Лекция 1. Дифференцирование функций

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

1.1. Таблица производных элементарных функций и правила дифференцирования

Функция	Производная
1) Постоянная: C
2) Степенная: xⁿ
Частные случаи:




3) Показательная:

4) Логарифмическая: (x > 0)
Натуральный логарифм: ( x > 0)
5) Тригонометрические:



Обратные тригонометрические:	;
	;
*Правила дифференцирования*
1) Постоянный множитель выносится за знак производной:
2) Производная суммы функций:
3) Производная произведения:
4) Производная частного:
5) Производная сложной функции:
Геометрический смысл производной Значение производной функции в точке х₀ равно тангенсу угла наклона касательной (т.е. угловому коэффициенту прямой)
Уравнение касательной	или
Физический смысл производной Здесь: S ( t ) – заданный закон движения

1.2. Техника дифференцирования

1. Найти производные функций:

2. Найти значение производной в заданной точке:

Домашнее задание № 6 «Дифференцирование функций»

Часть 1. Найдите производные функций

Часть 2. Найдите значение производной функции:

Лекция 2. Физический и геометрический смысл первой и второй производной

2.1. Вторая производная – это производная от производной функции; обозначается двумя штрихами т.е. .

Например, для функции .

Вторая производная для первой производной является такой же характеристикой, как первая производная для самой функции. Она характеризует характер монотонности производной и точки экстремума производной. Вторая производная помогает точнее определять поведение функции на отрезке (или на области определения). Исследование функции при помощи второй производной происходит согласно порядку, уже определенному выше. А именно, нужно искать точки, в которых вторая производная обращается в нуль или не существует. Как правило, их называют критические точки второго рода.

Обратите внимание, что для рациональных функций при нахождении последовательно первой и второй производных, степень функции понижается каждый раз на порядок. Т.е., если исследуемая функция третьей степени, то ее первая производная меняется по квадратичному закону, а вторая – по линейному.

А для тригонометрических функций синус и косинус, вторая производная фактически превращается обратно в саму функцию. Например: .

2.2. Физический смысл первой и второй производной

С точки зрения механики. Если задан закон, по которому путь (или перемещение) материальной точки зависит от переменной – времени, т.е. S ( t ), x ( t ), тогда: первая производная показывает скорость изменения перемещения, а вторая производная – скорость изменения скорости движения, т.е. ускорение.

или

Например:

Равномерное движение: (скорость постоянна, ускорение равно нулю);
Равноускоренное движение: (скорость меняется по линейному закону, ускорение постоянно)

Пример. Движение материальной точки осуществляется по закону .

Найдите: а) начальную скорость движения v ₀ ; б) ускорение движения a ( t ); в) время, через которое скорость точки станет равной 12.

Решение. а) б) в)

2.3. Геометрический смысл первой и второй производной

2.3.1. Первая производная. Значение производной в точке x ₀ равно угловому коэффициенту касательной, построенной к графику соответствующей функции в точке с абсциссой x ₀ :

, α – угол наклона касательной к оси абсцисс.

2.3.2. Вторая производная.

«Наглядным свойством графика функции на некотором промежутке является его выпуклость. График функции может иметь выпуклость как вверх (например, у функции ), так и выпуклость вниз (например, у функции ).

Точка, в которой меняется характер выпуклости, называется точкой перегиба функции.

Простейший пример – это функция : для нее точка x =0 является точкой перегиба.

Если в этой точке провести касательную, то по одну сторону от точки перегиба график функции начинает уходить выше касательной (становится выпуклым вниз), а по другую сторону - график уходит вниз (становится выпуклым вверх).

Точки перегиба появляются в том случае, если первая производная при переходе через эту точку обратилась в нуль или не существовала, но знак не поменяла.

Например: монотонно возрастает. При этом вторая производная: в точке 0 меняет знак; при - выпуклость вверх, при - выпуклость вниз.

В общем виде алгоритм нахождения точек перегиба:

· Найти вторую производную функции ;

· Найти критические точки второго рода, т.е. приравнять вторую производную к нулю и решить уравнение ;

· Определить знаки второй производной на получившихся промежутках;

· По знаку второй производной сделать выводы о наличии точек перегиба: это критические точки, в которых вторая производная меняет знак;

· При этом:

Если на промежутке - график функции имеет выпуклость вниз ( );

Если на промежутке - график функции имеет выпуклость вверх ( )

2.4. Задачи

Найти точки перегиба функции и определить выпуклость графика:

Вывод: x =0 – точка перегиба: выпуклость графика – вверх;

- выпуклость графика – вниз.

Критических точек второго рода бесконечно много. Однако, учитывая, что наименьший период функции равен π, достаточно определить наличие точек перегиба на этом периоде:

Определение знаков второй производной:

Вывод: точки перегиба .

