Общие свойства электростатического поля

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Электрический заряд

Частицы, участвующие в электромагнитном взаимодействии, обладают специальным свойством - электрическим зарядом. Что такое электрический заряд? Первичное понятие. Нельзя его описать в других более понятных терминах. Электрический заряд - неотъемлемое свойство элементарной частицы. Если есть частица, обладающая электрическим зарядом, например, электрон, всем вам известный электрон, лишить его этого свойства невозможно. Электрон обладает и другими свойствами: массой, спином, магнитным моментом. Имеются частицы и не обладающие этим свойством. Если частица не участвует в электромагнитном взаимодействии (а как это определить? берём частицу, находим действующую на неё силу, есть книжки, в которых дано руководство для дальнейших действий), итак, если частица не участвует в электромагнитном взаимодействии, то она не обладает электрическим зарядом.

Заряды всех тел кратны величине Кл, это заряд электрона. Это означает, что в природе встречается минимальный заряд, равный е. Можно было бы принять е=1, но в силу ряда причин, в частности, по исторической причине, е выражается таким числом.

Есть такие частицы - кварки, заряд которых дробный: , и т.д. То, что их заряд дробный не противоречит тому, что я сказал, так как кварки самостоятельно не наблюдаются. Считается, что нельзя выделить кварки индивидуально, чтобы получить частицу с дробным зарядом. Чтобы было более понятно, я приведу такой пример. Имеем намагниченную спицу с южным и северным полюсом, они ведут себя, как точечные источники тока, но, сломав спицу пополам, на одном конце остаётся южный полюс, а на другом выскакивает северный. Так и при делении кварков, они делятся, но появляются новые кварки, а не их половинки.

Заряды бывают двух знаков: “+” и “–“. Как понимать отрицательный и положительный знак? Можно было бы назвать их другими символами, но которые входят в математические понятия, потому что математика - базовая наука.

Электромагнитное поле

Ещё раз повторю, мир состоит из взаимодействующих частиц, но частицы не взаимодействуют друг с другом. Этот вопрос занимал ещё Ньютона. Он считал, что сама идея взаимодействия через пустое пространство это абсурд. Нынешняя физика так же отвергает взаимодействие через пустое пространство. Например, откуда Земля "знает", что где-то от неё на расстоянии 150 млн. км находится Солнце, к которому она должна притягиваться? Поле является переносчиком взаимодействия, в частности, переносчиком электромагнитных взаимодействий является электромагнитное поле. Что такое поле? опять таки первичное понятие, невозможно его выразить более простыми словами. Надо понимать так: имеем частицу заряженную, одну единственную, и то, что создаёт частица в пространстве, это и есть электромагнитное поле. Некоторые формы этого электромагнитного поля мы видим, свет есть проявление электромагнитного поля. Другая заряженная частица погружена в это поле и взаимодействует с этим полем там, где она находится. Таким образом, решена проблема взаимодействия. Электромагнитное поле - это переносчик электромагнитного взаимодействия.

Опять таки, поле мы не можем описать обычными словами. Вот стол, он деревянный, коричневый и т.д., его можно описать бесконечно большим набором свойств. Электромагнитное поле гораздо более простая вещь. Движение частицы, находящейся в электромагнитном поле, описывается следующим уравнением.

Второй закон Ньютона:

Заряженная частица, обладающая зарядом q, движется в электромагнитном поле согласно этому уравнению. Видим, что сила, действующая на частицу со стороны электромагнитного поля, определяется двумя векторными полями: , то есть в каждой точке пространства задан вектор , который может меняться со временем (математик может сказать, если в каждой точке пространства задана скалярная функция, что задано скалярное поле, если задана векторная функция - задано векторное поле), поле называется напряжённостью электрического поля, поле - индукция магнитного поля. Почему они так называются, нам сейчас неважно, это термины. Почему они разделены? Потому что влияние их на частицу различны. Поле не содержит никаких характеристик частицы кроме заряда. Если v = 0, то второе слагаемое вылетает. Это означает, что магнитное поле действует только на движущиеся частицы. Неподвижные заряды не чувствуют магнитного поля.

Когда говорится о функциях координат, имеется в виду, что мы находимся в некоторой инерциальной системе. Если заряд движется, то в другой инерциальной системе он будет покоиться. Это означает, что, если в одной инерциальной системе отсчёта существует только , то в другой появится и . Вот эти два векторных поля полностью описывают электромагнитное поле. Задать электромагнитное поле означает задать шесть функций от координат и времени.

Как задать поле в этом помещении? Помещаем пробный заряд, измеряем силу, делим на q, получаем . Чуть сложнее измерить . Есть более изящные методы измерения, основанные на этом уравнении. И получим исчерпывающее описание этой вещи. Это описание на много проще описания этого стола.

Уравнения поля

Могу ли я конкретно, физически соорудить поле? Ответ, вообще говоря, нет. Не всякое векторное поле может представлять реальное электрическое поле , и не всякое векторное поле представляет магнитное поле . Реальное электромагнитное поле обладает структурой, и эта структура и выражается полевыми уравнениями, которые выступают в роли фильтров.

Электромагнитное поле создаётся заряженными частицами, или, иначе говоря, заряженные частицы являются источниками электромагнитного поля.

Основная задача теории:

предъявлено распределение заряженных частиц, и мы должны найти поле, которое создаётся этими частицами.

Вопрос: как можно описать распределение частиц, как предъявить распределение зарядов? Кстати, никакие другие свойства кроме заряда не важны. Можно взять какую-то частицу, измерить её заряд и повесить на неё бирку, и так со всеми частицами. Но технически это сделать невозможно.

Вот имеем некоторую систему координат. В точке с радиус-вектором выбираем некоторый элемент объёма DVi, определяем заряд этого элемента объёма. Пусть внутри этого элемента объёма находится заряд Dqi. Теперь определяем такую величину: . Будем уменьшать объём, при этом окажется, что отношение стремится к некоторому пределу. Считается, что элемент объёма очень мал, но число частиц в нём велико, такова реальность.

Определённая выше функция , называется плотностью заряда. Понятно, что всё распределение заряда описывается функцией . Если имеются отдельные точечные заряды, то они подпадают под эту функцию. И она такова, что, если в точке находится точечный заряд, то тогда = . Скалярная функция позволяет полностью описать мир с точки зрения электродинамики. Но не только она, скорость заряда тоже влияет на электромагнитное поле. Так как магнитное поле создаётся движущимися зарядами, нам нужно учесть ещё движение, и для этого нужна ещё одна характеристика. Берём в нашей системе координат точку и вычисляем такую величину: . Формулы надо научиться читать повествовательно! В этом случае: ловите все частицы этого объёма, заряд частицы умножаем на её скорость, делим на объём, а потом переходим к пределу, получаем некоторый вектор и этот вектор приписываем точке, в окрестности которой производили измерения... Получаем векторное поле. - плотность тока. Кстати, в механике аналогичная величина - плотность импульса. Вместо заряда возьмём массу, получим суммарный импульс, если разделить его на объём, получим плотность импульса.

