Деякими математиками-педагогами спеціально з психологами були проведені комплексні психолого-педагогічні дослідження в галузі початкового навчання математики, відомі, наприклад, спільні дослідження психологів В.В. Давидова і Б.Д. Ельконіна і математика Н.Я. Віленкіна. Цікаві результати в галузі навчання математики і логіки дітей дошкільного і молодшого шкільного віку одержані відомим психологом і математиком З. Дьєнешем.

Багаточисленні психолого-педагогічні дослідження, які були проведені серед населення за кордоном, підтверджують неможливість приписування учням певного рівня мислення, обумовлений віковими особливостями. Хоча вікові особливості враховуються, але в результаті спеціальної підготовчої роботи можна значно розвивати здібності учнів до узагальнення й абстрагування, виконання певних логічних операцій.

Відомий психолог Занков Л.В. стверджував: "Принцип навчання на високому рівні труднощів характеризується не тільки і не стільки тим, що перевищує "середню норму" труднощів, але, перш за все, тим, що розкривав духовні сили дитини, дає їм простір і напрям. Не будь-яка складність, а складність, що полягає в пізнанні суті явищ, що вивчаються,. у вивченні програмного матеріалу йти вперед швидкими темпами. Наступний діалектичний принцип нової системи - ведуча роль теоретичних знань"

Для здійснення правильного контролю знань треба добре знати теорію Виготського Л.В., який висунув ідею про дві взаємопов'язані зони розвитку: актуального і найближчого.

Для наочного уявлення взаємозв'язку цих зон скористаємося моделлю.

 ЗНР

ЗАР

ЗАР (зона активного розвитку) - є результатом уже завершених циклів розвитку і дає змогу дитині самостійно розв'язувати інтелектуальні завдання.

ЗНР (зона найближчого розвитку) - пов'язана з тими процесами, які перебувають на стадії становлення і дозрівання. Цей рівень виявляється у розв'язуванні тих завдань, з якими дитина не може впоратися самостійно, але вона може їх вирішити за допомогою дорослого, в колективній діяльності, шляхом наслідування. Те, що дитина сьогодні вміє робити лише за допомогою інших, завтра вона зуміє зробити самостійно.

Зона найближчого розвитку - це завтрашній день дитини. При збігу сприятливих обставин вона раніше чи пізніше самостійно увійде в свій завтрашній день.

Від навчання, його змісту, форм і методів залежать темпи переходу учня від нижчих до вищих ступенів розумового розвитку. Спеціальними дослідженнями і практикою шкільного навчання доведено, що добре організоване (за своїми змістом і методами) навчання в школі значно прискорює переходи дітей від нижчих до вищих етапів розумового розвитку. В наш час ці переходи прискорюються в порівнянні з тим, як вони відбувалися колись. Причиною цього прискорення є передусім нові суспільні умови життя, завдяки яким діти на кожному віковому етапі засвоюють значно більше, ніж колись, обсяг інформації, що доходить до них різними шляхами.

Зона актуального розвитку з віком дитини все більше наближається до зони найближчого розвитку, тобто потенційні можливості завершують своє становлення.

З двома зонами розвитку зв'язане розв'язання питання про співвідношення навчання і розвитку. Отже, між навчанням і розвитком існує взаємозв'язок. Навчання активно сприяє розвитку школярів і водночас використовує його результати для досягнення нових своїх Цілей. Навчання не лише сприяє розвиткові, а й саме залежить від нього. Воно спрямовує розвиток, спираючись на його досягнення.

Учіння, в якому учневі все дається легко, стає для нього нецікавим і не приносить йому радості пізнання і успіху. Пізнавальні завдання, розв'язування яких не вимагають від дитини належних зусиль, не можуть викликати позитивні емоції, бо вона при цьому не відчуває руху вперед, задоволення своїх потенціальних можливостей, спрямованих на розвиток, Їй все зрозуміло і нудно. В результаті виникає небажання розв'язувати такі вправи. Зникає мотив учіння. Вона не бачить користі від такого проведення часу. Пізнавальне завдання, що відповідає ЗНР у відповідному віці, вимагає пізнавальних зусиль, пошуку нових підходів, актуалізує визрівші і готові до дії функції. У дитини викликає зацікавленість до завдання, яке імпонує її віковим особливостям, прагнення оволодіти способом його розв'язання, бажання будь-що, перебороти реальну, але посильну складність завдання.

"Педагогіка повинна орієнтуватися не на вчорашній, а на завтрашній день дитячого розвитку. Тільки тоді вона зуміє в процесі навчання викликати до життя ті процеси, які зараз лежать в ЗНР. Тільки те навчання в дитячому віці добре, яке забігає вперед розвитку і веде розвиток за собою"

Завдання справжньої педагогіки, як свідчать вищеописані дослідження, націлити дитину на свій завтрашній день. Реалізація цього завдання залежить від майстерності вчителя, від його вміння вчасно прийти на допомогу, встановити відношення співробітництва з учнем. "В співробітництві, - пише Л.В. Виготський, - під керівництвом, з чиєю-небудь допомогою дитина завжди може зробити більше і розв'язати більш важкі завдання, ніж самостійно. Центральний для всієї психології навчання момент є можливість підніматися у співробітництві на вищу інтелектуальну ступінь, можливість переходу від того, що дитина вміє, до того, чого вона не вміє.".

Заслуговує великої уваги теорія розвиваючого навчання з використанням принципу діалектичної логіки і змістовних узагальнень, розроблень групою вчених під керівництвом В.В. Давидова.

