Принимая во внимание предыдущее свойство неподвижных точек и двойных прямых, получим

                                                ( S_l ) ^g = S_{g ( l )}.                                             (3)

С помощью этой формулы можно получить аналогичные формулы для остальных движений частного вида. Для этого найдем сначала:

. [1]

Трансформация параллельного переноса движением

Если прямые u и v параллельны, то отображение g отображает их на параллельные прямые g(u) и g ( v ) с сохранением расстояния между ними. Следовательно, если , то

                                            .                                         (4)

В частности, если g есть поворот , то по свойству поворота ориентированный угол между векторами  и равен углу α поворота. Отсюда из равенства  следует, что результат поворота вектора не зависит от центра поворота.

Теорема. Для любого вектора , любого действительного числа х и перемещения g имеет место равенство:

                                             .                                       (5)

Доказательство. Если , то в силу (4) . Так как движение g сохраняет величину угла между векторами, а значит, и сохраняет, в частности, их сонаправленность или противонаправленность, то из  или  вытекает соответственно или . Отсюда и из равенства  следует (5).

Доказанная зависимость (5) с помощью первой формулы (2) обобщается на такую:

                                      .                                    (6)

Действительно, .

Ясно, что зависимость вида (6) будет справедлива и для линейной комбинации любого числа векторов. [1]

Трансформация поворота движением

Далее, если u ∩ v = O, то g ( u )∩ g ( v ) = g ( O ) и ( g ( u ), g ( v )) = ( u , v ), если g – движение 1-го рода, и ( g ( u ), g ( v )) = - ( u , v ), если g – движение 2-го рода. Поэтому, если , то

                                                                                     (7)

где знак «+» берется при движении g 1-го рода и «-» - при движении g второго рода. [1]

В частности, если прямая l проходит через т.О пересечения прямых u и v, то

                                     .                                   (8)

Трансформация центральной симметрии движением

  Так как центральная симметрия – частный случай поворота, а именно – поворот на 180°, то , а в силу формулы (7) , а это, в свою очередь, Z_{g ( O )}. Таким образом,

                                                ( Z_O ) ^g = Z_{g ( O )}.                                             (9)

Трансформация зеркальной симметрии движением

Рассмотрим трансформацию преобразования пространства – зеркальной симметрии. Неподвижными точками преобразования  являются точки g ( α ), которые также образуют плоскость (по свойству движения), значит,

                                                 _.                                                                             (10)

Трансформация поворота относительно оси движением

Поворот относительно оси l на угол α – это преобразование пространства, композиция двух зеркальных симметрий относительно плоскостей β и γ таких, что β∩γ = l, (β, γ) = α. Заметим, что в данном примере движение g также должно быть движением пространства, поэтому оно не может быть поворотом относительно точки. Далее, , по формулам (2) это равняется  (по (10)). Пусть g (β)∩ g (γ) = m, ( g (β), g (γ)) = φ. Тогда по определению поворота относительно оси .

β∩γ = l, а т.к. образ пересечения равен пересечению образов, то g (β)∩ g (γ) = g ( l ) и ( g (β), g (γ)) = (β, γ), если g – первого рода и ( g (β), g (γ)) = = - (β, γ), если g– второго рода, поэтому

                                             .                                         (12)