Источники электромагнитного поля полностью характеризуются скалярной функцией и векторной функцией . Вот я уже говорил там о цветочках в саду, птички летают… с точки зрения электродинамики система должна быть описана функциями r и . Действительно, если дать эти функции, то по ним можно было бы дать цветную картинку, кстати, телевизор это и делает, а частью этого электромагнитного поля являются волны, которые попадают вам в глаз. Задание этих функций задаёт поле, потому что, если известны источники, то известно и поле.

Полевые уравнения

Всё электричество сидит в этих уравнениях. Они, на самом деле, симметричны и красивы. Эти уравнения постулируются, они лежат в основе теории. Это фундаментальные уравнения теории. Вот, кстати, интересно. Теория существует неизменно с семидесятых годов XIX века по сей день, и никаких поправок! Ньютоновская теория не выдержала, а электродинамика стоит около 1,5 века, работает на расстоянии м и никаких отклонений.

Для расшифровки этих уравнений потребуются некоторые математические конструкции.

Поток вектора.

Задано некоторое поле , в какой-то точке пространства задан вектор . В окрестности этой точки выбираем площадку dS, площадку ориентированную, её ориентация характеризуется вектором . Тогда конструкция называется поток вектора через площадку dS. При этом площадка настолько мала, что вектор может считаться в пределах этой площадки постоянным.

Теперь ситуация другая. Рассмотрим некоторый кусок поверхности. Эту поверхность разбиваем на элементы. Вот, например, выделенный элемент под номером i, его площадь DSi, его нормаль . Где-то в пределах элемента выбираем вектор , сам элемент задаётся радиус-вектором , то есть какая-то точка внутри элемента имеет радиус-вектор . Сумма по всем элементам поверхности образует такую сумму: , а теперь предел обозначается так: .

Ну, это стандартный опять приём: интеграл есть предел суммы по определению, предел этой суммы называется поток вектора через поверхность S.

Так, если дует ветер, в каждой точке некоторой поверхности определён вектор скорости, тогда поток вектора скорости по этой поверхности - будет объём воздуха, проходящего через поверхность за единицу времени. Если векторное поле не поле скоростей, а нечто другое, то ничего там не течёт. Это есть некий термин, и не надо понимать его буквально.

Если поверхность замкнута, то разобьём её на маленькие элементы. Но берётся ограничение: вектор нормали выбирается наружу (выбор нормали влияет на знак). Если поверхность замкнута, то нормаль берётся наружу, а соответствующий интеграл снабжается кружочком. Это, что касается термина поток.

Если - поле скоростей, то скалярное произведение отрицательно (см. рис.2.2 цифра 1), это газ или воздух, втекающий в поверхность. А берём площадку 2, здесь поток положительный, это воздух, вытекающий из поверхности. Если мы вычислим такую штуку для потока скорости ветра через замкнутую поверхность, (это будет разность воздуха втекающего и вытекающего) и, если течение стационарное, то есть скорость со временем не меняется, то такой интеграл будет равен нулю, хотя и не всегда.

Если взять , то такая штука означает, что масса втекающего воздуха равна массе вытекающего.

Циркуляция потока.

Линии, вдоль которых направлено поле, называются силовыми линиями, а для любого векторного поля они носят название интегральных кривых. Рассмотрим некоторую кривую . Последовательно разбиваем кривую на элементы, вот один элемент, я выделяю его, маленький вектор . В пределах этого элемента определяем значение вектора , берём скалярное произведение , получаем число и суммируем по всем элементам[1]. В пределе получаем некоторое число: , которое обозначаем .

Берём замкнутую кривую (интеграл тогда будет снабжён кружочком), задаём произвольно направление, - это некоторое число, зависящее от вектора и , называется циркуляцией вектора по замкнутому контуру.

Если дует ветер, то циркуляция по замкнутому контуру, не всегда правда, равна нулю. А если возьмём вихрь, то циркуляция заведомо не равна нулю.

Статическое электромагнитное поле (электростатика)

В прошлый раз я нарисовал четыре уравнения. Начнём их жевать потихоньку. И сделаем упрощения. Прежде всего, положим . от чего? От всего, то есть ничего со временем не меняется.

Особенность физики в чём состоит? Не в предмете! Все науки имеют свой предмет рассмотрения, биология - наука изучающая жизнь на Земле и т.д. Физика отличается взглядом на мир. С точки зрения электричества он характеризуется двумя векторными полями, кстати, если задать эти штуки, например, дать описание зарядов в этой аудитории, то мы сможем восстановить всю ту картинку, которую вы сейчас наблюдаете.

Итак, . И второе .

В каждой точке пространства ничего не меняется, и все заряды неподвижны, то есть все заряды прибиты просто гвоздями. Тогда уравнения принимают вид:

Вот при такой подстановке и наши четыре фундаментальные уравнения принимают такой вид.

Третье уравнение означает, что поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю, четвёртое - циркуляция вектора по любому замкнутому контуру равна нолю. Из этих двух уравнений следует, что . Это не очевидно, но мы ещё до этого доберёмся. Магнитное поле отсутствует. В статическом электромагнитном поле отсутствует магнитное поле, а электрическое описывается двумя уравнениями. В этих уравнениях сидят все свойства электростатического поля, то есть ничего больше не надо. И мы эти свойства сейчас извлечём.

Потенциал

Вот такое математическое утверждение: .

Вы, вот, словами должны читать сами формулы. Кстати, физику можно излагать без слов, так же, как математику. Из того, что циркуляция для любого контура равна нулю, следует, что векторное поле может быть выражено через некоторую функцию от , называемую градиентом скалярного поля : . Любому скалярному полю j можно поставить в соответствие векторное поле вот по такому рецепту. Это векторное поле называется градиентом скалярного поля j.

Смысл векторного поля. - это вектор, направление вектора это направление, в котором функция j меняется наиболее быстро. Направление вектора это направление быстрейшего изменения функции j, а величина вектора характеризует скорость изменения функции j в этом направлении. Ну, скорость по отношению к пространственному перемещению.