В точках - перегиб с выпуклости графика вверх на выпуклость вниз;

В точках - перегиб с выпуклости графика вниз на выпуклость вверх.

Задание для самостоятельной работы

1) Найти вторую производную функции:

;

2) Найти точки перегиба функции и определить выпуклость графика:

Лекция 3. Исследование функций при помощи производной. Построение графиков

3.1. Схема исследования функции

Дана функция y = f(x). Задача: построить график.

1) Найти область определения функции D(y);

2) Исследовать функцию на четность;

3) Определить, является ли функция периодичной;

4) Исследовать функцию при помощи первой производной, т.е. найти:

· Промежутки возрастания и убывания функции;

· Точки экстремумов и экстремумы;

· При необходимости – наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке;

5) Исследовать функцию при помощи второй производной, т.е. найти:

· Точки перегиба и значения функции в этих точках;

· Определить вид выпуклости графика;

6) Найти точки пересечения графика с осями координат:

· С осью Ox – нули функции;

· С осью Oy, y(0);

7) Сосчитать дополнительные точки (в том случае, если невозможно найти нули функции);

8) Найти асимптоты графика;

Если функция достаточно сложная, рекомендуется составить сводную таблицу.

3.2. Практическая работа № 6 «Исследование функции при помощи производной»

Задание. Исследовать по общей схеме функции и построить их графики:

1) ; функция непрерывна на области определения;

- функция четная (график симметричен относительно Oy);

3) Функция не является периодичной;

Выводы: ― + ― + y^/

———○————○————○———> x

↓ -√3 ↑ 0 ↓ √3 ↑ y

Промежутки убывания и возрастания функции очевидны с рисунка.

Выводы: x =±1 – точки перегиба;

6) а) Нули функции:

б) точка пересечения с Oy : x =0; y (0)=3

7) Дополнительные точки можно не считать.

2. ; Дополнительно: к графику функции построить касательную в точке x = -1.

- здесь: функция непрерывна на области определения, а в точках не существует; область определения симметрична, поэтому пункт 2;

- функция нечетная;

3) Непериодична;

- решений нет, значит, функция ведет себя монотонно на каждом промежутке существования:

Ищем критические точки 2 рода:

+ не сущ. ― + не сущ. ― y^//

———○————○————○————> x

U -2√3/3 ∩ 0 U 2√3/3 ∩ y x = 0 точка перегиба y (0) = 0;

6) а) Нули функции: ;

б) Точка пересечения графика с Oy : x = 0, y (0) = 0

7) Дополнительные точки – не нужны;

8) Асимптоты:

· - вертикальные асимптоты;

· Наклонная асимптота: . Чтобы найти наклонную асимптоту, нужно вычислить коэффициенты k и b линейной функции

Задание 2. Касательная:

Составим сводную таблицу:

x	(-¥,-2√3/3)	-2√3/3	(-2√3/3,0)	0	(0,2√3/3)	2√3/3	(2√3/3, ¥)
y	↑	→ ±¥	↑	0	↑	→ ±¥	↑
y^/	+	Нет	+	1	+	Нет	+
y^//	+	Нет	―	0	+	Нет	―
выпуклость	U	Вертик. асимптота	∩	Точка перегиба	U	Вертик. асимптота	∩

Домашнее задание № 7 «Исследование функций при помощи производной»

Исследуйте функции и постройте их графики:

1) ; 2) ; 3) 4) 5)

Тема 4.2. Дифференциал

Лекция 1. Дифференциал. Определение и геометрический смысл

1.1. Дифференциал

Пусть функция f ( x ) дифференцируема в точке x₀Î(a, b), т.е. существует .

Тогда по теореме о представлении функции в виде суммы ее предела и б.м.ф. (см. раздел 3, тема 3.2.) «Предел функции в точке»: если , то f(x) = A + α(x)) имеем:

Здесь слагаемые α(x) и Δx есть бесконечно малые более высокого порядка, чем величина . Тогда величина составляет главную часть приращения функции в точке x ₀ . Это и есть дифференциал.

Определение. Дифференциалом функции y = f ( x ) в точке x ₀ называется линейная относительно Δx величина , составляющая главную часть приращения функции в точке x₀.

Обозначение:

Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (a, b), то или

Для функции .

Тогда запись: d f ( x ) = f ^/ ( x ) dx или d y = y ^/ dx

Т.е. дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента.

При этом, если f ^/(x₀) = 0, то d f(x₀) = 0. Здесь f ^/(x₀) Δx не главная часть приращения функции, т.к. .

Примеры. Найти дифференциалы следующих функций:

1.2. Дифференциал сложной функции

Если y = f ( u ), u = g ( x ):

Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство называется инвариантность дифференциала.

Пример: