каждая из частей этого равенства равна по x и t. Обозначим эту константу и перейдем от уравнения к системе двух уравнений:

(2)

Таким образом, в результате разделения переменных ДУЧП заменилось системой двух обыкновенных ДУ, причем оба этих уравнения сохраняют вид ДУЧП: являются ДУ второго порядка по каждой переменной; являются линейными, однородными и с постоянными коэффициентами.

2. Т.к. ДУ в системе (2) получились независимыми друг от друга, то их можно решать последовательно в произвольном порядке. Выберем для начала такое уравнение системы (2), на которое можно перебросить нулевые граничные условия.

Нулевые граничные условия перебросились на функцию , поэтому сначала будем решать второе ДУ в системе (2).

3. Будем находить функцию , удовлетворяющую условиям

(3)

Задача Штурма-Лиувилля:

Требуется найти такие числа , при которых система (3) имеет нетривиальные решения. Эти числа называются собственными значениями задачи Штурма-Лиувилля. Далее нужно найти функции , удовлетворяющие системе (3) при найденных значениях . Эти функции называются собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля.

Решение задачи Штурма-Лиувилля.

ДУ: - обыкновенное линейное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

, где

и - ФСЧР, т.е. два линейно-независимых частных решения этого ДУ.

и - произвольные константы.

ФСЧР находится с помощью характеристического уравнения:

Для записи ФСЧР по корням нужно знать, являются ли эти корни: .

Это зависит от следующих случаев для

1) если , то - различные действительные корни.

Таким образом, в случае получается только тривиальное решение задачи Штурма-Лиувилля:

Т.е. при данная задача Штурма-Лиувилля не имеет решения.

2) Если , то - случай равных действительных корней характеристического уравнения.

Таким образом, при получаем только тривиальное решение задачи 3.

Т.е. при данная задача Штурма-Лиувилля также не имеет решения.

3) Если , то

- случай комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения, т.е. корней вида:

(4)

Получилось счетное множество собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля. Этим собственным числам соответствует так же счетное множество функций задачи Штурма-Лиувилля.

Таким образом, задача Штурма-Лиувилля для системы (3) имеет решение в виде собственных чисел (4) и в виде собственных функций .

4. Теперь решаем другое уравнение в системе (2):

, где

Тип уравнения сохраняется:

- обыкновенное ДУ II порядка относительно функции , линейное, однородное, с постоянными коэффициентами

, где - ФСЧР.

Характеристическое уравнение:

- комплексно-сопряженные корни.

Общее решение:

Получили счетное количество функций, констант. Получено также счетное число общих решении системы (2).

5. Перемножением функций и при , получим счетное множество функций по формуле (1):

Каждая из этих функций удовлетворяет ДУЧП в исходной задаче и нулевым граничным условиям при и . Следовательно, в исходной остаются невыполненными только начальные условия для функции .

С другой стороны, найденные функции и имеют несколько счетных наборов пока произвольных коэффициентов. Чтобы подобрать все эти коэффициенты так, чтобы удовлетворялись начальные условия, образуем ряд из функций :

Далее будем предполагать, что этот ряд сходится при , причем сходится равномерно, так что его сумма является непрерывной функцией в области и дважды дифференцируемой через почленное дифференцирование слагаемых ряда.

Обозначим сумму слагаемых ряда через

Получен функциональный ряд, членами которого являются функции от двух переменных и , и ряд имеет два набора произвольных коэффициентов:

(5)

Эта функция удовлетворяет исходному ДУЧП и нулевым граничным условиям, т.к. им удовлетворяет каждый член ряда. Далее будем (искать) находить и такими, чтобы удовлетворялись исходные условия поставленной задачи.

6. Определение коэффициентов и

Получим представление функции тригонометрическим рядом Фурье по синусам

продолжена нечетным образом на промежуток и продолжена периодически с периодом на всю числовую ось.

Тогда коэффициенты можно найти по соответствующим формулам Фурье:

(6)

Возьмем второе начальное условие:

Это равенство является разложением в ряд Фурье по sin функции , продолженной нечетно на и продолженной периодически с периодом на всю числовую ось.

коэффициенты этого разложения также могут быть получены по формулам Фурье:

(7)

Таким образом, исходная краевая задача полностью решена, её решение получено в виде ряда (5), коэффициенты которого вычисляются по формулам (6) и (7).

Можно отметить необходимые условия на постановку задачи, чтобы ее можно было решить аналогичным образом методом Фурье.

Необходимые условия:

ДУЧП должна быть относительно функции двух переменных и быть линейными однородными (иначе разделение переменных в нем не сделать).
Исходная краевая задача должна быть поставлена для функции в прямоугольной области (конечной или полубесконечной), причем так, что были нулевые граничные условия на двух противоположных сторонах (иначе не сформулируется задача Штурма-Лиувилля для одной из функций)
Функции и должны удовлетворять условию интегрируемости по промежутку , чтобы было правомерно их разложение в ряды и чтобы вычислялись коэффициенты и .

Численная реализация решения задачи.

1. Доказательство достоверности полученного решения задачи.

Полученная функция с вычисленными коэффициентами должна удовлетворять:

ДУЧП

Граничным условиям

Начальным условиям

1) ДУЧП – подтверждается подстановкой функции в ДУЧП

2) Граничные условия – проверяются подстановкой и в функцию

3) Начальные условия –

· проверить численно, как равенство между функциями и , и их разложениями в ряд Фурье, но уже с вычисленными коэффициентами;

· для этого сначала получить визуальное совпадение графиков функций и с некоторой частичной суммой ее ряда Фурье, и для ;

· потом подобрать такое количество членов ряда в формуле (5), чтобы равенство удовлетворялось с технической точностью для . Результаты подбора оформить в виде следующей таблицы:

Подобранное здесь число зафиксировать для табулирования функции внутри области .

2. Протабулировать значение функции в узлах прямоугольной сетки , покрывающей область .

где нужно подобрать так, чтобы на промежутке хорошо просматривалась динамика процесса (если область прямоугольная и конечная, то этого подбора делать не надо).