Сопряжённый и самосопряжённый оператор

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………..………………………………………………..4

1 Линейный оператор…………………………………………………………...4

1.1 Понятие линейного оператора………………………………………...4

1.2 Линейные преобразования………………………………………….....4

1.3 Сопряжённый и самосопряжённый оператор………………………..5

2 Спектральная теория компактных операторов……………………………...7

2.1 Спектр оператора……………………………………………………...7

2.2 Понятие об ограниченном операторе………………………………...8

2.3 Понятие о компактном операторе…………………………………...13

3 Спектральная теория компактных операторов……………………………….16

3.1 Множество значений компактного оператора……………………........16

3.2 Собственное значение компактного оператора……………………..18

Заключение……………………………………………………………………...25

Список использованных источников……………………………………..…...26

ВВЕДЕНИЕ

Данная курсовая работа посвящена спектральной теории операторов. В отдельной главе более подробно рассматривается спектральная теория компактных операторов. Важнейшими задачами этой теории являются утверждения о приведении изучаемых операторов к так называемому диагональному виду – спектральные теоремы, утверждения о свойствах спектра и собственных значениях.

Цель данной курсовой работы – познакомить тех, кто интересуется математикой со спектральной теорией операторов, в частности, со спектральной теорией для компактных операторов.

Данная курсовая работа состоит из трёх глав:

1) Линейный оператор;

2) Спектральная теория операторов;

3) Спектральная теория компактных операторов.

В первой главе рассматривается понятия линейного оператора, линейные преобразования, сопряжённый и самосопряжённый оператор.

Во второй главе рассматривается понятие спектра оператора, теорема для замкнутого линейного оператора, спектральный радиус, понятие об ограниченном операторе и компактных операторах, а также теорема, являющаяся важным характеристическим свойством компактных операторов.

В третьей главе рассматриваются множество значений компактного оператора, собственные значения компактного оператора. В каждой главе приводятся решённые примеры.

Линейный оператор

Понятие линейного оператора

Функцию, множество значений которой принадлежит полю скаляров, называют функционалом.

Вообще функция может быть определена не на всем гильбертовом пространстве, а лишь на некотором его подмножестве. Это подмножество называют областью определения функции. Множеством значений функции называют множество, в которое эта функция отображает свою область определения. Для удобства условимся обозначать область определения через D, гильбертово пространство ее содержащее, — через Н₁ множество значений — через R а содержащее его пространство — через Н₂.

Определение 1.1 Оператор (преобразование) L называется линейным, если его область определения D является линейным подпространством (плотным или нет) и он линеен на D

L( x + y)= Lx + Ly (1.1). [9]

Множество линейного оператора также является линейным подпространством.

1.2 Линейные преобразования

Определение 1.2 Графиком G(T) линейного преобразования Т называется подпространство в произведении подпространств Н₁ Н₂, образованное по правилу

G(T) = (1.2).

Определение 1.3 Линейное преобразование Т называется замкнутым, если его график функции замкнут в Н₃. Иначе замкнутость оператора Т можно определить так: пусть x_n D(T), x_n x, Tх_n у. Тогда x D(Т) и Тх = у.

Отметим, что, как правило, дифференциальные операторы замкнуты. Этот факт и определяет необходимость рассмотрения класса замкнутых операторов.

Определение 1.4 Линейное преобразование Т называется ограниченным, если D = Н₁ и

sup =M< (1.3).

Определение 1.5 Нормой линейного ограниченного преобразования T называется число

sup (1.4)

Линейное преобразование ограничено, если оно непрерывно в начале координат. Тогда оно непрерывно в каждой точке. Ограниченное линейное преобразование, очевидно, непрерывно.

