Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И СПОСОБЫ ДВОИЧНЫХ КОДИРОВОК

Дисциплина Математика

 

Студент группы №2338                                        Томрычева Н.С./

 

Специальность 050202 информатика с дополнительной специальностью математика

 

Руководитель

Ст.преподаватель                                             Тыщук Л.Н./

Комиссия                                                      /……………….…../

/……………….…../

/……………….…../

 

Дата защиты ________________г.

Оценка _____________________

 

 

Курган 2010г.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Системы счисления

1.1 История развития различных систем счисления

1.2 Непозиционные и позиционные системы счисления

1.2.1 Непозиционная система счисления

1.2.2 Позиционная система счисления

1.3 Десятичная система счисления и ее происхождения

1.4 Системы счисления с другими основаниями, их происхождение и применение

1.5 Арифметические операции в различных системах счисления

1.6 Перевод из одной системы счисления в другую

2. Использование систем счисления в компьютерной технике и информационных технологиях

2.1 Двоичное кодирование информации в компьютере

2.2 Представление чисел в компьютере

2.3 Способы построения двоичных кодов

Заключение

Список литературы

 

ВВЕДЕНИЕ

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами: запоминает номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитывает стоимость покупок, ведет свой семейный бюджет в рублях и копейках и т.д. Числа и цифры с нами везде! Интересно, что знал человек о числах две тысячи лет назад? А пять тысяч лет назад?

Историки доказали, что и пять тысяч лет тому назад люди могли записывать числа, могли производить над ними арифметические действия. При этом записывали они числа совершенно по другим принципам, нежели мы в настоящее время. В любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов. В математике и информатике приняты символы, участвующие в записи числа, называть цифрами.

Что же понимается под словом «число»?

Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало, число было «привязано» к тем предметам, которые пересчитывали. Отвлеченное понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности.

Появление дробных чисел было связано с необходимостью производить измерения (сравнения с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона). Но поскольку единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине, то возникла практическая потребность, ввести более «мелкие» числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

Понятие числа – фундаментальное понятие, как математики, так и информатики. Под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись.

Сегодня человечество для записи чисел использует в основном десятичную систему счисления. Что же такое – система счисления? Это мы узнаем в ходе изучения материала и в решении различного рода задач.

Цель исследования: Выявить и систематизировать материалы по теме: «Системы счисления и основы двоичных кодировок».

Задачи Исследования:

· Изучить литературу по теме исследования;

· Систематизировать теоретический материал;

· Рассмотреть практические применения теоретического материала.

 

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Непозиционные и позиционные системы счисления

 

Система счисления (Нумерация) - это способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называются цифрами.

Путем длительного развития человечество пришло к двум видам систем счисления: позиционной и не позиционной.

Арифметические операции в различных системах счисления

Сложение и вычитание

В системе с основанием я для обозначения нуля и первых ρ-1 натуральных чисел служат цифры 0, 1, 2, ..., ρ - 1. Для выполнения операции сложения и вычитания составляется таблица сложения однозначных чисел.

 

+	0	1	2	·	·	·	q-1
0	0	1	2	***	***	***	q-1
1	1	2	3	***	***	***	10
2	2	3	4	***	***	***	11
***	***	***	***	***	***	***	***
q-1	q-1	10	11	***	***	***	1(q-2)

 

Например, таблица сложения в шестеричной системе счисления:

 

+	0	1	2	3	4	5
0	0	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5	10
2	2	3	4	5	10	11
3	3	4	5	10	11	12
4	4	5	10	11	12	13
5	5	10	11	12	13	14

 

Сложение любых двух чисел, записанных в системе счисления с основанием ρ, производится так же, как в десятичной системе, по разрядам, начиная с первого разряда, с использованием таблицы сложения данной системы. Складываемые числа подписываются одно за другим так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли по вертикали. Результат сложения пишется под горизонтальной чертой, проведенной ниже слагаемых чисел. Так же как при сложении чисел в десятичной системе, в случае, когда сложение цифр в каком-либо разряде дает число двузначное, в результат пишется
последняя цифра этого числа, а первая цифра прибавляется к результату сложения следующего разряда.

Например,

 

 

Можно обосновать указанное правило сложения чисел, используя представление чисел в виде

 

 

Разберем один из примеров:

 

354₇=3*7²+5*7¹+4*7⁰

263₇=2*7²+6*7¹+3*7⁰

Имеем:

(3*7²+5*7¹+4*7⁰) + (2*7²+6*7¹+3*7⁰) =

=(3+2)*7²+(5+6)*7+(3+4)

=5*7²+1*7²+4*7+7

=6*7²+4*7+7

=6*7²+5*7+0

=650₇

 

Последовательно выделяем слагаемые по степени основания 7, начиная с низшей, нулевой, степени.

Вычитание производится также по разрядам, начиная с низшего, причем если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то из следующего разряда уменьшаемого "занимается" единица и из полученного двузначного числа вычитается соответствующая цифра вычитаемого; при вычитании цифр следующего разряда в этом случае нужно мысленно уменьшить цифру уменьшаемого на единицу, если же эта цифра оказалась нулем (и тогда уменьшение ее невозможно), то следует "занять" единицу из следующего разряда и затем произвести уменьшение на единицу. Специальной таблицы для вычитания составлять не нужно, так как таблица сложения дает результаты вычитания.

Например,

1.5.2 Умножение и деление

Для выполнения действий умножения и деления в системе с основанием ρ составляется таблица умножения однозначных чисел.

