Определение 2.5 Ограниченный линейный оператор, отображающий пространство H  в H₂, называется компактным (вполне непрерывным), если он переводит ограниченные множе­ства из Н в компактные подмножества H ₂ .

Важное характеристическое свойство компактных операто­ров определяется следующей теоремой [7].

Теорема 2.3 Пусть Т — компактный оператор, отобра­жающий пространство H  в H ₂. Тогда для любой слабо сходя­щейся последовательности {х_п} из Н  последовательность {Тх_п} сильно сходится в H ₂. Обратно, любой ограниченный линейный оператор, обладающий этим свойством, компактен [6].

Доказательство. Пусть оператор Т компактен, а {х_п} — слабо сходящаяся, скажем к х₀, последовательность из Н . Тогда, согласно принципу равномерной ограниченности имеем оценку

<М

для некоторого числа М, О < М < . Поэтому последователь­ность {Тх_п} принадлежит некоторому компактному подмножеству в H₂ и, значит, из любой ее подпоследовательности можно извлечь еще более узкую сильно сходящуюся  подпоследователь­ность. Обозначим такую сильно сходящуюся подпоследователь­ность через { Tx_nk }, а ее предел через у. Тогда для любого h H ₂ имеем цепочку равенств

[ y , h ] = lim [ Tx_nk , h ] = lim [ x_nk , T * h ] =[х₀, T * h ] = [Тх₀, h ],

откуда у=Тх₀, так что у не зависит от выбора конкретной под­последовательности, а значит,

limTx_n = у.

Обратно, пусть Т — ограниченный линейный оператор, пере­водящий любую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся. Пусть В— ограниченное множество в Н . Пока­жем, что замыкание множества ТВ компактно. Действительно, пусть {х_п} — произвольная последовательность элементов из В. В силу свойства слабой компактности ограниченных множеств в гильбертовом пространстве найдется подпоследовательность  { x_nk }, слабо сходящаяся к некоторому пределу, скажем к x . Тогда подпоследовательность { Tx_nk } сходится сильно и, как мы видели, ее пределом должна быть точка Тх₀. Очевидно, что T х₀ — предельная точка множества ТВ, а это и значит, что опе­ратор компактен.

Пример 2.4 Пусть ( _{, ,} ), ( , , ) — пространства c -конечными мерами _, .  Обозначим через R ( t , s )  измеримую матричную функцию порядка (р, q), определенную на множестве . Положим

.

Тогда оператор L, определенный соотношениями

Lf=g, g(t)= R(t, s) f (s)d  , t  Q₂,

линейно и непрерывно отображает пространство Н₁ = L ( _{, ,} )^p в H₂= L₂( , , )^p . Заметим, что пространство Н  не обязательно сепарабельно. Докажем компактность оператора L. Пусть последовательность f_n H ₁  слабо сходится.  Для всех t , где —множество полной меры имеем

.

Пусть e_i — единичный вектор евклидова пространства R^q. Тогда для любого t  формула

[ R ( t , s ) f ( s ) d , е _i ]

определяет линейный непрерывный функционал на простран­стве H ₁. Следовательно, для каждого t   последовательность

g_n ( t )= R ( t , s ) f_n ( s ) d

g ( t ) = R ( t , s ) f ( s ) d .

Можно применить теорему Лебега о почленном интегри­ровании последовательности. Следовательно,

при n . Так как последовательность g_n(∙) сходится к g(∙) слабо, то отсюда следует сильная сходимость g_n к g.

    3 Спектральная теория компактных операторов

    3.1 Множество значений компактного оператора

Спектральная теория характеризует спектры и резольвент­ные множества операторов. Исследование интегральных опера­ндов по существу эквивалентно изучению интегральных урав­нений.

По своим свойствам компактные операторы близки к конеч­номерным (матричным) операторам. Кроме того, последние играют большую роль в приложениях. Пусть Т— компактный оператор, отображающий пространство Н в себя. Тогда, если пространство бесконечномерно, то нуль должен принадлежать спектру, поскольку тождественный оператор Т^-1Т не является компактным. Напомним, что в дальнейшем пространства рассматриваются над полем комплексных чисел.

Лемма 3.1 Для любого 0 множество значений оперaтора I – Т замкнуто [10].

Доказательство. Пусть {у_п} — сходящаяся последовательность из множества значений оператора ( I— T), т. е. y_n= х _n – Тх_п. Положим

М = {х: х=Тх}.

Тогда М – замкнутое подпространство Н. Обозначим через Р оператор проектирования на подпространство М и положим z_n=х_п –Рх_п. Предположим, что ||z_n|| . Пусть

,  (3.1).

В силу сходимости {у_п} последовательность h_n сходится к нулю. Так как || ||=1, то, переходя к подпоследовательности, можно считать, что { } слабо сходится к элементу . Однако ввиду равенства ТР= Р справедливо соотношение

_n = ( h_n + T _n )/ (3.2).

Отсюда, в силу сильной сходимости T _n к T _n следует, что последовательность { _n } сильно сходится к . Далее, = T  и || || = 1. Однако это невозможно, поскольку элементы _n при­надлежат M . Таким образом, последовательность {||z_n||} огра­ничена. Поэтому, переходя к подпоследовательности, можно считать, что { z_n } – слабо сходящаяся последовательность. Из равенства z_n = ( y_n + Tz_n )/  как и ранее, следует, что последо­вательность { z_n } сходится сильно. Обозначая через z соответ­ствующий предел, получим, что z = Tz + у, где у — предел последовательности {у_п}. Лемма доказана.

Лемма 3.2 Предположим, что 0 и множество зна­чений оператора ( I –Т) совпадает со всем пространством Н. Тогда  принадлежит резольвентному множеству оператора Т [10].

Доказательство. Достаточно показать, что  не являет­ся собственным значением оператора Т. Предположим против­ное; тогда найдется элемент х 0 такой, что х=Тх. Так как множество значений оператора I–Т совпадает со всем про­странством, то существует элемент f ₁ из H  такой, что f ₁–Tf ₁ = x . Далее, по той же причине найдется элемент f₂ такой, что f ₂–Tf ₂ = f ₁ . По индукции строится последовательность { f_k } такая, что

f_k – Tf_k = f_k-1   (3.3)

f₁ – Tf₁ =x=f₀  (3.4)

Обозначим через E_k подпространство, порожденное элементами { f _0,...,f_k }. Докажем, что dim E_k > dim E_k для всех k 1. Для этого достаточно показать, что элемент f_k не принадлежит пространству E_{k -1} . Предположим противное. Тогда

f_k= (3.5)

Следовательно,

Tf_k = a_iTf_i = a_i [ f_i –f_j-1] + a₀  f₀ (3.6).

             С другой стороны, Tf_k = Xf_k — Tf_{k -1} . Таким образом,

f_k –f_{k -1} = – (3.7)

или

f_k –f_{k -1} =  (3.8).

Следовательно, противоположное утверждение остается верным для ( k–1), и потому оно справедливо и для случая k = 1, что невозможно. Далее, если dimE_k > dim E_{k -1} ,  то существует ортонормированная последовательность векторов {е _k } такая, что e^k ортогонален подпространству E_{k -1} . Но [ I – T ] E_k E_{k -1}  и потому [( I — Т)е_к, e_k ] = 0, т. е.  = [ Te_k, e_k ]. Но последова­тельность { e_k } слабо сходится к нулю, поэтому последователь­ность { Te_k } сходится к нулю сильно. Следовательно = 0, что невозможно.