Експериментами В.В. Давидова доведено, що можна прискорювати формування розумових дій учитель дітей, починаючи зі старшого дошкільного віку, навчати їх зіставляти наочні і означувальні словами об'єкти, знаходити в них схоже і відмінне, здійснювати порівняння за певним планом і користуватися ним як засобом поширення і поглиблення знань про ці об'єкти. Досвід експериментального навчання за проектами нових програм, розроблених В.В. Давидовим і його групою, показує, що узагальнень першокласникам доступні, наприклад, елементи алгебраїчних узагальнень арифметичного матеріалу. В.В. Давидовим було встановлено, що учні можуть, починаючи з молодшого шкільного віку, досягати вищих рівнів розвитку мисленнєвих дій і операцій. дослідженнями, проведеними під керівництвом В. В Давидова Л.В. Занькова, Д.Б. Ельконіна та інших, виявлено, що вікові можливості засвоєння знань школярами, недостатньо використовуються учителями у звичайному навчанні.

На основі цих експериментів була розроблена теорія розвиваючого навчання з використанням принципу діалектичної логіки і змістовних узагальнень

Дана теорія вимагає багато способів побудови навчання, а саме, від абстрактно-загального до конкретно-часткового. Для цього в основу навчання повинен бути покладений принцип змістовного узагальнення, коли знання загального характеру передують знанням окремого і конкретного характеру Це значить, що вивчення якого-небудь розділу повинно починатись з ознайомлення учнів із загальними, абстрактними основами цього розділу знань, які в процесі із розгортанням обростають конкретними і частковими фактами і знаннями

Давидов В.В. писав: "Розв'язування конкретних завдань сучасної шкільної освіти в кінцевому рахунку зв'язано із зміною типу мислення, проектуючою метою, змістом і методами навчання. Всю систему навчання необхідно переорієнтувати з формування у дітей розумово-емпіричного мислення на розвиток у них сучасного науково-теоретичного мислення".

Процес навчання у відповідності з цією теорією відбувається цілком інакше. Введення на початковій ступені вивчення фундаментального поняття - загальне абстрактне уявлення про це поняття - в подальшому навчанні збагачується і конкретизується частинними фактами і знаннями, слугує для учнів орієнтиром для всього процесу вивчення даного поняття, воно допомагає осмислити всі раніше введені часткові поняття тим самим формуючи усвідомлену пізнавальну діяльність творчого, активного характеру.

Нема двох ізольованих між собою шляхів пізнання, із яких один був би рухом від конкретно-чуттєвого до абстрактного, а другий - від абстрактного до конкретного в мисленні. Є тільки один шлях навчально-пізнавальної діяльності, в якому емпіричне і теоретичне, живе споглядання і абстрактне мислення являють собою дві сторони, два рівні єдиного процесу сходження пізнання людини до конкретного в мисленні.

Проведені В.В. Давидовим і його групою експерементальні дослідження ефективності нових принципів побудови змісту шкільного навчання привели до вдосконалення програм і підручників. Тут йдеться не стільки про обсяг матеріалу, скільки про таку логіко-психологічну його побудову, яка б сприяла успішному засвоєнню матеріалу на належному рівні

За цим положенням і побудовані шкільні підручники з математики 1-4 класів.

Багато вчителів-новаторів (зокрема Лисенкова С. М.) використовують вчення Павлова І.П., який сказав: "В педагогіці, як і в медицині важливі поступовість і тренування". Це треба робити повільно і послідовно із усіма цілком необхідними переходами, від самого простого до середнього, а далі до складного".

Математик-педагог і психолог Груденев Я.І. формулює такий законі "Якщо навчальна діяльність виконується шляхом інтенсивних зусиль і при цьому досягається чітке розуміння матеріалу, що вивчається, або задачі, що розв'язується, то така діяльність стає для учня все більш цікавою".

Звідси випливає той факт, що для підвищення зацікавленості учнів до уроків математики необов'язково підбирати якісь спеціальні цікаві, захоплюючі задачі, як це іноді підкреслюється в методичній літературі, придумувати якісь особливі прийоми роботи. Досить підсилити активність учнів, добитись розуміння матеріалу, що вивчається, і дітям стане вчитися цікаво.

Передові вчителі виявляють багато ініціативи в розробці різних способів активізації процесу засвоєння знань учнями і, застосовуючи їх, досягають добрих результатів навчальної роботи.

Якість навчання підноситься там, де активність учнів спрямовується передусім на осмислення, розуміння того, що їм викладає вчитель, що вони самі вичитують, де провідна роль у навчанні належить їхнім мислиннєвим діям. Було доведено дослідженнями за такою організацією навчання значна частина його змісту запам'ятовується сама собою без спеціального заучування, вступає в діяльність, мимовільна пам'ять, повніше використовуються її можливості.

Навчальні успіхи учня значною мірою визначаються також ставленням дитини до школи, до навчання. Успішно вчити можна того, хто хоче вчитися.

Учень максимально розвивається тоді, коли працює на межі своїх можливостей.

Учитель повинен використовувати алгоритмізацію навчання, тобто вчити дітей дотримуватися певної системи дій, виконавши які досягається розв'язання певного класу задач. Така алгоритмізація потрібна для розроблення системи керування процесом та при моделюванні процесу.

За алгоритмічною теорією побудовані шкільні підручники з математики. Нам треба розвинути й вдосконалити оперативну пам'ять кожного, хто вчиться, знання основних фактів, без яких не може бути освіченої людини.