Температура, заведомо скалярная величина. В данной точке сунули термометр, он что-то показал, сунули в другую, он покажет другую температуру. А теперь, градиент от этого скалярного поля. Температура в данной точке такая, сместились в эту сторону на метр - другая температура, и так во все стороны, где температура выше, туда будет направлен её градиент , а величина этого вектора .

Другой пример - плотность. Имеем стационарную атмосферу. Направление градиента плотности воздуха будет по вертикали и именно сверху вниз (вниз плотность будет возрастать).

Вот смысл градиента.

Это следствие чисто математическое, это можно доказать. Что физически означает уравнение ? Какую физическую интерпретацию можем ему дать?

Рассмотрим некоторую кривую с направлением. Вот имеем электрическое поле:

Возьмём точечный заряд q и будем перемещать заряд по заданной кривой из точки (1) в точку (2). Поскольку на заряд действует сила со стороны электрического поля, работа электрического поля при перемещении заряда вдоль кривой равна: . Работа, которая совершается электрическим полем при перемещении заряда, если я взял и принёс заряд из точки (1) в точку (2), а потом принёс его обратно (контур замкнулся!). То тогда следует, что .

Работа по перемещению заряда по замкнутому контуру равна нулю.

Это означает другое: что работа по перемещению заряда из точки (1) в точку (2) не зависит от пути перемещения.

Это, может быть, не очень очевидно. Вот я перешёл по некоторому пути из (1) в (2), поле совершило некоторую работу, кстати, эта работа положительна. Положу рельсы из точки (1) в точку (2). Поставлю на них вагончик от игрушечной железной дороги, помещу в вагончик заряд, и этот вагончик поедет, (избыток кинетической энергии перейдёт во внутреннюю). В точке (2) перевожу стрелки и пускаю вагончик по другому пути. Так вагончик будет ездить, к нему можно приделать вертушку... но известно, что циркуляция ноль, и построить вечного двигателя нельзя.

А теперь мы имеем такой математический результат: . Электростатическое поле – это градиентное поле. Эта скалярная функция , градиентом которой является напряжённость электрического поля, называется потенциалом электрического поля.

Не всякое векторное поле можно получить как градиент потенциала. Электростатическое поле представляется одной скалярной функцией координат, а не тремя, как можно было бы думать по его векторному характеру. Задать одну функцию координат – и получим картину электрического поля.

Какой физический смысл этого скалярного поля?

(*)

А теперь займёмся тем, что у нас стоит под интегралом. , вектор - это есть: , а вся подынтегральная конструкция есть полный дифференциал.

Тогда, возвращаясь к формуле (*), мы пишем:

Мы придём из точки (1) в точку (2), суммируя изменение потенциала. Мораль такая: вот у нас начальная точка , заряд переносим в точку , здесь значение потенциала j( ), и работа равна . Работа по перемещению заряда из одной точки в другую равна величине заряда, умноженной на разность потенциалов.

Теперь мы имеем два описания электростатического поля. Либо мы задаём напряжённость , либо мы задаём в каждой точке потенциал j. Слова «разность потенциалов» вы должны понимать буквально – это разность. Вот синоним разности потенциалов, который употребляется в электротехнике, - напряжение. Это означает, что многие из вас склонные употреблять слова «напряжение в цепи» не знали их значения. Это синоним разности потенциалов.

Что означают слова, что напряжение городской сети 220 вольт? Вот есть две дырки (разность потенциалов между дырками 220V), если вы вырвете заряд из одной и будете с ним ходить, а потом вернёте его в другую дырку, то работа поля будет равна V. Нагляднее пример с аккумулятором: вы взяли металлический шарик с клеммы аккумулятора, положили его в карман, ходили где-то с ним и потом приложили его ко второй клемме, то работа будет такая: V.

Там, где у нас было напряжение и разность потенциалов, добавьте такую формулу: .

Вот точка , вот точка , эта кривая , и смысл такой: вот эта формула – универсальный железный рецепт для нахождения разности потенциалов. Если вы когда-нибудь сталкиваетесь с требованием или потребностью найти разность потенциалов между двумя точками, значит, рука должна автоматически писать эту формулу, а когда мы её напишем, потом можно думать. Слова «разность потенциалов» должны просто рефлекторно вызывать вот эту формулу.

О чём речь? В чём рецепт? Если вам надо найти разность потенциалов между одной точкой и другой, когда напряжённость поля во всём пространстве задана (вектор напряжённости поля), рецепт: соедините точку 1 с точкой 2 кривой и вычислите вот такой интеграл . Результат не зависит от выбора пути, ну, и поэтому его можно всегда выбирать наиболее разумным способом.

Ну, к примеру, что значит разумная выборка? Вот допустим у вас силовые линии поля вот такие радиальные кривые:

И вам надо найти потенциал вот точка 1 ну, а, допустим, вот точка 2. Как выбрать кривую, идущую из 1 в 2? Первая мысль, конечно, взять её вот так: провести по линейке, по ней вычислять. Мысль, конечно, быстрая, но не очень правильная, потому что во всех точках этой кривой вектор переменный и направлен ещё под углом к прямой, и угол ещё меняется – взять интеграл сложно. Зато, через точку 2 проведёте сферу и путь такой: вдоль радиуса – раз, и потом вот по этой дуге – два. Вот разумный выбор кривой. Почему? Потому что вот на этой ветке вектор всюду параллелен прямой, интеграл немедленно сводится просто к обыкновенному интегралу, а вот на этой ветке вектор всюду перпендикулярен кривой, и она никакого вклада не делает. Вот разумный выбор кривой для нахождения разности потенциалов.

Ну, это в качестве примера. Если представлять себе конкретный вид поля, то такая кривая легко находиться, учитывая, что у вас поля произвольной конфигурации, сложной, не будут попадаться, ну, вот здесь у нас в процессе занятия электродинамикой. Ну, конечно, если задано какое-нибудь такое, очень произвольное, поле, то там нет возможности выбирать кривую специальным образом, ну и тогда надо там линейку приложить, но это математическая проблема, можно посчитать. Так, ладно, всё. Следующий пункт.

Конденсаторы

Пусть мы имеем отдельный проводник, на который посажен заряд q, этот проводник создаёт поле такой конфигурации, как на рисунке 6.2. Потенциал этого проводника одинаков во всех токах, поэтому можно говорить просто потенциал проводника, а, вообще-то, слово потенциал требует указания точки, в которой этот потенциал определяется. Можно показать, что потенциал уединённого проводника – линейная функция заряда, который на него посажен, , увеличите заряд вдвое, потенциал увеличится вдвое. Это не очевидная вещь, и я не могу привести каких-нибудь аргументов на пальцах, чтобы пояснить вот эту зависимость. Получается так, что структура поля не меняется, ну, картина силовых линий не меняется, просто растут напряжённости поля во всех точках пропорционально этому заряду, но общая картина не меняется. Ещё раз повторяю – не очевидная вещь. Ну, ладно, потенциал уединённого проводника – линейная функция заряда, . Пишем тогда , вводя коэффициент пропорциональности вот таким способом, где этот коэффициент пропорциональности С определяется геометрией проводника и называется ёмкостью уединённого проводника1). Ёмкость проводника не является его свойством, то есть на каком-то куске железа нельзя написать «ёмкость такая-то», потому что наличие или отсутствие посторонних тел вблизи меняет эту ёмкость. Его ёмкость, коэффициент пропорциональности, ёмкость отдельного проводника не является свойством этого проводника, она ещё зависит, помимо его, от наличия или отсутствия других тел. Однако, имеются устройства, которые называются конденсаторы, специальные устройства, для которых понятие ёмкости имеет однозначный смысл.

Конденсатором, вообще говоря, называется система из двух проводников, из которых один полностью охватывает другой, то есть, в идеале, конденсатор – вот такая штука:

Если на внутреннем проводнике заряд + q, а на внешнем -q. Внутри возникает электрическое поле вот такой конфигурации (силовые линии ортогональны поверхностям). И никакие внешние заряды не оказывают влияния на это поле, внешние поля не проникают внутрь проводящей полости, то есть от электростатического поля можно заэкранироваться. Хотите жить без электрического поля, вот, залезьте в железную бочку, закройтесь крышкой и всё, оно к вам туда не проникнет, скажем, транзистор у вас там в руках в этой бочке работать не будет, электромагнитные волны туда не будут проникать. Почему, кстати? А потому что внутри проводника поле равно нулю, поскольку напряжённость связана с распределением заряда на поверхности, а начинка проводника уже там не участвует, вы можете выкинуть эту начинку, получить полость, ничего от этого не изменится. Внутри проводника поле определяется только конфигурацией этих проводников и не зависит от внешних зарядов, тогда, если на внутреннем проводнике потенциал , а на внешнем , то мы снова будем иметь такую вещь, что внутренняя энергия пропорциональна заряду: , заряду q, который сидит на картинке внутри проводника. Тогда пишем: . Такое устройство называется конденсатором, и величина С называется ёмкостью конденсатора. Вот это уже свойство устройства, на нём можно написать: «ёмкость С». Конденсатор – это распространённые элементы в электричестве, в электротехнике и в радиотехнике, и на них прямо написано «ёмкость такая-то», и эта величина уже не зависит от того, что имеется вокруг. По размерности ёмкость что такое? , ёмкость в одну фараду – это ёмкость такого устройства, что, если на него посадить заряд в 1Кл (это колоссальный заряд), то разность потенциалов будет 1В. Нет таких конденсаторов на свете, на Земле просто невозможно построить такой конденсатор, чтобы он имел ёмкость в фараду, поэтому, подходя к этой ёмкости, мы будем использовать микрофарады.

Энергия конденсатора

Условно, два проводника представляют конденсатор. Каким образом можно посадить заряд на эти проводники, ну, зарядить конденсатор? Так, например: берём заряд и переносим с одного проводника на другой, допустим, с одного снимаем несколько электронов и тащим на другой, вот это процесс заряда конденсатора. Как фактически это делается, как можно перетащить электроны с одного проводника на другой? Имеем два проводника, подключается источник, батарейка, ключ замыкается, батарея начинает перегонять заряды с одного проводника на другой. До каких пор нам удастся перегонять их это отдельный вопрос, мы его в своё время рассмотрим, а сейчас просто: внутри этой батареи действуют силы, сторонние силы по отношению к электростатике, и эти силы перегоняют заряды с одного проводника на другой. Ясно, чтобы это разделение произвести, нужно затратить определённую работу. Вот почему: мы сняли электрон, появился положительный заряд, и этот электрон начинает притягиваться к положительному заряду, нам надо совершать работу, чтобы оттащить его от этого заряда. Эту работу можно сосчитать. Пусть мы имеем два проводника, с потенциалами и , мы переносим заряд , при этом совершается работа, равная . Учтём теперь, что разность потенциалов является функцией заряда: , тогда работа , и полная работа будет . Если мы добиваемся того, что на каждом проводнике становится заряд, равный по модулю q, то совершается такая работа. Спрашивается, куда эта работа девается? Запасается в виде энергии конденсатора, и её можно получить обратно. Энергия конденсатора равняется: . Кстати, это поясняет слово конденсатор (накопитель): с одной стороны это накопитель заряда, с другой стороны это накопитель энергии, и в качестве накопителей энергии конденсаторы, действительно, используются. Если конденсатор разряжается, эта энергия освобождается. Кстати конденсаторы большой ёмкости (сооружения порядка этой аудитории) при замыкании разряжаются со страшным громом, это драматический процесс.

Стационарные магнитные поля

Напомню, как мы добыли электростатику. У нас есть четыре уравнения Максвелла, в которых сидит всё электричество. Мы там положили , , получили электростатику. Мы теперь ослабим эти наложенные условия, мы теперь положим , но , получим стационарное магнитное поле. То есть со временем ничего не меняется, но плотность тока , а связано с движением заряда. Заряды двигаются, но стационарно, двигаются так, что в любой точке пространства со временем ничего не меняется. Наглядный пример: течёт река, массы воды движутся, но течение стационарно, скорость воды в каждой точке одна и та же. Когда ветер дует то туда, то сюда порывами, это не стационарное течение, а, если ветер дует без порывов: в ушах свистит и всё, а ничего не меняется со временем, то это пример стационарного течения.

Уравнения электростатики (первое и второе уравнения Максвелла) остаются без изменения, а третье и четвёртое будут иметь вид:

Стационарное означает неменяющееся со временем. Ладно, свойства этого поля мы обсудим в следующий раз.

Мы изучаем стационарное магнитное поле. Напомню исходные положения: , то есть заряды движутся, но стационарно. Это поле будет описываться двумя уравнениями (третьим и четвёртым уравнениями Максвелла):

Что означает третье уравнение? Что поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю, где бы эта поверхность ни была взята и какую бы форму она не имела. Это означает, что вклады в поток знакопеременны, то есть где-то вектор направлен внутрь поверхности, а где-то наружу. Формально из равенства 3. можно показать, что, сколько линий выходит из поверхности, столько в неё и входит. Иначе, никакая силовая линия не заканчивается внутри замкнутой поверхности и никакая не начинается. Как это может быть? Это может быть только так: все силовые линии замкнуты. Короче говоря, из третьего уравнения следует, что силовые линии индукции магнитного поля замкнуты. То есть силовая линия может как-то идти, идти, но она обязательно вернётся и укусит себя за хвост.

