Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Подобие φ под подобием ψ . По формулам (2), . - движение того же вида, что и f, а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f при подобии ψ. По формуле (29), . Тогда

                                           ,                                      (30)

где ξ - подобие такое, что , , а h – движение того же вида, что и f, а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f при подобии ψ.

11. Трансформация движения аффинным преобразованием

11.1. Трансформация параллельного переноса                                     аффинным преобразованием

Рассмотрим произвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании . При преобразовании g ^-1 она переходит в точку М₁ (рис. 3), которая при параллельном переносе  прейдет в точку М₂, , далее М₂ при преобразовании g перейдет в точку М₃. Заметим, что вектор при преобразовании g перейдет в вектор , значит, вся трансформация  есть параллельный перенос на вектор .

                                                   ,                                               (31)

где .

11.2. Трансформация центральной симметрии                      аффинным преобразованием

g(O)

Рассмотрим произвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании . При преобразовании g ^-1 она переходит в точку М₁ (рис. 4), которая при центральной симметрии Z_O прейдет в точку М₂, О – середина М₁М₂, далее М₂ при преобразовании g перейдет в точку М₃. Заметим, что точка О при преобразовании g перейдет в середину отрезка ММ₃ (т.к. при аффинном преобразовании сохраняется принадлежность точек одной прямой и отношение расстояний между ними), а по теореме о неподвижной точке g ( O ) будет неподвижной точкой нового преобразования, значит, вся трансформация  есть центральная симметрия Z_{g ( O )}.

                                               .                                           (32)

11.2. Трансформация осевой симметрии                                   аффинным преобразованием

Рассмотрим произвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании . При преобразовании g ^-1 она переходит в точку М₁ (рис. 5), которая при осевой симметрии S_l прейдет в точку М₂, , О – середина М₁М₂, далее М₂ при преобразовании g перейдет в точку М₃. Заметим, что точка О при преобразовании g перейдет в середину отрезка ММ₃ (т.к. при аффинном преобразовании сохраняется принадлежность точек одной прямой и отношение расстояний между ними), и ее образ – О₁ – будет лежать на образе прямой l при преобразовании g - g ( l ). По теореме о неподвижных прямых, прямая g ( l ) будет неподвижной прямой нового преобразования. Заметим также, что если при осевой симметрии прямые, соединяющие точки с их образами, были параллельны, то и после трансформации они будут параллельны и наклонены под одним и тем же углом к прямой g ( l ), значит, вся трансформация  есть косая симметрия S_{g ( l )}.

                                                .                                            (33)

 

 

12. Трансформация гомотетии аффинным преобразованием

Рассмотрим произвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании . При преобразовании g ^-1 она переходит в точку М₁ (рис. 6), которая при гомотетии  прейдет в точку М₂, , далее М₂ при преобразовании g перейдет в точку М₃. Заметим, что точка О при преобразовании g перейдет в точку О₁ на прямой ММ₃, причем  (т.к. при аффинном преобразовании сохраняется принадлежность точек одной прямой и отношение расстояний между ними), а по теореме о неподвижной точке точка О₁ будет неподвижной при новом преобразовании, значит, вся трансформация  есть гомотетия .

                                            .                                        (35)

13. Трансформация аффинного преобразования гомотетией

Далее будем предполагать, что аффинные преобразования g и g ^-1 заданы аналитически.

g:  g ^-1:  где образы начала координат и базисных векторов при преобразовании g имеют координаты: O ’( d ₁ , d₂, d ₃ ), ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ), ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ), ( c ₁ , c ₂ , c ₃ ), а при преобразовании g ^-1 O ’’( n ₁ , n ₂ , n ₃ ),  ( k ₁ , k ₂ , k ₃ ),  ( l ₁ , l ₂ , l ₃ ),  ( m ₁ , m ₂ , m ₃ ).

Известно, что движение является частным случаем аффинного преобразования, значит, движение под аффинным преобразованием, как композиция аффинных преобразований, также будет аффинным преобразованием.

13.1. Трансформация произвольного аффинного                    преобразования гомотетией

Выберем систему координат таким образом, чтобы центр гомотетии совпадал с началом координат, тогда  будет задаваться аналитически следующим образом.

 Рассмотрим произвольную точку М( x , y , z ), найдем ее образ при преобразовании . При гомотетии  точка М переходит в точку М₁( x / k , y / k , z / k ). Далее, при аффинном преобразовании g М₁ переходит в точку М₂( , , ). M ₂ при гомотетии  переходит в М₃( , , ). Тогда - аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.

                                                           (34)

Мы получили, что

                                                                                          (35)

где  - параллельный перенос, .