Равносильность и следствия в задачах с квадратным трехчленом

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

В некоторых задачах вступительного экзамена требуется не просто исследовать расположение корней квадратного трехчлена, а выяснить, при каких значениях параметра выполняется то или иное логическое высказывание, связанное с решением уравнения или неравенства.

Рассмотрим сначала в общем виде одну из типичных задач:

1. Найти все значения параметра а, при которых неравенство:

выполняется для всех . (2)

В ином виде данная задача может сформулирована так:

Найти все значения параметра а, при которых из условия (2) следует неравенство (1).

Выскажем то же самое на языке теории множеств:

Обозначим символом А множество решений неравенства (1), а символом В множество, заданное условием (2) (условие (2) может быть наложено в виде требования решить некоторое неравенство или уравнение).

Тогда задачу можно сформулировать следующим образом:

Найти все значения параметра а, при которых выполнено включение .

После такого осмысления задачи становится ясен алгоритм ее решения. Рассмотрим следующие три случая:

1) >0, тогда после приведения левой части неравенства (1) получаем:

Геометрически требуемое включение изображается следующим образом:

Алгебраически точки c и d должны находится между корнями рассматриваемой параболы, что позволяет применить теорему 7.

2) 0, тогда неравенство (1) становится линейным:

0 (4)

Геометрическая интерпретация в этом случае выглядит следующим образом (два случая):

Рис. 1. Рис. 2.

Алгебраически этот случай сводится к решению совокупности двух систем:

3) 0, тогда неравенство (1) после приведения принимает вид:

Вновь дадим сначала геометрическую интерпретацию включения (три случая):

Рис. 3. Рис. 4.

Рис. 5.

Алгебраически: рис. 3 – квадратный трехчлен имеет корни, расположенные правее числа d (возможно х₁ = d); рис. 4 - квадратный трехчлен имеет корни, расположенные левее числа с (возможно х₂ = с); рис. 5 - квадратный трехчлен не имеет корней.

Пользуясь теоремой 7 пункты I, II, выпишем вышесказанное в виде совокупности алгебраических систем:

Полный ответ задачи получается объединением ответов из случаев 1); 2); 3).

Теперь ясно, что:

Решая задачу о взаимном расположении решений квадратных неравенств с логическим высказыванием, удобно поступить следующим образом:

1) переформулировать логическое высказывание на языке теории множеств, в виде соотношений включения для множества решений неравенств.

2) получить геометрические иллюстрации, которые выясняют возможное взаимное расположение границ множеств решений – корней квадратных трехчленов.

3) выписать, используя результаты теоремы 7, совокупность алгебраических систем, которые соответствуют различным случаям геометрического расположения корней и различным случаям знака коэффициента при х² в неравенствах.

4) собрать в окончательном ответе задачи объединение промежуточных ответов для всех рассмотренных случаев.

Применим сформулированный алгоритм, для решения следующей задачи:

II. Найти все значения параметра а, при которых неравенство:

0 (6)

выполняется для всех

Решение.

1) Если А – множество решений неравенства (6), В – множество (7), то задача соответствует включению .

2) Разберем все возможные случаи знака коэффициента , и для каждого из них приведем геометрические иллюстрации:

2а) , тогда (6)

Рис. 1. Рис. 2.

В этом случае множество А – либо интервал (х₁,х₂) (рис. 1), либо А = (рис. 2). Поэтому включение невозможно.

2б) , тогда неравенство (6) примет вид:

Изобразим графически различные возможные варианты расположения прямой для этого случая (4 рисунка).

Рис. 3. Рис. 4.

Рис. 5. Рис. 6.

На рис. 3 и рис. 5 множество А = (- и А = - соответственно.

На рис. 4 и рис. 6 множество А = ( и А = - соответственно.

Ясно, что включение возможно только в случаях рис. 3 и рис. 5.

Алгебраически это соответствует:

2в) , тогда неравенство (6) запишется в виде:

Возможны два различных случая расположения параболы

Рис. 7. Рис. 8.

Ясно, что в случае рис. 7 А = (- ( , в случае рис. 8 А = .

Включение в первом случае соответствует системе неравенств

, во втором случае автоматически.

