Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Разработанные методы анализа термодинамики процессов пере­работки полимеров позволяют устанавливать связь между основ­ными технологическими параметрами (давление, плотность, тем­пература) с достаточно высокой степенью точности. В настоящее время разработан весьма надежный математический аппарат, поз­воливший обобщить огромный экспериментальный материал.

Математические модели процессов теплопередачи базируются на математическом аппарате, разработанном в классических ис­следованиях теплопроводности в твердых телах. Общим недостат­ком известных решений является допущение о независимости теплофизических характеристик от температуры. Хорошо известно, что все термодинамические функции и теплофизические характерис­тики полимеров существенно зависят от температуры и давления. Поэтому при построении моделей реальных процессов следует об­ращать особое внимание на правильный выбор средних значений соответствующих характеристик.

3.2. Вывод дифференциального уравнения теплопроводности.

Для решения задач связанных с нахождением температурного поля необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности. Под дифференциальным уравнением понимают математическую зависимость между физи­ческими величинами характеризую­щими изучаемое явление, причем эти физические величины являются функциями пространства и времени. Такое уравнение характеризует протекание физического явления в любой точке тела в любой момент времени.

Дифференциальное уравнение теплопроводности дает зависимость между температурой, временем и координатами элементарного объе­ма.

Вывод дифференциального урав­нения сделаем упрощенным мето­дом. Предположим, что имеется од­номерное температурное поле (теп­ло распространяется в одном нап­равлении, например в направлении оси х ). Термические коэффициенты считаем не зависимыми от координат и времени.

Выделим в однородной и изотропной неограниченной пластине эле­ментарный параллелепипед, объем которого равен  (рис. 3.1) Количество тепла, втекающего через левую грань  в параллелепи­пед в единицу времени, равно  а количество тепла, вытекающе­го через противоположную грань в единицу

времени, равно   

                                

Рис 1.3. Поток тепла через элементарный объём

 

Если , то элементарный параллелепипед будет нагреваться, тогда разница между этими потоками тепла по закону сохранения энергии равна теплу, аккумулированному данным элементарным парал­лелепипедом, т. е.

                           (3.1)                 

Величина  есть неизвестная функция х. Если ее разложить в ряд Тейлора и ограничиться двумя первыми членами ряда, то можно написать:

                                                                                        (3.2)

Тогда из равенства (3.1) будем иметь:

                                                                          (3.3)

Применяя уравнение теплопроводности ,  получим:

                                                                                   (3.4)

 

Уравнение (3.5) есть дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерного потока тепла. Если тепло распространяется по нормали к изотермическим поверхностям, то вектор q можно разложить на три составляющие по координатным осям. Количество аккумулированного элементарным объемом тепла будет равно сумме

                                                       (3.5)

 

Тогда дифференциальное уравнение примет вид

               

                                               (3.6)

 

Для симметричного одномерного температурного поля  является функцией одной координаты. Поясним это на примере бесконечного круглого цилиндра. Если ось такого цилиндра совпадает с координа­той z, то температура в любой точке цилиндра будет зависеть только от координат х и у. При равномерном охлаждении или нагревании ци­линдра в любой точке, отстоящей на расстоянии r от оси цилиндра, температура в данный момент времени будет одна и та же. Следова­тельно, изотермические поверхности будут представлять собой цилин­дрические поверхности, коаксиально расположенные к поверхности ци­линдра. Между радиальной координатой r (радиус-вектор) и координатами х и у существует связь

                  

                              r ² = х² + у².                                                (3.7)

Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности для бесконечного цилиндра можно преобразовать так:

                  

                                                                                   (3.8)

 

для бесконечного цилиндра можно преобразовать так:

 

                                                   (3.9)

        

                                                            (3.10)

 

Дифференцируя (3.8) по х, а (3.10) по у, получаем

                                                                                         (3.11)

 

                                                                              (3.12)

