1. Непрерывный непрерывного времени;

2. Непрерывный дискретного времени;

3. Дискретный непрерывного времени;

4. Дискретный дискретного времени.

Непрерывные сигналы непрерывного времени называют сокращенно непрерывными (аналоговыми) сигналами. Они могут изменяться в произвольные моменты, принимая любые значения из непрерывного множества возможных значений (рис. 2.1.).

Рис. 2.1. – Непрерывный сигнал непрерывного времени

Непрерывные сигналы дискретного времени могут принимать произвольные значения, то изменяются только в определенные, наперед заданные (дискретные) моменты t ₁ , t ₂ , t ₃ , ... (рис. 2.2.).

Рис. 2.2. – Непрерывный сигнал дискретного времени

Дискретные сигналы непрерывного времени отличаются от предыдущих тем, что они могут изменяться в произвольные мо­менты, но их величины принимают только конкретные разрешен­ные (дискретные) значения (уровни).

Дискретные сигналы дискретного времени, сокращенно дис­кретные (рис. 2.3.), в дискретные моменты могут принимать только конкретные разрешенные (дискретные) значения (уровни).

Рис. 2.3. – Дискретный сигнал дискретного времени

Сообщение с помощью специальных датчиков обычно преобразуется в первичный электрический сигнал b(t)

в некоторых случаях сигнал непосредственнопередается по линиям связи когда для передачи на большие расстояния первичный сигнал преобразуют высокочастотный

17. Ряд Фурье, его формы, свойства спектров. Преобразование Фурье и его свойства.

Определение ряда Фурье

Говорят, что функция f (x) имеет период P, если f (x + P) = f (x) для всех значений x. Пусть период функцииf (x) равен 2π. В этом случае достаточно рассмотреть поведение функции в интервале [−π, π].

1.Предположим, что функция f (x) с периодом 2π абсолютно интегрируема в интервале [−π, π]. При этом является конечным так называемый интеграл Дирихле:

2.Предположим также, что функция f (x) является однозначной, кусочно-непрерывной (то есть имеет конечное число точек разрыва) и кусочно-монотонной (имеет конечное число максимумов и минимумов).

Если условия 1 и 2 выполнены, то ряд Фурье для функции f (x) существует и сходится к данной функции (Смотрите об условиях сходимости также раздел Сходимость рядов Фурье).
Если x0 − точка разрыва, то ряд Фурье сходится к значению

Ряд Фурье функции f (x) представляется в виде

где коэффициенты Фурье a0, an и bn определяются формулами

Иногда используются альтернативные формы записи для разложения в ряд Фурье. Заменяя an и bn новыми переменными dn и φn или dn и θn , где

можно, соответственно, записать

Преобразование Фурье

Итак, преобразование Фурье бывает двух видов: дискретное и непрерывное. Непрерывное используется математиками в аналитических исследованиях, дискретное применяется во всех остальных случаях.

Непрерывное преобразование Фурье - преобразование, которое применяется к функции h(t), заданной на интервале . В результате получается функция H(f):

также существует обратное преобразование, которое позволяет по образу H(f) восстановить исходную функцию h(t):

Очевидно, что образ H(f) является комплексной функцией вещественного аргумента, но также и h(t) может принимать не только вещественные, но и комплексные значения.

Применение преобразования Фурье является столь обширной темой, что этот вопрос не будет подниматься в этой статье. Можно только перечислить несколько областей: анализ сигналов, фильтрация, ускоренное вычисление корелляции и свертки, использование в алгоритмах быстрого умножения чисел, и во многих других случаях оно также находит свое применение.

Свойства непрерывного преобразования Фурье

В таблице ниже описана связь свойств прообраза h и образа H.

Следующая таблица показывает, как меняется образ при изменении прообраза. Пусть запись обозначает, что H(f) является образом h(t). Тогда имеют место следующие отношения:

Следующий набор свойств относится к операциям свертки и корелляции. Свертка функций g и h определяется, как . Корелляция функций g и hопределяется, как . В таком случае имеют место следующие отношения:

Дискретное преобразование Фурье

С непрерывным преобразованием Фурье удобно работать в теории, но на практике мы обычно имеем дело с дискретными данными. Очень часто у нас дано не аналитическое выражение преобразуемой функции, а лишь набор её значений на некоторой сетке (обычно на равномерной). В таком случае приходится делать допущение, что за пределами этой сетки функция равна нулю, и аппроксимировать интеграл интегральной суммой:

В случае равномерной сетки эта формула упрощается. Также на равномерной сетке обычно избавляются от шага, чтобы получить безразмерную формулу:

Обратное преобразование в таком случае будет иметь вид

При внимательном рассмотрении можно заметить, что индекс при H_n принимает N+1 значение, в то время как при h_k - только N значений. Таким образом, как будто бы получается, что функция H содержит в себе больше информации, чем h. На самом деле это не так, поскольку значения H_-N/2 и H_N/2 совпадают.

Определенное таким образом, дискретное преобразование Фурье сохраняет практически все свойства непрерывного (разумеется, с учетом перехода к дискретному множеству).