Пусть вдоль оси OZ расположен бесконечно длинный проводник, по которому течёт ток с силой Á. А сила тока это что такое? 
, 
- заряд, который пересекает поверхность S за время 
. Система обладает осевой симметрией. Если мы введём цилиндрические координаты r, j , z, то цилиндрическая симметрия означает, что 
и, кроме того, 
, при смещении вдоль оси OZ, мы видим то же самое. Таков источник. Магнитное поле должно быть таким, чтобы удовлетворялись эти условия 
и 
. Это означает вот что: силовые линии магнитного поля – окружности, лежащие в плоскости ортогональной проводнику. Это немедленно позволяет найти магнитное поле.
Пусть у нас это проводник.
Вот ортогональная плоскость,
вот окружность радиуса r,
я возьму тут касательный вектор, вектор, направленный вдоль j, касательный вектор к окружности.
Тогда, 
, 
где 
.
В качестве замкнутого контура выбираем окружность радиуса r=const. Пишем тогда 
, сумма длин по всей окружности (а интеграл это ни что иное, как сумма) – это длина окружности. 
, где Á – сила тока в проводнике. Справа стоит заряд, который пересекает поверхность за единицу времени. Отсюда мораль: 
. Значит, прямой проводник создаёт магнитное поле с силовыми линиями в виде окружностей, охватывающих проводник, и эта величина В убывает как 
при удалении от проводника, ну, и стремится к бесконечности, если мы приближаемся к проводнику, когда контур уходит внутрь проводника.
Этот результат только для случая, когда контур охватывает ток. Понятно, что бесконечный проводник нереализуем. Длина проводника, – наблюдаемая величина, и никакие наблюдаемые величины не могут принимать бесконечных значений, не такой линейки, которая позволила бы измерить бесконечную длину. Это нереализуемая вещь, тогда какой толк в этой формуле? Толк простой. Для любого проводника, будет справедливо следующее: достаточно близко к проводнику силовые линии магнитного поля – вот такие замкнутые окружности, охватывающие проводник, и на расстоянии 
(R – радиус кривизны проводника), будет справедлива эта формула.
Магнитное поле, создаваемое произвольным проводником с током.
Закон Био-Савара.
Пусть мы имеем произвольный проводник с током, и нас интересует магнитное поле, создаваемое куском этого проводника в данной точке. Как, кстати, в электростатике находили мы электрическое поле, создаваемое каким-то распределением заряда? Распределение разбивали на малые элементы и вычисляли в каждой точке поле от каждого элемента (по закону Кулона) и суммировали. Такая же программа и здесь. Структура магнитного поля сложнее, чем электростатическое, кстати, оно не потенциально, замкнутое магнитное поле нельзя представить как градиент скалярной функции, у него другая структура, но идея та же самая. Разбиваем проводник на малые элементы. Вот я взял маленький элемент 
, положение этого элемента определяется радиус-вектором 
, а точка наблюдения задаётся радиус-вектором 
. Утверждается, что этот элемент проводника создаст в этой точке индукцию 
по такому рецепту: 
. Откуда берётся этот рецепт? Его нашли в своё время экспериментально, трудно мне, кстати, представить, как это можно было экспериментально найти такую достаточно сложную формулу с векторным произведением. На самом деле это следствие четвёртого уравнения Максвелла 
. Тогда поле, создаваемое всем проводником: 
, или, мы можем написать теперь интеграл: 
. Понятно, что вычислять такой интеграл для произвольного проводника занятие не очень приятное, но в виде суммы это нормальная задача для компьютера.
Пример. Магнитное поле кругового витка с током.
 |  |
Пусть в плоскости YZ располагается проволочный виток радиуса R, по которому течёт ток силы Á. Нас интересует магнитное поле, которое создаёт ток. Силовые линии вблизи витка такие:
Общая картина силовых линий тоже просматривается (рис.7.10).
По идее, нас интересовало бы поле 
, но в элементарных функциях указать поле этого витка нельзя. Найти можно только на оси симметрии. Мы ищем поле в точках (х,0,0).
Направление вектора 
определяется векторным произведением 
. Вектор имеет две составляющие: 
и 
. Когда мы начнём суммировать эти вектора, то все перпендикулярные составляющие в сумме дадут ноль. 
. А теперь пишем: 
, 
= 
, а 
. 
, и, наконец1), 
.
Мы добыли такой результат:
А теперь, в качестве проверки, поле в центре витка равна: 
.
Поле длинного соленоида.
Соленоидом называется катушка, на которую намотан проводник.
Магнитное поле от витков складывается, и не трудно догадаться, что структура силовых линий поля такая: они внутри идут густо, а дальше разреженно. То есть для длинного соленоида снаружи будем считать =0, а внутри соленоида =const. Внутри длинного соленоида, ну, в окрестности. Скажем, его середины, магнитное поле практически однородно, а вне соленоида это поле мало. Тогда мы можем найти это магнитное поле внутри следующим образом: вот я беру такой контур (рис.7.13), а теперь пишем: 
1) 
.
- это полный заряд. Эту поверхность протыкают витки
(полный заряд)= 
(число витков, протыкающих эту поверхность).
Мы получим такое равенство из нашего закона: 
, или
.
8
Дата: 2019-07-24, просмотров: 150.