Для электрического поля мы имели такую вещь: . Слева конструкция такая же, но справа стоял заряд внутри поверхности. Отсюда следствия: 1) силовые линии замкнуты и 2) отсутствуют магнитные заряды, то есть нет таких частиц, из которых выходили бы таким образом (см. рис.7.1) линии индукции, такие частицы называются магнитными монополями.

Магнитные монополи отсутствуют. Это специальная проблема физики. Физика вслед за природой, которую она отражает, любит симметрию, и уравнения максвелла обладают симметрией, но ограниченно, в частности, для напряжённости справа стоит сумма зарядов, для магнитной индукции здесь стояла бы сумма магнитных монополей. Вот такое нарушение симметрии раздражает, повторяю, природа любит симметрию. Были попытки лет двадцать назад обнаружить монополи, так кажется, из соображений симметрии должны они быть, но не обнаружили. Теории приходилось искать причины, почему их нет. Соображения симметрии настолько довлеют, что её нарушения требуют какого-то объяснения. Ну, разные есть гипотезы, в которых фигурируют эти монополи, но почему мы не обнаруживаем их здесь, тоже там разные объяснения, вплоть до того, что на ранних стадиях возникновения Вселенной они были и попросту оказались вытолкнутыми за пределы окружающего нас пространства. В общем, есть теории, в которых они фигурируют, и в рамках тех теорий ищутся объяснения, почему мы их не находим на Земле. Пока мы, ссылаясь на то, что они не обнаружены, пишем здесь ноль и имеем дело только с замкнутыми силовыми линиями.

Теперь обратимся к четвёртому уравнению. Читаем его: возьмём замкнутый контур, зададимся направлением обхода (обход и нормаль должны образовывать правый винт), в каждой точке определяем , берём скалярное произведение , получаем число, для всех элементов находим эти скалярные произведения, получаем циркуляцию по контуру, это некоторое число. Уравнение утверждает, что, если эта циркуляция отлична от нуля, то отлична от нуля правая часть. А здесь что? Плотность тока связана с движущимися зарядами, скалярное произведение - это заряд, который проскакивает через эту площадку за единицу времени. Если циркуляция по контуру отлична от нуля, то это означает, что какие-то заряды пересекают поверхность, натянутую на этот контур. Это смысл четвёртого уравнения.

Тогда мы можем сделать такой вывод: силовые линия магнитного поля замкнута, возьмём в качестве контура какую-то линию магнитного поля, по этой линии

, потому что произведение

не меняет знак. Это означает, что, если я возьму поверхность S, натянутую на силовую линию магнитного поля, то, заведомо, эту поверхность пересекают заряды таким образом:

Можно сказать, что силовая линия магнитного поля всегда охватывает ток, иначе говоря, это выглядит так: если мы имеем проводник, по которому течёт ток Á, для любого контура, который охватывает проводник с током, ; если имеется несколько проводников, опять я возьму контур, поверхность, на него натянутую, её протыкают два проводника, тогда , при чём с учётом знаков: ток Á₁ - положительный, Á₂ -отрицательный. Мы имеем тогда . Вот это сразу общие такие свойства магнитного поля и тока. Значит, силовая линия всегда охватывает ток.

Закон Био-Савара.

Пусть мы имеем произвольный проводник с током, и нас интересует магнитное поле, создаваемое куском этого проводника в данной точке. Как, кстати, в электростатике находили мы электрическое поле, создаваемое каким-то распределением заряда? Распределение разбивали на малые элементы и вычисляли в каждой точке поле от каждого элемента (по закону Кулона) и суммировали. Такая же программа и здесь. Структура магнитного поля сложнее, чем электростатическое, кстати, оно не потенциально, замкнутое магнитное поле нельзя представить как градиент скалярной функции, у него другая структура, но идея та же самая. Разбиваем проводник на малые элементы. Вот я взял маленький элемент , положение этого элемента определяется радиус-вектором , а точка наблюдения задаётся радиус-вектором . Утверждается, что этот элемент проводника создаст в этой точке индукцию по такому рецепту: . Откуда берётся этот рецепт? Его нашли в своё время экспериментально, трудно мне, кстати, представить, как это можно было экспериментально найти такую достаточно сложную формулу с векторным произведением. На самом деле это следствие четвёртого уравнения Максвелла . Тогда поле, создаваемое всем проводником: , или, мы можем написать теперь интеграл: . Понятно, что вычислять такой интеграл для произвольного проводника занятие не очень приятное, но в виде суммы это нормальная задача для компьютера.

Пример. Магнитное поле кругового витка с током.

Пусть в плоскости YZ располагается проволочный виток радиуса R, по которому течёт ток силы Á. Нас интересует магнитное поле, которое создаёт ток. Силовые линии вблизи витка такие:

Общая картина силовых линий тоже просматривается (рис.7.10).

По идее, нас интересовало бы поле , но в элементарных функциях указать поле этого витка нельзя. Найти можно только на оси симметрии. Мы ищем поле в точках (х,0,0).

Направление вектора определяется векторным произведением . Вектор имеет две составляющие: и . Когда мы начнём суммировать эти вектора, то все перпендикулярные составляющие в сумме дадут ноль. . А теперь пишем: , = , а . , и, наконец1), .

Мы добыли такой результат:

А теперь, в качестве проверки, поле в центре витка равна: .

Поле длинного соленоида.

Соленоидом называется катушка, на которую намотан проводник.

Магнитное поле от витков складывается, и не трудно догадаться, что структура силовых линий поля такая: они внутри идут густо, а дальше разреженно. То есть для длинного соленоида снаружи будем считать =0, а внутри соленоида =const. Внутри длинного соленоида, ну, в окрестности. Скажем, его середины, магнитное поле практически однородно, а вне соленоида это поле мало. Тогда мы можем найти это магнитное поле внутри следующим образом: вот я беру такой контур (рис.7.13), а теперь пишем: 1) .

- это полный заряд. Эту поверхность протыкают витки

(полный заряд)= (число витков, протыкающих эту поверхность).

Мы получим такое равенство из нашего закона: , или

Магнитный момент

Имеется в виду, что в ограниченной области пространства текут токи, тогда есть простой рецепт для нахождения магнитного поля, которое создаёт это ограниченное распределение. Ну, кстати, под это понятие ограниченное пространство подпадает любой источник, поэтому тут никакого сужения нет.