Пусть Т₁, Т₂ — линейные ограниченные операторы, отображающие пространство Н₁в Н₂. Тогда ясно, что сумма T₁+Т₂ также является линейным ограниченным оператором. Кроме того,

(1.5)

В силу определения ( T)x= Тх, где элемент поля скаляров, следовательно, оператор Т ограничен, если T ограничен. Следовательно, множество всех линейных ограниченных операторов образует линейное пространство, а норма оператора является нормой на этом пространстве. Полученное таким образом линейное нормированное пространство операторов обозначается через L(H₁,H₂). Нетрудно показать, что пространство L(H₁,H₂) полно. Действительно, если {Tn} — последовательность Коши этого пространства, то для любого элемента х пространства H₁ имеем

(1.6).

Следовательно, {T_nx} является последовательностью Коши пространства H₂, ее предел обозначим через Тх. Очевидно, что оператор Т линеен и ограничен. Если n>N(e) и , то

+ (1.7).

Спектр оператора

В приложениях часто возникает следующая задача: задан оператор Т, найти элемент х такой, что Тх=у, где элемент у задан. В общем случае множество решений может оказаться либо пустым, либо содержать слишком много элементов. Можно рассмотреть несколько более общую задачу: найти элемент х такой, что х—Тх=у, где — скаляр. Важность рассмотрения этой задачи обусловлена тем, что последняя тесно связана со структурой самого оператора. Возможно, что читатель имеет представление о собственных значениях и собственных векторах матрицы. Спектральная теория операторов рассматривает вопросы, связанные с этими понятиями, но уже для более широкого класса операторов. В дальнейшем гильбертовы пространства рассматриваются над полем комплексных чисел.

Определение 2.1 Пусть Т — замкнутый линейный оператор, отображающий пространство Н в себя. Комплексное число называется собственным значением оператора Т, если существует элемент х. из Н такой, что Тх = х; при этом элемент х (предполагается, что его норма равна 1) называется собственным вектором, соответствующим . Множество всех собственных значений оператора Т образует его точечный спектр [4].

Если комплексное число X не принадлежит точечному спектру оператора Т, то, безусловно, можно определить оператор ( I – T)^-1 (здесь I — тождественный оператор): х= ( I — Т) y в том и только том случае, если у= –Тх.

Обратный оператор ( I—Т) очевидно, линеен. Однако для наших целей весьма важно знать условия, при выполнении которых обратный оператор ( I –Т) кроме того и непрерывен. Для этого необходимо, чтобы множество значений оператора ( I—Т) совпадало со всем пространством H. Но самое замечательное при этом заключается в том, что для замкнутых операторов это условие оказывается и достаточным, и этим в значительной степени объясняется наш интерес к замкнутым операторам.

Теорема 2.1 Пусть Т — замкнутый линейный оператор и число не принадлежит его точечному спектру. Пусть, далее, множество значений оператора ( I — Т) совпадает со всем пространством Н. Тогда оператор ( I—T)^-1 ограничен, т. е. для любого элемента х из Н и некоторого числа М (зависящего от ) справедлива оценка

(2.1).

Доказательство. Оператор ( I—T) замкнут и его область определения есть все пространство Н. Следовательно, по теореме о замкнутом графике он должен быть непрерывным.

Определение 2.2 Множество комплексных чисел , не являющихся собственными значениями оператора Т, таких, что множество значений оператора I — Т совпадает со всем пространством Н, называется резольвентным множеством оператора Т и обозначается через p (Т). Для р(T) оператор ( I — Т)-¹ обозначается через R ( , T ) и называется резольвентой Т. Дополнение резольвентного множества называют спектром оператора. Таким образом, точечный спектр оператора является подмножеством его спектра [5].

Пример 2.1. Пусть H = L ₂ (0, 1), a D — класс функций, производные которых тоже принадлежат L₂(0, 1). Для функций f D положим Tf = . Тогда оператор Т замкнут и его область определения плотна. Рассмотрим его резольвентное множество. Уравнение f — = 0 означает, что f ( t )= f (0) e и e L₂(0, 1). Таким образом, все числа принадлежат спектру оператора T, и потому его резольвентное множество пусто. Этого, однако, не может быть для ограниченных операторов.

Заключение