Лемма 3.3 Предположим, что ненулевое комплексное число  принадлежит спектру оператора Т. Тогда  является собственным значением оператора Т*.

Доказательство. Применяя предыдущую лемму, полу­чим, что множество значений оператора ( I–Т) не совпадает со всем пространством. Так как множество значений оператора ( I –Т) замкнуто, то существует ненулевой элемент у такой, что для любого x H справедливо равенство [ х–Тх, у] = 0, или [х, у–Т*у] = 0. Таким образом,  является собственным значением оператора Т. Из вышеприведенных лемм следует следующая теорема

Теорема 3.1 Пусть – ненулевое комплексное число. Тогда либо  является собственным значением оператора Т, либо оно принадлежит его резольвентному множеству. (Это утверждение называется альтернативой Фредгольма.)

Доказательство. Достаточно показать, что если число принадлежит спектру оператора Т, то оно является собствен­ным значением. Если  не принадлежит спектру T и не является собственным значением, то множество значений оператора ( I–Т) не совпадает со всем пространством. Согласно предыдущей лемме отсюда следует, что  является собственным зна­чением сопряженного оператора T٭. Применяя лемму 2.3 еще раз, получим, что  является собственным значением оператора T ** = T . Теорема доказана.

Лемма 3.4 Пространство собственных функций, отвечающих ненулевому собственному значению, конечномерно.

Доказательство. Пусть  – ненулевое собственное зна­чение. Предположим, что соответствующее пространство собственных функций бесконечномерно. Пусть {е_к}— ортонормальный базис этого подпространства. Тогда Te_k = e_k , и потому [ Te_k , e_k ] = . Но последовательность { Te_k } должна сильно схо­диться к нулю, что невозможно.

Лемма 3.5 Последовательность {Х_п} ненулевых и попар­но различных собственных значений оператора Т может иметь предельной точкой лишь нуль.

Точно так же, как и в конечномерном случае, собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы. Действительно, пусть Тх = х, Тх₂ = х₂, Tx_m = x_m . Пусть, далее, m является наименьшим целым чис­лом таким, что элемент х_т принадлежит подпространству, по­рожденному элементами {х, .., Х_т-1). Тогда

x_m (3.9)

Следовательно,

x_m = (3.10),

и потому

=0 (3.11)

Отсюда следует, что т может быть уменьшено на единицу, что противоречит определению целого m. Обозначим через Р_т опе­ратор проектирования на подпространство Е_т, порожденное элементами {х, ..., х_т}. Оператор Т отображает подпростран­ство Е _m в себя. Положим z_m = x_m — P_{m -1} x_m . Тогда z_m 0 и [ Tz_m ; z_m ] = [ z_m ; z_m ]. Пусть e_m = z_m /|| z_m ||. Последовательность { e_m }, очевидно, ортонормальна и [ Te_m , e_m ]= λ_m . Следовательно, λ_m→0. Таким образом, нену­левые собственные числа образуют изолированное подмноже­ство спектра. Для произвольных двух заданных чисел 0<r ₂ <  r ₂ множество { z:  z <| z |< r ₂ } может содержать лишь ко­нечное число собственных чисел оператора Т. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 3.2 Спектр компактного оператора содержит не более счетного числа точек и его предельной точкой может быть лишь нуль. Каждая ненулевая точка спектра является собственным значением.

Компактный оператор может вообще не иметь собственных значений. Однако для самосопряженных компактных операторов это уже не так.

Теорема 3.3 Самосопряженный компактный оператор, отображающий пространство Н в себя, имеет по крайней мере одно собственное значение.

Доказательство. Прежде всего докажем, что если опе­ратор самосопряжен, то

(3.12)

Обозначим правую часть этого равенства через с. Ясно, что с . Далее, имеем

,  х, у  Н.

По

[Тх, у] + [Ту, х] = {[Т(х + у), х+у]–[Т(х-у), х–у]}.

Следовательно,

|[Тх, у] + [Ту,х]|≤1/2{|[Т(х + у), х+у] + [Т(х-у),х-у]|}≤

≤ 1/2 c {|| x + y ||²+|| x – y ||²}= c (|| x ||²+|| y ||²) (3.13)

Tак как оператор Т самосопряжен, поэтому в случае вещественного гильбертова пространства

|[Тх, у]|≤ c ,

или  |[Тх, у]|≤с для всех || х || = || у || – 1. Следовательно, или  |[Тх, у]|≤с|| х || *|| у ||, или || T || < с. Если исходное пространство рассматривается над полем комплексных чисел, то положим [ Tx , у] = | [Тх, у] | eⁱ . Пусть х₁ = x . Тогда в силу самосопря­женности оператора T имеем

[Т x ₁ , y ₁ ] + [Ту, х₁] = с( ) (3.14)

Полагая || х || = || у || = 1, получим [ Tx , у] , отсюда следует, что | [Тх, у] | < с|| х || || у || . Таким образом существует  последовательность {х_п} такая, что

|| х _n ||= 1, lim |[ Tx_n , x_n ]| = || T ||>0

Tак как последовательность {[Тх_т, х_т]} состоит из вещественных чисел, то, переходя к подпоследовательности, можно считать, что она сходится либо к +||T||, либо к –||Т||. Обозначим этот предел через . Еще раз переходя к подпоследовательности можно считать, что х₀ слабо сходится к х₀; в силу компактности оператора Т последовательность {Тх_п} будет сильно схо­диться к у₀ =Тх₀. Следовательно,

lim [ Tx_m , x_m ] = [Тх_о, х_о] = [у₀, х₀] (3.15)

Кроме того,

0< lim || Tx_m – x_m ||² = || y ₀ ||² - 2 ² + ² = || у₀ || ² – ².