Если характерный размер системы , то . Напомню, что мы решали аналогичную проблему для электрического поля, создаваемого ограниченным распределением заряда, и там появилось понятие дипольного момента, и моментов более высокого порядка. Решать эту задачу я здесь не буду.

По аналогии (как делалось в электростатике) можно показать, что магнитное поле от ограниченного распределения на больших расстояниях подобно электрическому полю диполя. То есть структура этого поля такая:

Распределение характеризуется магнитным моментом . Магнитный момент , где – плотность тока или, если учесть, что мы имеем дело с движущимися заряженными частицами, то вот эту формулу для сплошно среды мы можем выразить через заряды частиц таким образом: . Что эта сумма выражает? Повторяю, распределение тока создаётся тем, что движутся эти заряженные частицы. Радиус-вектор i-ой частицы векторно умножается на скорость i-ой частицы и всё это умножается на заряд этой i-ой частицы.

Такая конструкция, кстати, у нас в механике была. Если вместо заряда без множителя написать массу частицы, то, что это будет изображать? Момент импульса системы.

Если мы имеем частицы одного сорта ( , например, электроны), то тогда мы можем написать . Значит, если ток создаётся частицами одного сорта, то магнитный момент связан просто с моментом импульса этой системы частиц.

Магнитное поле, создаваемое этим магнитным моментом равно:

(8.1)

Магнитное поле в веществе

Атомы могут обладать магнитными моментами. Магнитные моменты атомов связаны с моментом импульса электронов. Уже была получена формула

, где

– момент импульса частицы создающей ток. В атоме мы имеем положительное ядро и электрон е, вращающийся по орбите, на самом деле, в своё время мы увидим, что эта картина не имеет отношения к реальности, так нельзя представлять электрон, который вращается, но остаётся то, что электрон в атоме обладает моментом импульса, и этому моменту импульса будет отвечать такой магнитный момент:

. Наглядно, заряд, вращающийся по окружности, эквивалентен круговому току, то есть это элементарный виток с током. Момент импульса электрона в атоме квантуется, то есть может принимать только определённые значения, вот по такому рецепту:

, где вот эта величина

– это постоянная Планка. Момент импульса электрона в атоме может принимать лишь определённые значения, мы сейчас не будем обсуждать, как это получается. Ну, и вследствие этого магнитный момент атома может принимать определённые значения. Эти детали нас сейчас не волнуют, но, по крайней мере, будем представлять, что атом может обладать определённым магнитным моментом, есть атомы, у которых нет магнитного момента. Тогда вещество, помещённое во внешнее поле намагничивается, а это означает, что оно приобретает определённый магнитный момент вследствие того, что магнитные моменты атомов ориентируются преимущественно вдоль поля.

Элемент объёма dV приобретает магнитный момент , при чём вектор имеет смысл плотности магнитного момента и называется вектором намагничивания. Имеется класс веществ, называемых парамагнетики, для которых , намагничивается так, что магнитный момент совпадает с направлением магнитного поля. Имеются диамагнетики, которые намагничиваются, так сказать, «против шерсти», то есть магнитный момент антипараллелен вектору , значит, . Это более тонкий термин. То, что вектор параллелен вектору понятно, магнитный момент атома ориентируется вдоль магнитного поля. Диамагнетизм связан с другим: если атом не обладает магнитным моментом, то во внешнем магнитном поле он приобретает магнитный момент, при чём магнитный момент антипараллелен . Этот очень тонкий эффект связан с тем, что магнитное поле влияет на плоскости орбит электронов, то есть оно влияет на поведение момента импульса. Парамагнетик втягивается в магнитное поле, диамагнетик выталкивается. Вот, чтобы это не было беспредметно, медь – это диамагнетик, и алюминий – парамагнетик, если взять магнит то алюминиевая лепёшка будет притягиваться магнитом, а тогда медная будет отталкиваться.

Понятно, что результирующее поле, когда вещество внесено в магнитное поле, это есть сумма внешнего поля и поля, создаваемого за счёт магнитного момента вещества. Теперь обратимся к уравнению , или в дифференциальной форме . Теперь такое утверждение: намагничивание вещества эквивалентно наведению в нём тока с плотностью . Тогда это уравнение мы напишем в виде .

Проверим размерность: М – это магнитный момент в единице объёма , размерность . Когда вы пишете какую-нибудь формулу, то размерность всегда полезно проверять, особенно если формула эта собственной выводки, то есть вы её не срисовали, не запомнили, а получили.

Намагниченность характеризуется вектором , он так и называется вектор намагниченности, это плотность магнитного момента или магнитный момент в единицу времени. Я говорил, что намагниченность эквивалентна появлению тока , так называемого молекулярного тока, и это уравнение эквивалентно такому: , то есть мы можем считать, что нет намагниченности, а есть такие токи. Зададимся таким уравнением: , - это настоящие токи, связанные с конкретными носителями зарядов, а это токи, связанные с намагниченностью. Электрон в атоме это круговой ток, возьмём область внутри, внутри образца все эти токи уничтожаются, но наличие таких круговых токов эквивалентно одному общему току, который обтекает этот проводник по поверхности, отсюда и такая формула. Перепишем это уравнение в таком виде: , . Этот тоже отправим влево и обозначим , вектор называется напряжённостью магнитного поля, тогда уравнение приобретёт вид . (циркуляция напряжённости магнитного поля по замкнутому контуру) = (сила тока через поверхность этого контура).

Ну, и, наконец, последнее. Мы имеем такую формулу: . Для многих сред намагниченность зависит от напряжённости поля, , где – магнитная восприимчивость, это коэффициент, характеризующий склонность вещества к намагничиванию. Тогда эта формула перепишется в виде , – магнитная проницаемость, и мы получаем такую формулу: .

Если , то это парамагнетики, - это диамагнетики, ну, и, наконец, имеются вещества, для которых это принимает большие значения (порядка 10³), - это ферромагнетики (железо, кобальт и никель). Ферромагнетики замечательны тем. Что они не только намагничиваются в магнитном поле, а им свойственно остаточное намагничивание, если он уже однажды был намагничен, то, если убрать внешнее поле, то он останется намагниченным в отличии от диа- и парамагнетиков. Постоянный магнит – это и есть ферромагнетик, который без внешнего поля намагничен сам по себе. Кстати, имеются аналоги этого дела в электричестве: имеются диэлектрики, которые поляризованы сами по себе без всякого внешнего поля. При наличии вещества наше фундаментальное уравнение приобретает такой вид:

А вот ещё пример ферромагнетика, бытовой пример магнитного поля в средах, во-первых, постоянный магнит, ну, и более тонкая вещь – магнитофонная лента. Каков принцип записи на ленту? Магнитофонная лента - это тонкая лента, покрытая слоем ферромагнетика, записывающая головка - это катушка с сердечником, по которой течёт переменный ток, в зазоре создаётся переменное магнитное поле, ток отслеживает звуковой сигнал, колебания с определённой частотой. Соответственно, в контуре магнита имеется переменное магнитное поле, которое меняется вместе с этим самым током. Ферромагнетик намагничивается переменным током. Когда эта лента протягивается по устройству такого типа, переменное магнитное поле создаёт переменную э.д.с. и воспроизводится опять электрический сигнал. Это ферромагнетики на бытовом уровне.

