II . Схема решений уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Например, пусть требуется решить неравенство:

1) Находим вещественные корни выражений, стоящих под модулем, то есть решаем уравнения

Пусть все вещественные корни этих уравнений. Нанесем эти корни на числовую ось. Они разобьют ось на (k + 1) промежутков.

Будем предполагать, что функции и непрерывны на всей числовой оси, тогда значения этих функций будут сохранять свои знаки на каждом из указанных промежутков.

Чтобы определить знак значений и на каком-либо промежутке , достаточно вычислить и в любой точке ; знаки этих чисел совпадают со знаками значений функций и соответственно на всем промежутке (так же можно поступить и на лучах

Рис. 1.

2) Определяем знаки выражений, стоящих под модулями, на каждом таком промежутке. Пусть это будет как на рис. 1. Тогда первоначальное неравенство (или уравнение) станет равносильным совокупности следующих (k + 1) систем:

Ответ:

Под обозначением понимается множество решений системы с номером i.

Итак, сформулируем теперь в виде краткого алгоритма общую схему решения уравнений и неравенств со знаком модуля, которая была проиллюстрирована выше.

Чтобы решить уравнение или неравенство, содержащее знаки модуля, достаточно:

1) разбить всю область определения уравнения или неравенства на участки, на каждом из которых все выражения, которые стоят под модулем, сохраняют знаки.

2) пользуясь определением функции у = , раскрыть на каждом из таких участков все знаки модулей.

3) решить получившиеся уравнения или неравенства.

4) отобрать из полученных решений все те решения, которые входят в рассматриваемый участок.

5) в ответе указать объединение всех решений, полученных на каждом из участков.

В некоторых задачах под знаком модуля могут находиться выражения, содержащие в свою очередь знаки модулей. В этом случае раскрытие модулей удобно производить последовательно, начиная с самого «внутреннего» знака модуля.

Пример 1. Пусть требуется решить уравнение

Применим предложенный алгоритм.

Рис. 2.

Приведем, сначала, подобную схему решения.

Согласно рис. 2, первоначальное уравнение равносильно совокупности следующих пяти систем:

Ответ:

Замечание: Заметим, что данное решение можно было записать короче, объединив рассмотрение случаев 1) и 5) в одну систему, а случаев 2) и 4) в другую систему.

Ответ: .

Такое сокращение рассуждений, во избежание возможных ошибок, мы рекомендуем делать только после приобретения некоторого опыта в решении задач с модулями.

Наиболее полную и наглядную картину дает графическое исследование данного уравнения.

1) Построим график функции

Для построения будем использовать схему знаков, изображенных на рис. 2. Тогда

Соответствующий график выглядит так:

Рис. 3.

Построив график правой части уравнения у = 3, убеждаемся, что графики левой и правой части ( и у = 3) пересекаются, а (фактически – совпадают) на множестве и .

Более того, графический подход позволяет сразу же решить обобщенную задачу:

При каждом значении параметра а решить уравнение:

Для решения задачи повторим график из рис. 3 и изобразим на том чертеже различные возможные положения прямой у = а.

Рис. 4.

Выпишем ответ задачи (он непосредственно следует из рис. 4)

Ответ. 1) а < 3 – решений нет;

2) а = 3 – бесконечное множество решений и .

3) 3 < a < 5 – четыре решения:

4) a = 5 – три решения:

5) a > 5 – два решения:

Приведенная форма решений позволяет сразу же дать ответ для иных возможных постановок задачи.

1) При каких а уравнение

(1)

не имеет решений?

Ответ: а < 3.

2) При каких а уравнение (1) имеет бесконечно много решений?

Ответ: а = 3.

3) При каких а уравнение (1) имеет не менее трех решений?

Ответ: 3 а 5.

Пример 2. Определить, при каких значениях а уравнение имеет ровно три корня. Найти эти корни.

Сначала решим данное уравнение, последовательно раскрывая модули в его правой части. Как было указано выше, начнем раскрытие с внутреннего модуля. Для него возможны следующие два случая:

Получаем совокупность двух систем:

Решим отдельно систему (1) и систему (2).

Диаграмма знаков для системы (1):

Система (1) равносильна, в свою очередь, совокупности двух систем:

х₁ будет решением, если справедливо неравенство

х₂ будет решением, если справедлива система:

Решаем систему (2) тем же способом:

Система (2) равносильна совокупности двух систем:

х₃ будет решением, если справедлива система

х₄ будет решением, если справедливо неравенство:

Итоговый ответ удобно получить графически. Для этого изобразим на оси параметра промежутки значений а, для которых являются решениями значения

Рис. 4.

