Спектр оператора

В приложениях часто возникает следующая задача: задан оператор Т, найти элемент х такой, что Тх=у, где элемент у задан. В общем случае множество решений может оказаться либо пустым, либо содержать слишком много элементов. Можно рассмотреть несколько более общую задачу: найти элемент х такой, что х—Тх=у, где — скаляр. Важность рассмотрения этой задачи обусловлена тем, что последняя тесно связана со структурой самого оператора. Возможно, что читатель имеет представление о собственных значениях и собственных векторах матрицы. Спектральная теория операторов рассматривает во­просы, связанные с этими понятиями, но уже для более широ­кого класса операторов. В дальнейшем гильбертовы простран­ства рассматриваются над полем комплексных чисел.

Определение 2.1 Пусть Т — замкнутый линейный опе­ратор, отображающий пространство Н в себя. Комплексное чис­ло  называется собственным значением оператора Т, если су­ществует элемент х. из Н такой, что Тх = х; при этом элемент х (предполагается, что его норма равна 1) называется собствен­ным вектором, соответствующим . Множество всех собственных значений оператора Т образует его точечный спектр [4].

Если комплексное число X не принадлежит точечному спект­ру оператора Т, то, безусловно, можно определить оператор ( I – T)^-1 (здесь I — тождественный оператор): х= ( I — Т) y  в том и только том случае, если у= –Тх.

Обратный оператор ( I—Т)  очевидно, линеен. Однако для наших целей весьма важно знать условия, при выполнении ко­торых обратный оператор ( I –Т)  кроме того и непрерывен. Для этого необходимо, чтобы множество значений оператора ( I—Т) совпадало со всем пространством H. Но самое заме­чательное при этом заключается в том, что для замкнутых опе­раторов это условие оказывается и достаточным, и этим в зна­чительной степени объясняется наш интерес к замкнутым опера­торам.

Теорема 2.1 Пусть Т — замкнутый линейный оператор и число  не принадлежит его точечному спектру. Пусть, далее, множество значений оператора ( I — Т) совпадает со всем про­странством Н. Тогда оператор ( I—T)^-1 ограничен, т. е. для любого элемента х из Н и некоторого числа М (зависящего от ) справедлива оценка

(2.1).

Доказательство. Оператор ( I—T)  замкнут и его область определения есть все пространство Н. Следовательно, по теореме о замкнутом графике он должен быть непрерывным.

Определение 2.2 Множество комплексных чисел , не являющихся собственными значениями оператора Т, таких, что множество значений оператора I — Т совпадает со всем про­странством Н, называется резольвентным множеством опера­тора Т и обозначается через p (Т). Для  р(T) оператор ( I — Т)-¹ обозначается через R ( , T ) и называется резольвен­той Т. Дополнение резольвентного множества называют спект­ром оператора. Таким образом, точечный спектр оператора яв­ляется подмножеством его спектра [5].

Пример 2.1. Пусть H = L ₂ (0, 1), a D — класс функций, производные которых тоже принадлежат L₂(0, 1). Для функций f  D положим  Tf = . Тогда оператор Т замкнут и его область определения плотна. Рассмотрим его резольвентное множество. Уравнение f —  = 0 означает, что f ( t )= f (0) e  и e  L₂(0, 1). Таким образом, все числа   принадлежат спектру оператора T, и потому его резольвентное множество пусто. Этого, однако, не может быть для ограниченных операторов.