Из пункта II теоремы 7 вытекают условия:

Окончательный ответ задачи получается объединением ответов из пунктов 2а), 2б) и 2в).

Задание: выписать самостоятельно схемы решений следующих задач:

III. Найти все значения параметра а, при которых неравенство

выполняется для всех

IV. Найти все значения параметра а, при которых из неравенства 0.

V. Найти все значения параметра а, при которых выполнение неравенства 0.

VI. Найти все значения параметра а, при которых из совокупности неравенств 0.

Перейдем к рассмотрению примеров из материалов вступительных экзаменов.

1. Найти все значения параметра а, при которых из неравенства

следует неравенство 0 < x < 1.

Решение.

1) Обозначим символами А множество решений неравенства 0 (1) и В: 0 < x < 1. Требуется выяснить, при каких а справедливо включение

2) Рассмотрим все случаи знака коэффициента а.

2а) a , тогда (1)

Геометрически:

Рис. 1. Рис. 2.

В этом случае множество А есть либо интервал (х₁,х₂) (рис. 1), либо А = (рис. 2). Поэтому включение выполняется в первом случае, если корни х₁, х₂квадратного трехчлена расположены на отрезке , а во втором случае верно всегда (ведь является подмножеством любого множества по определению).

Алгебраически рассмотренный случай записывается в виде совокупности двух систем:

Используя пункты I, II теоремы 7, получаем:

Ответ 2а) .

2б) а = 0 , исходное неравенство (1) принимает вид:

В этом случае множество А: не входит в множество В:

0 < x < 1.

Поэтому

Ответ 2б)

2в) a < , тогда неравенство (1)

Геометрически:

Рис. 3. Рис. 4.

В случае рис. 3 множество А В случае рис. 4 - А = R. В любом из этих случаев включение очевидно, невозможно. Поэтому

Ответ 2в.

Объединяя ответы из всех трех случаев, получаем:

Ответ. .

II. Найти все значения m, для которых неравенство

будет выполняться при всех x > 0.

Решение.

Обозначим через А множество решений неравенства

0 (1), и через В множество x > 0.

Условию задачи соответствует включение

Рассмотрим все случаи знака коэффициента

1) , тогда (1)

Геометрически:

Рис. 1. Рис. 2.

Включение в случае рис. 1 будет выполняться, если

В случае рис.2

Вновь, используя пункт I теоремы 7, получаем:

Ответ 1) m > 1.

2) , неравенство (1) принимает вид:

-4

Итак, А: В: х > 0. Очевидно, что включение неверно.

Ответ 2)

3) , тогда (1)

Геометрически:

Рис. 3. Рис. 4.

В случае рис. 3 в случае рис. 4 А = ; в любом случае невозможно.

Ответ 3)

Ответ. m > 1.

III. При каких значениях параметра а все числа из отрезка удовлетворяют неравенству

Решение.

Обозначим =y

Неравенство (1) в новых обозначениях примет вид:

Если , то

Итак, первоначальную задачу можно переформулировать следующим образом.

При каких значениях параметра а из неравенства сдедует неравенство

Как и ранее, обозначим через А множество решений неравенства и В: Требуется определить, при каких а справедливо

Рассмотрим все случаи знака коэффициента (а - 2).

1) , тогда неравенство (2) равносильно

Воспользовавшись геометрическим подходом, получаем:

Рис. 1. Рис. 2.

В случае рис. 1 множество А: . В случае рис. 2 множество А = .

Включение возможно, только если числа 2 и 4 лежат между корнями квадратного трехчлена.

Из пункта III теоремы 7 следует система:

Ответ 1) .

2) Рассмотрим случай , тогда неравенство (2) равносильно

В этом случае множество А:

и включение неверно.

3) Рассмотрим , тогда неравенство (2) равносильно

Изобразим графически взаимное расположение множеств А и В, при которых верно включение .

Рис. 3. Рис. 4.

Рис. 5.

В случае рис. 3 выполняется система неравенств:

В случае рис. 4 выполняется система неравенств:

В случае рис. 5 выполняется условие D < 0 (8). Из пунктов I, II теоремы 7 следует, что условия (6), (7), (8) равносильны совокупности следующих систем: