Особую роль играет второй смешанный центральный момент, который называется ковариацией или корреляционным моментом

m_1,1(x, y) = K_{xy= (11.8)}

Ковариация представляет собой математическое ожидание произведения центрированных случайных величин X и Y и характеризует степень линейной статистической зависимости величин X и Y и рассеивание относительно точки (m_x, m_y):

K_xy = , (11.9)

Или

(11.10)

Расчетные формулы для определения ковариации:

(11.11)

Свойства корреляции:

1. K_xy=K_yx. Это свойство очевидно.

2. Корреляционный момент двух независимых случайных величин Х и У равен нулю.

Доказательство: т.к. случайные величины Х и Y – независимы, то и их совместная плотность распределения представляется произведением плотностей распределения случайных величин f_x(x) и f_y(y). Тогда:

3. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин не превышает среднего геометрического их дисперсий

или

Доказательство: Введем в рассмотрение случайные величины и вычислим их дисперсии

Т. к. дисперсия всегда неотрицательна, то

Þ

и

Þ .

Отсюда Þ .

Если , случайные величины Х и Y называются коррелированными. Если , то необязательно, что Х и Y независимы. В этом случае они называются некоррелированными. Итак, из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает их коррелированность. Из независимости двух случайных величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

Величина ковариации зависит единиц измерения каждой из случайных величин, входящих в систему и от того, насколько каждая из случайных величин отклоняется от своего математического ожидания (одна – мало, вторая – сильно, все равно будет мал).

Поэтому для характеристики связи между Х и Y в чистом виде переходят к безразмерной характеристике, которая называется Коэффициент корреляции r_xy характеризует степень линейной зависимости величин:

(11.12)

Свойства коэффициента корреляции:

1. Абсолютная величина коэффициента корреляции двух случайных величин не превышает единицы:

2. │r_xy│=1 если Y=aХ+b

Доказательство:

Подставим в выражение

т.к.

Найдем дисперсию Y: , т.е.

, коэффициент корреляции: Þ

Коэффициент корреляции служит для оценки тесноты линейной связи между Х и Y: чем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к 1, тем связь сильнее, чем ближе к 0, тем слабее.

3. Если величины X и Y независимы, то r_xy = 0.