Квазистационарные поля

Приставке «квази-» русский эквивалент «якобы», то есть имеется в виду, что поле переменное, но не очень. Теперь мы полагаем, наконец, , но оставим одно: , чтобы не учитывать влияния электрического поля на магнитное. Уравнения Максвелла приобретают такой вид:

1) ,

2) ,

3) ,

3) и 4) уравнения не изменились, это означает, что связь магнитного поля с токами в каждой точке осталась такой же, только мы теперь допускаем изменяющиеся со временем токи. Ток со временем может меняться, но связь магнитного поля и тока остаётся та же самая. Поскольку магнитная индукция связана с током линейно, будет меняться синхронно с током проводника: ток нарастает, магнитное поле нарастает, но связь между ними не меняется. А вот для электрического поля появляется новшество: циркуляция связана с изменением магнитного поля.

Электродвижущая сила

Интеграл обозначают и называется эта величина электродвижущая сила. Какой смысл имеет термин? В своё время силами называли что ни попадя, сейчас слово «сила» употребляется в одном смысле: правая часть Второго закона Ньютона. И как раз наследие этих старых времён электродвижущая сила применительно к этой величине .

Квазистационарные токи

Вот условие квазистационарности для тока: . О чём говорит это уравнение? Уравнение утверждает, что циркуляция напряжённости магнитного поля равняется полному току, который течёт через поверхность этого контура. А я теперь сделаю вот что: возьму поверхность (пузырь), опирающуюся на контур, а теперь стягиваю горловину. Когда я стягиваю этот контур к точке, вот эта левая часть стремится к нулю, потому что нигде не может достигать бесконечных значений, а что делается с правой частью? Поверхность становится замкнутой при стягивании контура в точку. Из этих рассуждений мы получаем, что . Вот это есть условие квазистационарности тока. Физически это означает вот что: какой заряд за единицу времени втекает в замкнутую поверхность, такой заряд и вытекает. Это означает в частности вот что: если имеется три проводника, следствие из утверждения будет, что . Охватим точку пересечения замкнутой поверхностью, поскольку токи втекающие за единицу времени и вытекающие равны, это и означает, что .

Закон Ома

Для металлических проводников с хорошей точностью выполняется такой закон: , где величина называется проводимость, это некоторая константа, характеризующая способность проводника проводить ток. Это закон в дифференциальной форме, какое отношение он имеет к закону, который вы хорошо знаете ? Это следствие, кстати, получите его для цилиндрического проводника.

Закон Ома для цепи с э.д.с.

Если присутствуют сторонние силы, то закон Ома можно написать так:

Эквивалент этого дела для такой цепи (см. рис.9.5) . Для замкнутой цепи .

Закон сохранения заряда

В прошлый раз мы рисовали такую картинку (рис. 9.1). У нас есть такое уравнение:1) . При стягивании контура к точке получим такое уравнение: , сократим на магнитную постоянную и представим интеграл суммы как сумму интегралов: . Если поверхность фиксирована, то , а из первого уравнения Максвелла , и мы имеем: - закон сохранения заряда.

Разрядка конденсатора

, с другой стороны мы уже знаем, что для конденсатора , отсюда . q, Á – функции времени, чисто формально нужно изгнать одну функцию. Охватим пластину замкнутой поверхностью, (плотность тока в проводнике на сечение проводника – это сила тока). Составляем систему уравнений , откуда получаем дифференциальное уравнение , которое немедленно решается:. Начальные условия у нас такие: t=0, q(0)=q₀, следовательно A=q₀. .

Явление самоиндукции

Это частный случай электромагнитной индукции. По контуру течёт ток, возникает переменное магнитное поле, Ф= , э.д.с., которая наводится в контуре равна: , . Это явление называется самоиндукцией. , L – коэффициент самоиндукции (самоиндуктивность), зависящий от геометрии контура и от окружающей среды. Тогда мы получили такой закон: .

Ток смещения

Нестационарные поля описываются полным набором уравнений Максвелла без всяких изъятий:

То, что мы до сих пор рассматривали, это четыре уравнения. Но в четвёртом было изъято слагаемое . Начнём выяснение роли этого слагаемого.

Кстати, весь набор называется «уравнения Максвелла», почему? Первое уравнение – это фактически закон Кулона; второе – закон электромагнитной индукции, который открыл Фарадей; третье – выражает тот факт, что линии магнитной индукции замкнуты, тут трудно даже указать авторство; вот, если выкинуть это слагаемое , то четвёртое уравнение – это закон Био-Савара. Что сделал Максвелл? Одну вещь: он добавил в одно уравнение это слагаемое, и весь набор получил название «уравнения Максвелла».

А теперь, вот, я не могу сказать, так ли Максвелл рассуждал, но можно привести пример, на котором это уравнение сломалось бы. Вот такой пример. Рассмотрим сферически симметричное распределение заряда, и пусть заряд растекается таким образом: скажем, имеем заряженный шар и заряд растекается из этого шара по радиальным лучам.1) А теперь спрашивается: какое магнитное поле создаёт вот такой сферически симметричный ток? Ну, поскольку у нас источник сферически симметричный, то магнитное поле должно также быть сферически симметричным. Что это означает? Картина поля должна быть такая, что, если это поле повернуть вокруг любой оси, проходящей через центр симметрии, оно должно переходить в себя. Прекрасно. Но из уравнения 3. следует, что силовые линии магнитного поля замкнуты, мы это уже обсуждали, и создать конфигурацию таких замкнутых линий, чтобы она обладала сферической симметрией, нельзя. Осевую симметрию можно, то есть, чтобы поле переходило в себя при поворотах вокруг некоторой оси, а чтобы оно переходило в себя при поворотах вокруг любой оси… Если напрячь воображение, ясно, что из замкнутых линий сферически симметричного магнитного поля создать нельзя. Из уравнения 3. следует, что для вот такого сферически симметричного тока , то есть магнитное поле не создаётся, то есть магнитное поле не создаётся.

