Лекция 1. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла
1.1. Первообразная
Определение. Функция F ( x ) называется первообразной функции f ( x ), если они обе существуют на одном и том же множестве, и производная функции F ( x ) равна функции f ( x ).
Например, функция:
· y = sin x - первообразная для y = cos x
· y = - cos x - первообразная для y = sin x
· y = 2x + 1 - первообразная для y = 2
· y = ln x - первообразная для y = 1/x (на множестве x > 0) и т.д.
Операция нахождения первообразной называется интегрирование. Это операция, обратная дифференцированию.
Вспоминаем таблицу первообразных элементарных функций
| Функция f(x) | Первообразная F(x) |
| 1) Постоянная: C | 
|
2) Степенная: 
| 
|
Частные случаи: 
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Для степенной 
| 
|
3) Показательная: 
| 
|
Частный случай: 
|
|
4) Тригонометрические: 
| 
|
|
|
| 
|
| 
|
| 5) Правила интегрирования: | |
5.1) 
| 
|
5.2) 
| 
|
5.3) Для сложной функции 
| 
|
1.2. Неопределенный интеграл
Для любой функции существует бесконечно много первообразных, которые имеют общую часть, а различаются лишь постоянными (числами).
Например, для функции 
являются первообразными, т.к. 
. И подобных первообразных можно составить сколько угодно.
Определение. Совокупность всех первообразных для данной функции f ( x ) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается 
.
Здесь:
f ( x ) -- подынтегральная функция, f ( x ) dx – подынтегральное выражение, dx – дифференциал аргумента.
Тогда, общая формула: 
, где C – произвольная постоянная.
Таким образом, для вычисления неопределенного интеграла, нужно найти все первообразные
заданной функции.
Например: 
и т.д.
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельных интегральных кривых F ( x ), F ( x )+ C 1 , F ( x )+ C 2 и т.д.
Отмечаем: если функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке, то на этом промежутке существует первообразная функции F(x), а, следовательно, и неопределенный интеграл ∫f(x)dx.
Примеры. Найти:
1.3. Основные свойства неопределенного интеграла
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: 
5. Неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме их интегралов:
Справедливо для любого количества слагаемых. Необходимо помнить, существуют ли все функции на одном и том же множестве.
Таблица основных интегралов
1. 
| 13. 
|
2. 
| 14. 
|
3 . 
| 15. 
|
4. 
| 16. 
|
5. 
| 17. 
|
6. 
| 18. 
|
7. 
| 19. 
|
8. 
| 20. 
|
9. 
| 21. 
|
10. 
| |
11. 
| 22. Для сложной функции:
|
12. 
|
Лекция 2. Методы интегрирования. Непосредственное интегрирование
Существует несколько стандартных методов вычисления интегралов. Непосредственное интегрирование подразумевает вычисление неопределенного интеграла только при помощи свойств интеграла и таблицы основных интегралов.
Примеры. Вычислить интегралы:
В примере № 20 использована операция «домножения на сопряженное», в примере № 23 – метод выделения полного квадрата:
Домашнее задание № 9 «Непосредственное интегрирование»
Вычислить интегралы:
Лекция 3. Методы интегрирования. Метод подстановки
3.1. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)
Если не удается найти интеграл непосредственно, то интегрируем методом подстановки.
Сущность метода: введением новой переменной интегрирования свести заданный интеграл к новому, который вычисляется непосредственно.
При этом должен остаться интеграл, в котором будет только одна переменная. Для этого обозначаем вводимую переменную 
и считаем 
. После интегрирования необходимо вернуться к исходной переменной.
Пример оформления:
3.2. Практическая работа № 8 «Методы интегрирования»
В примере № 7 воспользуемся методом выделения полного квадрата, чтобы свести интеграл к табличному.
Домашнее задание № 10 «Интегрирование методом подстановки»
Вычислить интегралы:
А) 
Б) 
В) 
Г) 
Д) 
Е) 
Ж) 
З) 
Ответы:
А): 
Б): 
В): 
Г): 
Д): 
Е): 
Ж): 
З): 
Лекция 4. Методы интегрирования. Интегрирование по частям
4.1. Вывод формулы
Пусть функции 
имеют непрерывные производные на промежутке X. Найдем:
а) дифференциал от произведения u ∙ v:
(1)
б) интеграл от обеих частей равенства (1):
Здесь: 
по свойству неопределенного интеграла № 3 (см. Лекцию 1) 
(2)
Тогда: 
формула интегрирования по частям
Таким образом, подынтегральное выражение f ( x ) dx представляется в виде произведения множителей u и dv, т.е. исходно 
(В правой части постоянную C не пишут, т.к. при интегрировании она появится в du).
Алгоритм нахождения интеграла:
1) разбить исходный интеграл на u и dv;
2) найти du и v;
3) вычислить заданный интеграл по формуле.
4.2. Типовые задачи
Здесь главное увидеть, что принять за u и что за dv. При этом существуют типовые разбиения в различных видах интегралов.
А) В интегралах вида: 
(P(x) – многочлен относительно x, a – некоторое число)
Полагают: u = P ( x ), все остальное – dv
Пример: 
Б) В интегралах вида: 
Полагают: P ( x ) dx = dv, все остальное – u
Пример: 
Решение:
В) В интегралах вида: 
, где a и b некоторые числа, за u можно принять любую функцию: 
Пример: 
Здесь пришлось применить интегрирование по частям дважды.
Так приходится делать и в случае понижения степени (как правило, тригонометрических функций и многочленов).
Интегралы вида: 
существуют, но не выражаются через элементарные функции.
4.3. Решение примеров
Домашнее задание № 11 «Интегрирование по частям»
Вычислить интегралы (в скобках приведены ответы):
Дата: 2019-07-24, просмотров: 293.