Из рис. 4 видно, что, например, корень х₄является решением уравнения для (нестрогое неравенство соответствует отсутствию стрелки в точках а = 0 и а = 2), а корень х₁ является решением при (точки а = 0 и а = 2 не входят в интервал поэтому изображение корня х₁снабжено стрелками в точках -2 и 0).

Рис. 4 позволяет сразу выписать при каждом значении а все решения уравнения.

При а = 0:

При 0 < а < 2: решений нет

При а = 2:

Дадим теперь ответ на поставленный в условии вопрос:

Ответ. Уравнение имеет ровно три корня:

Вопрос. Объясните себе, почему невозможно совпадение корней с различными индексами; например, почему невозможно равенство: при и т.п.? Ведь, если бы это было возможным, то ответ задачи мог бы быть более широким.

Конечно, следует отдавать себе отчет, что при ответе непосредственно на вопрос задачи можно было бы упростить решение, сразу же опираясь на рис. 4, но мы сознательно включили данную задачу в более широкую.

Решить уравнение при всех значениях параметра а.

Такой подход позволяет ответить и на другие, связанные с задачей, вопросы:

1. Какое максимальное число решений может иметь данное уравнение, и при каких а это число реализуется?

2. При каких а уравнение не имеет решений?

3. При каких а уравнение имеет не менее трех решений и т.п.?

Пример 3. При всех а решить уравнение и определить, при каких а оно имеет ровно два решения.

Решение. Вновь используем предложенный алгоритм.

Определим знаки выражений под модулями, построив схему знаков:

Рис. 5.

Теперь ясно, что данное уравнение равносильно совокупности трех систем.

Исследуем разрешимость линейных уравнений в системах 1), 2), 3), пользуясь алгоритмом из главы 1.

Если а = -1, то все числа являются решениями, при х₁ = -3, и корень х₁ не удовлетворяет условию

Ответ₁: при а = -1 ; при остальных а система 1) решений не имеет.

Если а = 1, то -3 ; если х₁ = -3

Ответ₂: при а = 1 -3 при х₁ = -3

Если а = -1, то решений нет; если х₂ = , что является решением системы 3), если справедливо неравенство

Ответ₃: при -1 < а 1 х₂ = ; при остальных а система 3) решений не имеет.

Изобразим результат исследования графически на оси параметра а, как и в предыдущем примере.

Ответ.

Уравнение имеет ровно два решения при

Пример 4. Найти наименьшее значение функции

Применяя изложенный выше алгоритм, получим:

Вновь изобразим диаграмму знаков.

Рис. 6.

Теперь алгебраическая запись данной функции на различных участках числовой оси выглядит следующим образом:

Наконец, построим график, который является объединением прямолинейных отрезков и лучей (частей графиков соответствующих (1) линейных функций).

Очевидно, что наименьшее значение функции равно , при х = .

Пример 5. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости соотношением:

Решение.

Разобьем координатную плоскость ХОY на три области, соответствующие различным комбинациям знаков подмодульных выражений под знаком модуля (что является аналогом схемы знаков для выражений с одной переменой).

Рис. 6.

Парабола разбивает координатную плоскость на две области, в одной из которых (область I на рис. 6 заштрихована горизонтальными прямыми) выражение , а в оставшейся части плоскости .

Аналогично, парабола разбивает координатную плоскость на две другие части, в одной из которых (область III на рис. 6 не заштрихована) выражение , а в оставшейся части плоскости

Окончательно вся координатная плоскость разбита на три области I, II, III. В области II справедливо двойное неравенство

Получив схему знаков, дальнейшее решение задачи мы проведем, руководствуясь общим алгоритмом. Задающее фигуру неравенство равносильно совокупности трех систем:

Множество точек, задаваемое системой I, изображена в виде заштрихованной области на рис. 7.

Рис. 7.

Множество точек, задаваемое системой II, изображена в виде заштрихованной области на рис. 8.

Рис. 8.

Решение системы III заштриховано на рис. 9.

Рис. 9.

Объединяя заштрихованные области на рис. 7, рис. 8 и рис. 9, мы получаем геометрическое изображение фигуры, заданной условием задачи (рис. 10).

Рис. 10.

Теперь ясно, что заданная фигура есть трапеция ABCD с основаниями AC и BD и высотой PQ.

PQ = 2-(-1) = 3; BD = 2- (-2) = 4.

Ответ.

Обратим внимание читателя на то, что некоторые уравнения и неравенства со знаком модуля легко решаются с использованием геометрического смысла выражения |x – a|.

Например, уравнение |x – 3| = 2 равносильно требованию найти все числа х на вещественной оси, отстоящие от числа 3 на расстоянии 2.