Решение квадратных неравенств

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Опираясь на иллюстрации, сформулируем следующее правило решения квадратных неравенств:

Неравенство	Ответ







	Нет решений (или )
	x =



	x =

	Нет решений (или )
	Нет решений (или )
	x =


	Нет решений (или )

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Теорема 4.

1) Если D > 0, то

2) Если D = 0, то .

3) Если D < 0, то нельзя разложить на линейные множители, используя в качестве коэффициентов этих линейных множителей вещественные числа.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3. .

Укажем и другие связи между корнями и коэффициентами квадратного трехчлена.

Теорема 5. (Виета)

Если , - вещественные корни уравнения , то

Теорема 6. (Обратная теорема Виета)

Если , удовлетворяют условиям системы:

то , корни уравнения .

Часто встречаются задачи, в которых требуется выяснить взаимное расположение какого-либо числа и корней квадратного трехчлена на числовой оси.

Следующая теорема позволяет существенно упростить решение подобного рода задач. Отметим, что для уменьшения числа разбираемых различных случаев мы переходим к рассмотрению приведенного квадратного уравнения, которое получается после деления всех коэффициентов уравнения на старший коэффициент a.

Теорема 7.

Пусть , - вещественные корни уравнения число.

Для того, чтобы	Необходимо и достаточно
I.
II.
III.

Место для формулы.

Докажем случай 1.

Необходимость.

Пусть , - вещественные корни уравнения

Если , то необходимо выполняются условия

Доказательство.

Так как по условию

то сложив (1) и (2) получим По теореме Виета p, то есть , что и требовалось доказать.

Перемножив (1) и (2), получим

Воспользовавшись теоремой Виета:

получим , что и требовалось доказать.

Достаточность.

Пусть , - вещественные корни уравнения

Для того, чтобы оба корня были меньше числа , достаточно, чтобы выполнялась следующая система неравенств:

Доказательство.

По условию, справедлива система:

(1)

Вновь воспользуемся теоремой Виета

тогда система (1) примет вид:

Переписав систему (3) в другом виде, получим систему (4):

Неравенство (б) означает, что числа ) имеют одинаковые знаки, а неравенство (а), что оба эти числа положительны, то есть

иначе говоря , что и требовалось доказать.

Задачи

Обозначим через , корни квадратного трехчлена (a-1) Найти все а, при которых оба корня больше 1.

Решение.

а) Если а=1, то уравнение -3x + 7 = 0 имеет только один корень, поэтому

б) При воспользуемся пунктом II теоремы 7, который позволяет сразу записать:

1 1

Ответ. .

2. Найти все значения , при которых корни уравнения больше .

Решение.

Воспользовавшись пунктом II теоремы 7 получаем:

Ответ. a < -2.

3. Найти все значения , при которых оба корня квадратного уравнения

будут меньше 1.

Решение.

Уравнение будет квадратным только если . В этом случае оно равносильно уравнению:

Согласно пункту 1 теоремы 7 получаем, что

Ответ. .

Иногда применение теоремы 7 вызывает трудности, так как возникают неравенства третьей или более высокой степени. Тогда, скорее всего, можно выражения для корней исходного квадратного трехчлена получить в виде рациональных функций параметра.

Иными словами:

Если применение теоремы 7, вызывает алгебраические трудности, стоит проверить, не является ли дискриминант рассматриваемого квадратного уравнения полным квадратом. Если дискриминант является полным квадратом, то нужно попытаться выписать выражения для корней и продолжить решение задачи.

4. При каких значениях а все корни уравнения

3a удовлетворяют условию