       Складывая уравнения (3.11) и (3.12) и принимая во внимание (3.7), получим для уравнения теплопроводности следующее выражение:

В общем случае, когда температура зависит от всех трех координат (х, у, г), дифференциальное уравнение теплопроводности конечного ци­линдра имеет вид

                                     

                                     ;                                       (3.13)

 

        

 

4 СОСТАВЛЕНИЕ АЛГОРИТМА

    Для решения дифференциального уравнения теплопроводности бесконечного цилиндра воспользуемся методом сеток, суть которого заключается в разбиении координатной плоскости на равные части и вычислении значения искомой функции в узлах образуемой сетки. Используя значения функции в крайних точках можно последовательно вычислить её значение в любой части координатной плоскости.

;                                                             (4.1)

    Заменим частный дифференциал разностным отношением:

;                                 (4.2)

    Осуществим следующее преобразование функции:

;                                                                (4.3)

;                           (4.4)

;             (4.5)  (4.6)

 

; (4.7)

 

;        (4.8)

Подготовим уравнение (4.8) для рекуррентного вычисления в MatLab V6.0

Произведём переобозначения:

;                                             (4.9)

;                                         (4.10)

;                                                             (4.11)

;                                                             (4.12)

;                                       (4.13)

Имеем формулу:

T ( i +1, j +1)= T ( i , j +1)+( a * dt / dr )*((( T ( i , j +2)-2* T ( i , j +1)+ T ( i , j ))/ dr )+((1/ r )*( T ( i , j +2)- T ( i , j +1)))); (4.14)

       В результате последовательных вычислений можно получить массив T характеризующий температурное поле неограниченного цилиндра в любой момент времени.

1.Программа начинается c задание переменных: начального и конечного момента времени, числа дискретных отсчётов по времени, радиус цилиндра и число его разбиений, констант характеризующих тепло-физические свойства полимера.

2.Следующим этапом является вычисление шага аргументов, по которым будет вычисляться исходная функция.

3.Краевые условия: значения искомой функции в начальный момент времени t0 = 0 в зависимости от радиуса, и температуры стенки литникового канала в любой момент времени задаются циклом For.

4.Каждому элементу вектора характеризующего температурное поле в начальный момент времени присваивается значение температуры, вычисленное как значение функции распределения вложенной в цикл. Число циклов присвоения значений вектору увеличивают на два так-так его элементов на один должно быть больше чем число интервалов разбиений и на одно значение больше, чтобы было возможным вычисление значения массива в центре цилиндра после перехода от внутреннего цикла к внешнему.

5.Каждому элементу вектора характеризующего температуру стенки канала в любой момент времени присваивается постоянное значение температуры Число циклов присвоения значений вектору увеличивают на один, так-так его элементов на один должно быть больше чем число интервалов разбиений.

6.Для вычисления матрицы определяющей температуру цилиндра по радиусу в любой момент времени используем два вложенных цикла For. Во внутреннем цикле предусмотрено изменение радиуса цилиндра, и вычисление температурного поля  в заданный момент времени.

7.При переходе к внешнему циклу отсчёт по времени увеличивается на единицу. Значение производной температуры по радиусу в любой момент времени равно нулю и поэтому, чтобы учесть ещё одно краевое условие при переходе от внешнего цикла к внутреннему значение последней температуры копируется два раза.

8.После получения матрицы температур надо построить график. Чтобы координатные оси были проградуированные удобно для использования в матрице температур переставляют столбцы. Осуществляется это с использованием двух вложенных циклов.

9.Далее следует вывод графика и градуировка его осей.     