Возьмём такой контур , контур, площадь которого перпендикулярна линиям тока. Применим вот к этому контуру уравнение 4*. – циркуляция по этому контуру не равна нулю. Почему? Потому что уравнение говорит, что циркуляция равна плотности тока, умноженной на эту площадку. Через эту площадку ток течёт, а, раз ток течёт, то циркуляция по этому контуру равна силе тока через эту площадку, во всяком случае, не ноль. Значит, получается, из третьего уравнения следует, что , а из уравнения 4*. следует, что . Оказалось, что два уравнения конкурируют применительно к этой ситуации. Какой вывод, и что, вообще говоря, верно, создаёт такая конфигурация магнитное поле или не создаёт? Соображения симметрии – это более мощные соображения, значит, верно, что , то есть выигрывает третье уравнение. Это означает, что четвёртое уравнение со звёздочкой не верно. Но, если добавить это слагаемое , тогда нет противоречий между этими двумя уравнениями.

Ещё одно соображение, повторяю, я не знаю, Максвеллу приходило это в голову или нет, но могло приходить в голову и, наверно, приходило. Для электромагнитного поля в пустоте уравнение 2. даёт: . Вот, когда пишется частная производная, имеется в виду, что контур фиксирован в пространстве, контур не движется. Смысл его такой, что, если меняется со временем (не то, что контур переехал куда-нибудь), то возникает электрическое поле. Уравнение 4*. даёт для пустого пространства , потому что в пустоте нет. Нарушается симметрия, то есть, вообще говоря, здесь было бы неплохо, если бы циркуляция по равнялась бы потоку от производной . Какая физика стоит за этим уравнением? Переменное магнитное поле создаёт электрическое поле, а переменное электрическое поле – ничего не создаёт. Вот, соображения симметрии в нынешней физике очень популярны, ну, потому что это ключ ко многим проблемам, нарушение симметрии раздражает и нуждается в объяснении. На самом деле, если мы возьмём полное уравнение 4., то настоящее уравнение в пустоте даст следующее: . Уравнение 2. Фарадей открыл экспериментально, а это – симметричное явление электромагнитной индукции – это Максвелл высосал из пальца. Никаких экспериментальных данных для этого не было, потому что, на самом деле, этот эффект очень трудно наблюдаем (константа очень мала), и практически создать переменное электрическое поле и обнаружить возникновение магнитного поля в те времена было невозможно. Можно было сыграть на очень больших производных, короче говоря, просто двигая электрическим зарядом, заметное магнитное поле не создастся, скажем, если вы этот заряд дёргаете с частотой миллион колебаний в секунду, можно мыло бы заметить магнитное поле. Если двигать заряд, согласно уравнению 4., создастся магнитное поле, но настолько маленькое при умеренных частотах, что практически его обнаружить нельзя. Максвелл написал его по аналогии, следствием оказалось существование электромагнитных волн, о которых до Максвелла никто и не помышлял. И когда примерно через двадцать лет электромагнитные волны были обнаружены, вот тогда эта Максвелловская теория и вот это уравнение 4. были признаны, наконец, и все эти построения из гипотезы превратились в теорию.

Величина (это величина, по размерности равная плотности тока) называется током смещения. Название принадлежит Максвеллу, название осталось, а аргументация пропала: ничего там не смещается, и название «ток смещения» не должно вызывать в вас никаких ассоциаций с тем, что там что-то смещается, это термин, который остался по историческим причинам.

Мораль такая: переменное электрическое поле само по себе создаёт магнитное поле. И всё замыкается! Переменное магнитное поле является источником электрического, переменное электрическое поле является источником магнитного, и уравнения в вакууме приобретают симметричный вид (отличие только в знаке перед производной, но это не столь страшное нарушение симметрии).

Введение этого тока смещения в первом примере спасает дело: на этой картине и . Короче говоря, циркуляция по любому контуру – ноль. Таким образом, четвёртое уравнение для этого сферически симметрично растекающегося тока даёт, что магнитное поле равно нулю. Эта Максвелловская поправка навела порядок, и теория стала непротиворечивой.

Электрический заряд

Электромагнитное поле

Второй закон Ньютона:

Уравнения поля

Основная задача теории:

предъявлено распределение заряженных частиц, и мы должны найти поле, которое создаётся этими частицами.

Полевые уравнения

Для расшифровки этих уравнений потребуются некоторые математические конструкции.

Поток вектора.

Если взять , то такая штука означает, что масса втекающего воздуха равна массе вытекающего.

Циркуляция потока.

Статическое электромагнитное поле (электростатика)

Итак, . И второе .

Вот при такой подстановке и наши четыре фундаментальные уравнения принимают такой вид.

Общие свойства электростатического поля

Прежде всего, что означают эти уравнения? Первое уравнение утверждает, что, если мы возьмём некоторую замкнутую поверхность S, V - объём этой поверхности, разбиваем поверхность на элементы, определяем в пределах каждого элемента напряжённость поля и вычисляем такую вещь , суммируем, никто нам не запрещает это сделать, это математическая вещь, физика сидит в равенстве:

(поток вектора напряжённости через замкнутую поверхность) =

Таким образом, поток вектора через любую замкнутую поверхность равен заряду внутри этой поверхности.

Например, стены, пол, потолок - это замкнутая поверхность. Можем сосчитать поток через эту замкнутую поверхность и получим число, и, если это число отлично от нуля, то это означает, что здесь находится заряд. Электромагнитное взаимодействие очень сильное, и в силу этого мы имеем нейтральное вещество. Ноль получим. Это не означает, что здесь нет электрических полей, но заряда нет.

Берём замкнутый контур, вычисляем циркуляцию. Второе уравнение утверждает, что, какой бы контур мы не взяли, циркуляция равна нулю. Отсюда следует, что силовые линии электромагнитного поля не могут быть замкнутыми. Мы могли бы взять контур, совпадающий с этой линией, скалярное произведение не меняет знак, следовательно, интеграл не равен нулю. Силовые линии не могут быть замкнуты, но тогда что с ними?

Имеется некоторая область, из которой силовые линии выходят, тогда берём замкнутую поверхность S и по этой замкнутой поверхности . Это означает, что q>0.

Если наоборот, силовые линии входят в область, эту область окружаем поверхностью, тогда интеграл отрицательный. Нормаль направлена наружу, в первом случае произведение положительно, а здесь отрицательно.

Можно сказать, что силовые линии электростатического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных или уходят в бесконечность, но не может быть так, чтобы линия замкнулась на себя. Для магнитного поля, мы увидим дальше, что силовые линии всегда замкнуты, в отличие от электростатических, которые никогда не замкнуты.