Но || у₀ || ² = lim || Tx_m ||²  || T ||² = , поэтому  || у₀ || ² =  и

lim || Tx_m – x_m ||²  = 0 (3.16).

В силу сильной сходимости { Tx_m } последовательность {х_т} сильно сходящаяся. Следовательно, Тх₀ = х_о, причем ||х₀||=1 и  = ±|| T ||. Теорема доказана.

Точно так же, как и в конечномерном случае, собственные векторы самосопряженного оператора, соответствующие различ­ным собственным значениям, ортогональны. Пусть теперь Т — компактный самосопряженный оператор. Тогда, как мы знаем, его спектр состоит из дискретного множества вещественных соб­ственных значений { _i } и предельной точкой { _i } может быть лишь нуль. Обозначим через M_i подпространство собственных векторов, соответствующих ненулевому собственному значе­нию _i .

М _i = {х : Тх = х}.

Пусть M ₀ = {х: Тх = 0}. Для любого х из Н положим x_i = Р _i х, где Pi — оператор   проектирования на подпространство M_i .

Тогда 0 , потому ряд сильно сходится. Рассмотрим подпространство H₀, ортогональ­ное всем M_i , i= 0, 1, ... Тогда Н₀ — замкнутое подпространство и оператор T, будучи самосопряженным, отображает Н₀ в себя. Так как оператор Т является самосопряженным и компактным, то существует собственное значение  такое, что Тх = х, x H. Однако это возможно лишь в том случае, если H ₀ ={0}, т. е. нуль является единственным элементом H ₀. Следовательно, для любого х из H справедливо разложение

x = (3.17).

Следовательно, Tx = . Заметим, что для каждого элемента _i справедливо разложение

x_i = , Te = (3.18),

где е ^ij, j = 1, …, m_i, –базис подпространства М _i , которое, как было показано выше, конечномерно.

Замечание. Равенство Тх =  можно переписать в виде

Т = , =I ,     [ P_ix , P_jx ] = 0,

где I — тождественный оператор. Из этих равенств следует

T = , E_i = (3.19)

причем последовательность операторов проектирования { E_i } не убывает. Такого рода представление можно получить и для про­извольного ограниченного оператора.

Пример 3.1 Задача определения собственных значений и собственных функций компактного самосопряженного опера­тора в общем случае довольно сложна и, за исключением от­дельных случаев, может быть решена лишь численно. Здесь мы рассмотрим лишь простейшую итерационную процедуру, позво­ляющую решить эту задачу приближенно. Пусть Т—компакт­ный самосопряженный оператор и х произвольный ненулевой элемент пространства Н. Предполагая Тх  0, положим х_п = Т^пх/ . Если Т^тх = 0 для некоторого m, то элемент х должен принадлежать ядру оператора T, и потому он является собственным вектором. Таким образом, если элемент х не яв­ляется собственным вектором, отвечающим нулевому собствен­ному значению, то Т^пх  0 для любого п. Предположим, что это условие выполнено. Рассмотрим спектральное представле­ние Tx = , где _I –ненулевые собственные значения, а P_i —операторы проектирования на соответствующие подпро­странства собственных векторов. Предположим, что модули соб­ственных значений образуют невозрастающую последователь­ность, т.е. ... Определим оператор P  следующим образом. Если +| | является собственным значением, то Р  — оператор проектирования на соответствующее подпространство собственных векторов, в противном случае P  — нулевой оператор. Аналогично, если —| | — собственное значение, то Р  — проектор на соответствующее подпространство собственных векторов, иначе Р — нулевой оператор. Итак, пусть последовательность собственных значений упорядочена по возрастанию их модулей: … Тогда ясно, что последовательность

[Тх_п, х_п] =

сходится к

.

если только || P x ||² +  0.

Последовательность { x _{2 n} } сильно сходится к

( P x + P x )/|| ( P x – P x )||

а последовательность х_2n+1  сходится к

( P x + P x )/|| ( P x – P x )|| .

В более общем случае следует положить

k = inf { j : || P x + P x ||  0}

и во всех последовательностях, рассмотренных выше, вместо индекса 1 подставить k . С целью ускорения сходимости процес­са можно исходить из оператора Т – I вместо Т. Это и есть обобщение энергетического метода на бесконечномерный случай.

Заключение