5 СОСТАВЛЕНИЕ ПРОГРАММЫ

    Программа для MatLab v6.0 R12 начинается очищения переменных графических окон функций и окна вывода результата. Осуществляют это с помощью: clear, clc, clf, clg

Чтобы программа была легка в использовании и проста в конфигурировании под любые задачи разработаем её используя понятные обозначения:

Задаём переменные:

начальный момент времени выбираем как t0=0;

конечный момент времени tk=120;

число дискретных отсчётов времени nt=120;

температура стенки Tc=30;

максимальная температура материала в середине цилиндра Tpol=170;

число дискретных отсчетов длинны цилиндра nR=10;

радиус цилиндра R=0.01 м;

температуропроводность полистирола a = 0.00000056 град/м с

Рассчитаем интервалы изменения температуры и радиуса

dr=R/(nR-1);

     dt=(tk-t0)/(nt-1);

    Присвоим начальные значения температуры стенки в цикле For:

    for i=1:nt+1

T(i,1)=Tc;

end

Присвоим начальные значения температурного поля полимера в цикле:

for j=1:nR+2

    T(1,j)=Tpol*exp(-2000*(R-dr*(j-1))^2);

end

    Рассчитаем матрицу температурного поля T во вложенном цикле For:

for i=1:nt

for j=1:nR

   r=R-dr*(j-1)+0.0001*dr;

   T(i+1,j+1)=T(i,j+1)+(a*dt/dr)*(((T(i,j+2)-2*T(i,j+1)+T(i,j))/dr)+((1/r)*(T(i,j+2)-T(i,j+1))));

end

 T(i+1,nR+1)=T(i+1,nR);

T(i+1,nR+2)=T(i+1,nR);

end

    Изменим порядок расположения столбцов обработав массив в двойном цикле For : 

 

 

for i=1:nt

for j=1:nR

   TT(i,j)=T(i,nR-j+1);

    end

end

    Построим поверхность описывающую полученную функциональную зависимость T(t,r):

figure(1)

mesh(TT)

Подпишем координатные оси

xlabel('R, MM')

ylabel('t, cek')

zlabel('T C')

 

6 АНАЛИЗ МОДЕЛИРОВАНИЯ И РАСЧЁТОВ

    В результате численного решения дифференциального уравнения с помощью составленной программы получены данные, хорошо согласующиеся с аналитическим решением дифференциального уравнения приведенным во второй главе данной пояснительной записки.

Результаты получаемые с помощью данной программы можно использовать для моделирований реальных технологических процессов связанных с охлаждением и нагреванием цилиндрических каналов.  

 

 

 

 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М., ГИТТЛ, 1952. 391 с.

2. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М., «Наука», 1964. 487 с.

3. Кирпичев М. В., Михеев М. А. Моделирование тепловых устройств. М.,изд-во АН СССР, 1936. 255 с.

4. Тябин Н. В. и др. В кн.: Теплообмен. 1974. Советские исследования. М., «Наука», 1975, с. 195—198.

5. Торнер «Технология переработки пластмасс­», Москва, Московский  политехи, ин-т, 1965, № 1, с. 138—143.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ1

 

clear, clc, clf, clg

t0=0;

tk=120;

nt=120;

Tc=30;

Tpol=170;

nR=10;

R=0.01;

dr=R/(nR-1);

dt=(tk-t0)/(nt-1);

a=0.00000056;

for i=1:nt+1

T(i,1)=Tc;

end

for j=1:nR+2

T(1,j)=Tpol*exp(-2000*(R-dr*(j-1))^2);

end

for i=1:nt

for j=1:nR

   r=R-dr*(j-1)+0.0001*dr;

   T(i+1,j+1)=T(i,j+1)+(a*dt/dr)*(((T(i,j+2)-2*T(i,j+1)+T(i,j))/dr)+((1/r)*(T(i,j+2)-T(i,j+1))));

end

T(i+1,nR+1)=T(i+1,nR);

T(i+1,nR+2)=T(i+1,nR);

end

for i=1:nt

for j=1:nR

   TT(i,j)=T(i,nR-j+1);

end

end

figure(1)

mesh(TT)

xlabel('R, MM')

ylabel('t, cek')

zlabel('T C')

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ2