|
|
|
|
Лейбниц, исходя из «характеристического» треугольника С катетами dх и dу (разности абсцисс и ординат двух близких точек линии) и гипотенузой ds (бесконечно малой дуги кривой или бесконечно малого отрезка касательной к дуге), приходит к равенству (дифференциальному уравнению)
рdу = хdх, где р – поднормаль (отрезок IA, рис. 10)
«Если, — пишет он, — обратить это разностное (дифференциальное) уравнение в суммирующее, то будет
рdу = хdх.
Но из того, что я изложил в своём методе касательных, явствует, что
1/2 dх2 = хdх;
|
1/2 х2 = хdх,
|
Таким образом, исходя из понятия определённого интеграла, Лейбниц приходит к понятию функции F(х) первообразной (или примитивной) для данной функции f(х) так, что
F’(х) = f(х), или dF(х) =f(х)dх.
Отсюда и заключение о том, что дифференцирование и интегрирование являются двумя взаимно обратными операциями.
Метод флюксий» Ньютона.
Независимо от Лейбница и ещё до него эти результаты были получены Ньютоном. Последний, однако, нашёл их, идя по другому пути. Ньютону принадлежат в областях науки первоклассные достижения, в том числе и разработка дифференциального и интегрального исчисления в форме метода флюксий.
В своём «Методе флюксий» автор формулирует две основные проблемы. Первая:
«По данному соотношению между флюэктами определить соотношение между флюксиями».
Решение этой проблемы приводит Ньютона к вычислению флюксии (производной) от данной флюэнты (функции) и к своеобразному обоснованию развитого или дифференциального исчисления. Он вводит понятие «моментов» текущих величин, соответствующих понятию дифференциалов функций. Неограниченно малую величину, понимаемую актуально бесконечно малое приращение независимой переменной (времени), Ньютон обозначает через знак O, напоминающий нуль, но не являющийся нулём. Момент флюэнты и, например он обозначает так ио, где и – флюксия. По существу момент флюэнты это её дифференциал.
Вторую проблему Ньютон формулирует так.
«По данному уравнению содержащему флюксии, найти соотношение между флюэктами». Это общая проблема объём интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений, которую Ньютон решает главным образом с помощью бесконечных рядов, содержит в частности задачу определения функции F (называемую первообразной), зная её производную F’ = f. Именно эта задача приводит к понятию неопределённого интеграла.
Многие задачи из механики и физики ведут к понятию первообразной функции неопределённого интеграла, однако исторически, в частности у Ньютона, это понятие возникло из геометрии как задача квадратуры кривой.
Пусть имеем криволинейную трапецию (рис. 11), ограниченную сверху кривой у = f(х), и пусть эта функция непрерывна на [а,в] и принимает лишь неотрицательное значение.
Для нахождения площади Р нашей трапеции рассмотрим сначала площадь Р(х) фигуры АDLK, отвечающей промежутку [а, х], где х – произвольно взятое на [а,в] значение. Для нахождения функции Р(х) построим приращение Dх и соответствующее ему приращение DР, если т и М предоставляют минимум, соответственно, максимум f(х) в промежутке [х, х+Dх], то, очевидно, будет иметь место неравенство
т Dх < DР < МDР ,
откуда т < DР/Dх < М.
Вследствие непрерывности функции м и М будут стремиться к f(х) при стремлении Dх к нулю, и мы получим:
|
то есть, производная от переменной Р(х) по конечной абсциссе х равна конечной ординате у = f(х), или, тоже, площадь Р(х) криволинейной трапеции есть первообразная функция для функции у = f(х), представляющей собой кривую ограничивающую трапецию.
Можно теперь записать:
Р(х) = F(х) +С. (V)
Но так как при х = аР(х) = 0, получим для значения постоянной С в нашем случае:
0 = F(а) + С, или С = – F(а),
подставив это значение С в (V), будем иметь:
Р(х) = F(х) – F(а), (W)
Для определения площади Р всей криволинейной трапеции ABCD следует положить х = в.
Тогда
Р = F(в) – F(а).
Таким путём исходя из понятия производной, Ньютон пришёл к понятию первообразной или неопределённого интеграла. Последний являлся для Ньютона первоначальным понятием при построении интегрального исчисления.
Равенство (W), пользуясь современными символами, можно переписать так:
f(х)dх = F(х) – F(а).
Это и есть так называемая формула Ньютона–Лейбница. В ней определённый интеграл, рассматриваемый как функция верхнего переменного предела интегрирования представлен в виде одной из первообразных F(х) + С подынтегральной функции f(х).
Итак, задача вычисления площади фигур, то есть, квадратура, ведёт к понятиям как определённого, так и неопределённого интегралов.
Поэтому вычисление интегралов стали называть квадратурой.
Дифференциальные методы.
В математике XVII в. наряду с интегральными методами складывались и методы дифференциальные. К дифференциальным методам мы отнесём те, в которых содержатся элементы будущего дифференциального исчисления. Вырабатывались эти элементы при решении задач, которые в настоящее время решаются с помощью дифференцирования. Такие задачи были в то время трёх видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций и отыскивание условий существования алгебраических уравнений кратных корней.
Накопление элементов дифференциального исчисления наиболее явную форму приняло у Ферма. В 1638 г. он сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений f(х) .
 |
Ферма составил уравнение [f(х + h) – f(х)] / h = 0 и после преобразований в левой части полагал h = 0. Вопреки мнению позднейших исследователей, которые видели в этом идеи исчисления бесконечно малых, в действительности Ферма нашёл это условие и аналогичное
[f(у) – f(х)] / [у–х] = 0
Так же близок к дифференциальному исчислению метод Ферма отыскания касательных к алгебраическим кривым.
На малой дуге MN алгебраической кривой f(х) = 0 путём проведения секущей SMN строится «характеристический» D MNP.
D MNP подобен D MRS.
Отсюда SR = (MR . MP) / PN, или в более привычных нам символах SP = [f(х)h] / f(х+h) – f(х).
Затем Ферма переходит от секущей к касательной, полагая х = 0, получая тем самым St = у / у1. Позднее он распространил этот метод определения касательных на случай неявной функции f(х,у) = 0. Полученное им выражение легко переводится в привычное нам
дf / дх + у1 (дf / дх) = 0.
Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав. В предисловии даётся краткий исторический обзор развития нового исчисления.
В 10 главах книги излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала («Бесконечно малая, часть на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина, называется её дифференциалом».), объясняются употребляющиеся обозначения dх, dу и др., выводятся правила дифференцирования алгебраических выражений, определяется дифференциальное исчисление к нахождению касательных к кривым, к нахождению максимумов и минимумов и т.п.
Большими достоинствами книги Лопиталя являются простота и строгая последовательность изложения, обилие примеров лёгких, средних и более трудных.
Появление анализа бесконечно малых революционировало всю математику, превратив её в математику переменных величин.
Литература.
1. Стефан Бонах
«Дифференциальные и интегральные исчисления».
2. Глаголев А.А., Солнцева Т.В. «Курс высшей математики».
3. Глейзер Г.И. «История математики в школе».
4. Рыбников К.А. «История математики».
5. Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики».
6. Шестаков А.А. Малышева И.А. «Курс высшей математики».
7. Хрестоматия по истории математики.
Дата: 2019-12-22, просмотров: 262.
