Сложение и вычитание
В системе с основанием я для обозначения нуля и первых ρ-1 натуральных чисел служат цифры 0, 1, 2, ..., ρ - 1. Для выполнения операции сложения и вычитания составляется таблица сложения однозначных чисел.
| + | 0 | 1 | 2 | · | · | · | q-1 |
| 0 | 0 | 1 | 2 | *** | *** | *** | q-1 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | *** | *** | *** | 10 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | *** | *** | *** | 11 |
| *** | *** | *** | *** | *** | *** | *** | *** |
| q-1 | q-1 | 10 | 11 | *** | *** | *** | 1(q-2) |
Например, таблица сложения в шестеричной системе счисления:
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 |
| 4 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 5 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
Сложение любых двух чисел, записанных в системе счисления с основанием ρ, производится так же, как в десятичной системе, по разрядам, начиная с первого разряда, с использованием таблицы сложения данной системы. Складываемые числа подписываются одно за другим так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли по вертикали. Результат сложения пишется под горизонтальной чертой, проведенной ниже слагаемых чисел. Так же как при сложении чисел в десятичной системе, в случае, когда сложение цифр в каком-либо разряде дает число двузначное, в результат пишется
последняя цифра этого числа, а первая цифра прибавляется к результату сложения следующего разряда.
Например,
 | |||
 | |||
Можно обосновать указанное правило сложения чисел, используя представление чисел в виде
Разберем один из примеров:
3547=3*72+5*71+4*70
2637=2*72+6*71+3*70
Имеем:
(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =
=(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)
=5*72+1*72+4*7+7
=6*72+4*7+7
=6*72+5*7+0
=6507
Последовательно выделяем слагаемые по степени основания 7, начиная с низшей, нулевой, степени.
Вычитание производится также по разрядам, начиная с низшего, причем если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то из следующего разряда уменьшаемого "занимается" единица и из полученного двузначного числа вычитается соответствующая цифра вычитаемого; при вычитании цифр следующего разряда в этом случае нужно мысленно уменьшить цифру уменьшаемого на единицу, если же эта цифра оказалась нулем (и тогда уменьшение ее невозможно), то следует "занять" единицу из следующего разряда и затем произвести уменьшение на единицу. Специальной таблицы для вычитания составлять не нужно, так как таблица сложения дает результаты вычитания.
Например,
 |
1.5.2 Умножение и деление
Для выполнения действий умножения и деления в системе с основанием ρ составляется таблица умножения однозначных чисел.
| * | 0 | 1 | 2 | · | · | · | q -1 |
| 0 | 0 | 0 | |||||
| 1 | 0 | q-1 | |||||
| 2 | 0 | 1(q-1) | |||||
| *** | *** | *** | |||||
| q -1 | 0 | 1(q-2) |
Например, таблица умножения в шестеричной системе счисления:
| * | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 10 | 12 | 14 |
| 3 | 0 | 3 | 10 | 13 | 20 | 23 |
| 4 | 0 | 4 | 12 | 20 | 24 | 32 |
| 5 | 0 | 5 | 14 | 23 | 32 | 41 |
Умножение двух произвольных чисел в системе с основанием ρ производится так же, как в десятичной системе - "столбиком", то есть множимое умножается на цифру каждого разряда множителя (последовательно) с последующим сложением этих промежуточных результатов.
Например,
 |
При умножении многозначных чисел в промежуточных результатах индекс основания не ставится:
 | |||
 | |||
Деление в системах с основанием ρ производится углом, так же, как в десятичной системе счисления. При этом используется таблица умножения и таблица сложения соответствующей системы. Сложнее дело обстоит, если результат деления не является конечной ρ-ичной дробью (или целым числом). Тогда при осуществлении операции деления обычно требуется выделить непериодическую часть дроби и ее период. Умение выполнять операцию деления в ρ-ичной системе счисления полезно при переводе дробных чисел из одной системы счисления в другую.
Например:
 |
Дата: 2019-05-29, просмотров: 237.
