Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади любых фигур и поверхностей и объёмы произвольных тем. Предыстория интегрального исчисления восходит к глубокой древности. Идея интегрального исчисления была древними учёными предвосхищена в большей мере, чем идея дифференциального исчисления.
Следует особо упомянуть об одном интегральном методе Архимеда, примененном в следующих его произведениях:
«О шаре и цилиндре», «О спиралях» и «О коноидах и сфероидах». В последнем произведении рассмотрены объёмы сегментов, получаемых при сечении плоскостью тел, образованных вращением вокруг оси эллипса, параболы или гиперболы.
В терминологии Архимеда «прямоугольный коноид» – это параболоид вращения, «тупоугольный коноид» – одна полость двуполостного гиперболоида вращения, «сфероид» – элипсоид вращения.
В XIX предложении своего произведения «О коноидах и сфероидах» Архимед доказывает следующую лемму: «Если дан сегмент какого–нибудь из коноидов, отсечённый перпендикулярной к оси плоскостью, или же сегмент какого–нибудь из сфероидов, не больший половины этого сфероида и точно также отсечённый, то можно вписать в него телесную фигуру и описать около него другую, состоящих из имеющих равную высоту цилиндров, и притом так, что описанная фигура больше вписанной на величину, меньшую любой наперёд заданной телесной величины.»
Эта лемма является ярким примером метода интегральных сумм, существо которого состоит в следующем: тело вращения разбивается на части и каждая часть аппроксимируется описанным и вписанным телами, объёмы которых можно вычислить. Сумма объёмов описанных тел будет больше, а сумма вписанных тел – меньше объёма тела вращения. Теперь остаётся выбрать аппроксимирующее сверху и снизу тела таким образом, чтобы разность их объёмов могла быть сделана сколь угодно малой. Это достигается выбором в качестве указанных тел соответствующих цилиндриков.
Архимед фактически вводит понятие интегральных сумм, верхних Vп и нижних vп и находит объём V полуэллипсоида, как общий предел этих сумм при п ® ¥. Так же он определяет объём сегментов параболоида и гиперболоида вращения. Выражаясь современным языком Архимед определил интегралы:
хdх = а2/2, х2dх = а3/3, (х2 + вх)dх = а3/3 + а2в/2
В своём произведении «О шаре и цилиндре» он определил интегралы:
1/2 sin j dj = 1, sin j dj = – cos a + 1.
Конечно у Архимеда нет ещё общих понятий предела и интеграла, нет и общего алгоритма интегрального исчисления. Приведённые и другие его выкладки всегда связаны с решением конкретных геометрических задач без указаний на то, что в основе всех их лежит один и тот же общий приём арифметического суммирования сколь угодно малых частей фигуры. Несмотря на то, что квадратура параболы и кубатура сфероида сводятся к определению одного и того же интеграла, Архимед пользовался для решения этих задач различными методами.
В виде примера метода интегральных сумм приведём решение Архимедом задачи вычисления объёма эллипсоида вращения в сочинении «О коноидах и сфероидах».
Итак, дано тело вращения АВС и телесная (объёмная) величина Е>0. Делим ВО на п равных частей и строим описанные и вписанные цилиндры, суммы объёмов которых, соответственно обозначим, Von и Vвn. Их разность равна объёму цилиндрика АА1, то есть, pа2(в/п), который подбором достаточно большего п может быть сделан сколь угодно малым.
Теперь предположим, что на данном рисунке изображён сегмент эллипсоида вращения и поставлена задача вычислить его объём. В таком случае
|
= phå (хk)2, (х0 = 0)
Задача сведена к суммированию квадратов чисел. Далее Архимед производит геометрические преобразования, эквивалентные следующим аналитическим преобразованиям:
Так как х2/а2 + у2/в2 = 1, то х2 = а2/в2(в2 – у2) и далее каждого сечения: (х1)2 = а2/в2(в2 – h2),
(х2)2 = а2/в2(в2 – (2h)2),
…………………………,
|
|
откуда Vоп = åph(хk)2 = (phа2)/в2[пв2 – h2åJ2], где
|
|
|
что до известной степени эквивалентно оценке для ò х2dх
из этих оценок получается
Vоп = p(а2/в2)h [пв2 – h2(п3/3)] = pа2в(1–1/3) = 2/3pа2в
Аналогично Vвп < 2/3pа2в.
Но так как согласно лемме, Vоп – Vвп < Е, то искомый объём сегмента
V < 2/3pа2в,
то есть, равен удвоенному объёму конуса с тем же основанием и высотой, что и сегмент.
Единственность предела доказывается, как и во всех других случаях, приведением к противоречию.
Приведённый пример показывает, что в античной математике сложился ряд элементов определённого интегрирования, в первую очередь построение верхних и нижних интегральных сумм, аналогичных до известной степени суммам Дарбу.
Дата: 2019-12-22, просмотров: 271.
