Теорема 2.2  Пусть Т — ограниченный оператор, отобра­жающий пространство Н в себя. Тогда  р(T)  , если | |>r, где r = lim . Число г>0 называется спектральным ра­диусом оператора Т [5]

Доказательство. Основной шаг заключается в доказа­тельстве сходимости ряда

(2.2)

для всех | |>г. Это непосредственно следует из того факта, что мажорирующий ряд

(2.3)

абсолютно сходится при |z|> lim . Следовательно, ряд сходится по норме пространства L (H,H). Более того, имеем так что

( I – T)( )=( )( – T)=( ) (2.4)

Следствие 2.1 Спектр произвольного замкнутого опе­ратора является замкнутым множеством. Спектр ограниченного оператора не пуст.

Доказательство. Сначала докажем, что резольвентное множество произвольного замкнутого оператора открыто. В слу­чае, если резольвентное множество замкнутого оператора пусто, то доказывать нечего. Предположим, что резольвентное множе­ство не пусто и содержит число ₀. Покажем, что все , удов­летворяющие условию | – ₀|/||R( ₀; T )\\ < 1, принадлежат ре­зольвентному множеству. Прежде всего, отметим, что для таких  ряд ( – ₀)^п R ( ₀; Т)^п сходится и

(I+ ( – ₀) R ( ₀; T))  = ( ₀– ) R( ₀; Т)^п (2.5).

Докажем, что

(2.6)

Пусть x  H. Имеем

( I – T ) ( )x=x (2.7).

Если x D(T), то

(2.8).

Таким образом, оператор R ( λ ; T ) — резольвента. Следовательно, резольвентное множество открыто. Более того, имеем

R ( )= (2.9)

при ||λ R (λ₀; T )||< 1.

Таким образом, если L(∙) — линейный непрерывный функ­ционал на L ( H , H ), то функция L ( R ( K ; T )) оказывается анали­тической на резольвентном множестве оператора Т. Рассмотрим теперь случай, когда оператор Т ограничен. Предположим, что его спектр — пустое множество. Тогда для любого линейного непрерывного функционала L (∙) аналитическая функция L ( R(λ;Т)) определена на всей комплексной плоскости и, кроме того, она ограничена в бесконечности, поскольку ||λR (λ; Т) ||≤(1– /λ)-¹ для всех |λ|>||Т||. Следовательно, в силу клас­сической теоремы Лиувилля для любого функционала L (∙) и любого комплексного λ функция L ( R(λ;Т)) тождественно равна пулю. Но тогда L(I)=L(λR(λ;T)–TR(λ; I)) = L(TR(λ; T )). Поэтому в силу сходимости правой части последнего равенства к нулю при λ→ +  L ( I ) = 0 для любого линейного непрерыв­ного функционала L (∙), что невозможно. Таким образом спектр ограниченного оператора не может быть пустым.

Определение 2.3 Ограниченный оператор называется квазинильпотентным, если его спектральный радиус равен нулю [6].

Спектр квазинильпотентного оператора содержит лишь ну­левую точку.

Пример 2.2 Пусть H = L ₂ (0, 1). Определим оператор Т соотношениями

                         Tf = g, g(t)= f(s)ds, 0 t 1 (2.10)

Тогда оператор Т линеен и ограничен. Используя неравенство Шиарца, найдем Что касается спектра оператора T, то заметим, что если

λf ( t )— f ( s ) ds = 0 почти всюду на [0, 1],

f — непрерывная функция. Далее, уравнение

λ f ( t )- f ( s ) ds = g ( t )

имеет единственное решение

(2.11)

и потому спектр оператора Т может содержать лишь нулевую точку. Это можно доказать заметив, что оператор Т квазиниль-потентен:

(2.12)

Как было доказано выше, спектр ограниченного оператора не может быть пустым. Следовательно, спектр оператора Т состоит из нулевой точки. С другой стороны, в рассматриваемом случае, нуль не является собственным значением, поскольку из условия Tf = 0 следует, что  f = 0. Отсюда следует, что Т^-1 — замкнутый линейный оператор, однако он неограничен. Это и следовало ожидать, поскольку T^-1f = g означает, что g = f '.

Пример 2.3  В общем случае нельзя указать эффектив­ной процедуры отыскания спектра и резольвентного множества заданного оператора. Однако, для интегральных операторов та­кой общий метод существует; он заключается в дифференциро­вании необходимое число раз равенства, определяющего точку спектра с целью получения определяющего дифференциального уравнения. Рассмотрим, например, оператор

(2.13)

Рассмотрим сначала точечный спектр этого оператора. Если функция L(•) из H является собственным вектором, то

f ( s ) ds = λtf ( t ) почти всюду.

Дифференцируя обе части этого равенства, получим дифферен­циальное уравнение

f ( t ) = + ( t ) ;

его общее решение имеет вид f ( t )= k - t^a , где k — произвольное постоянное число, а  а = (1–λ)/λ. С другой стороны, из усло­вия

следует, что

l +2 Re ((1– λ)/ λ)=0 или Re (1/ λ)>

Таким образом, всякое комплексное число λ, удовлетворяю­щее этому условию, принадлежит точечному спектру. Так как спектр — замкнутое множество, то {λ; - + Re (1/ λ) ≥ } принадлежит ему. Это множество представляет собой шар ра­диуса 1 с центром в точке =1. Далее, рассмотрим уравнение f — Tf = g , или

tf(t)- f(s)ds = tg (t),

Предполагая дифференцируемость соответствующих функций,

получим

tf'(t) + f (t)–f(t) = tg' (t) + g(t).

Отсюда следует, что

(2.14)

где k — константа. Если ограничиться рассмотрением тех , для которых 1+2 Re (1- ) /  < 0, то, полагая k = 0, получим

(2.15)

Условие 1 + 2 Re ( l — ) /  > 0 эквивалентно условиям  Re ( l / ) < C < 1/2, или ² + ² —2 > 0, где =  + i . Можно показать, что последняя формула определяет резольвенту. Заметим, что такое  при­надлежит спектру, но не является собственным значением. Без­условно, спектр целиком содержится в шаре | | | T ||=2.

Определение 2.4 Ограниченный линейный оператор, отображающий пространство  в себя, называется неотрица­тельно определенным, если он самосопряжен и квадратичная форма [Тх, х] неотрицательно определена.

Для любого ограниченного линейного оператора операторы Т*Т и ТТ* неотрицательно определены [8].