*	0	1	2	·	·	·	q -1
0	0						0
1	0						q-1
2	0						1(q-1)
***	***						***
q -1	0						1(q-2)

 

Например, таблица умножения в шестеричной системе счисления:

 

*	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	10	12	14
3	0	3	10	13	20	23
4	0	4	12	20	24	32
5	0	5	14	23	32	41

 

Умножение двух произвольных чисел в системе с основанием ρ производится так же, как в десятичной системе - "столбиком",  то есть множимое умножается на цифру каждого разряда множителя (последовательно) с последующим сложением этих промежуточных результатов.

 

Например,

 

 

При умножении многозначных чисел в промежуточных результатах индекс основания не ставится:

 

 

 

Деление в системах с основанием ρ производится углом, так же, как в десятичной системе счисления. При этом используется таблица умножения и таблица сложения соответствующей системы. Сложнее дело обстоит, если результат деления не является конечной ρ-ичной дробью (или целым числом). Тогда при осуществлении операции деления обычно требуется выделить непериодическую часть дроби и ее период. Умение выполнять операцию деления в ρ-ичной системе счисления полезно при переводе дробных чисел из одной системы счисления в другую.

Например:

 

Способ деления.

Пусть дано число N=a_n a_n-1. . . a₁ а_{0 р}.

Для получения записи числа N в системе с основанием h следует представить его в виде:

 

N=b_mh^m+b_m-1h^m-1+... +b₁h+b₀                           (1)

где 1<b_m<h-1, 0 ≤  b_i ≤ h-l (i=0, 1,... ,m-l), тогда

 

N=b_mb_m-1... b₁b_oh                         (2)

 

Из (1) получаем:

 

N= (b_mh^m-1+...+b)*h +b₀ = N₁h+b₀, где 0≤ b₀ ≤h          (3)

 

To есть цифра b₀ является остатком от деления числа N на число h. Неполное частное N_l = b_mh^m-1+ . . . +b₁ представим в виде:

 

N_l = (b_mh^m-2 + ... + b₂)h + b₁ = N₂h+b₁, где 0≤ b₂ ≤h      (4)

 

Таким образом, цифра b_i в записи (2) числа N является остатком от деления первого неполного частного N₁ на основание h новой системы счисления. Второе неполное частное N₂ представим в виде:

 

N₂ = (b_mh^m-3+ ... +b₃)h+b₂, где 0≤ b₂ ≤h             (5)

 

то есть цифра b₂ является остатком от деления второго неполного частного N₂ на основание h новой системы. Так как не полные частные убывают, то этот процесс конечен. И тогда мы получаем N_m = b_m, где b_m<h, так как:

 

N_m-1 = b_mh+b_m.₁ = N_mh+b_m.₁

 

Таким образом, последовательность цифр b_m, b_m-1 . . ,b₁,b₀ в записи числа N в системе счисления с основанием h есть последовательность остатков последовательного деления числа N на основание h, взятая в обратной последовательности.

Рассмотрим пример: Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему счисления:

 

 

Таким образом, число 123₁₀=7(11)₁₆ либо можно записать как 7B₁₆

Запишем число 34022₇ в пятеричной системе счисления:

 

 

Таким образом, получаем, что 34022₇=233331₅

Перевод с использованием десятичной системы счисления.

Любое число в любой системе счисления представимо в виде:

 

N = a_npⁿ+...+a₁p+a₀

 

Таким образом, имея запись числа в таком виде, мы легко можем перевести его в привычную нам десятичную систему счисления. Например

 

2209₅=2*5³+2*5²+0*5¹+9*5⁰=309₁₀

 

Так же, число, представленное в десятичной системе счисления, мы можем расписать по степеням любого другого основания:

220809₇=2*7⁵+2*7⁴+0*7³+8*7²+0*7¹+9*7⁰=38817₇

 

Таким способом можно перевести числа из одной системы в другую. Например: переведем число 625₇ в 3-ичную систему счисления.

 

625₇=6^*7²+2*7¹+5*7⁰=6*49+2*7+5=31310

313₁₀=1*3⁵+0*3⁴+2*3³+1*3²+2*3¹+1*3⁰=1*243+2*27+1*9+2*3+1=102120₃

 

Ответ: 625т=102120₃

 

Код Хаффмана

Способ оптимального префиксного двоичного кодирования был предложен Д.Хаффманом. Построение кодов Хаффмана мы рассмотрим на следующем примере: пусть имеется первичный алфавит А, состоящий из шести знаков a₁…а₆ с вероятностями появления в сообщении, соответственно, 0,3; 0,2; 0,2; 0,15; 0,1; 0,05. Создадим новый вспомогательный алфавит А_b объединив два знака с наименьшими вероятностями (а₅ и а₆) и заменив их одним знаком (например, а⁽¹⁾); вероятность нового знака будет равна сумме вероятностей тех, что в него вошли, т.е. 0,15; остальные знаки исходного алфавита включим в новый без изменений; общее число знаков в новом алфавите, очевидно, будет на 1 меньше, чем в исходном. Аналогичным образом продолжим создавать новые алфавиты, пока в последнем не останется два знака; ясно, что число таких

шагов будет равно N - 2, где N - число знаков исходного алфавита (в нашем случае N = 6, следовательно, необходимо построить 4 вспомогательных алфавита). В промежуточных алфавитах каждый раз будем переупорядочивать знаки по убыванию вероятностей. Всю процедуру построения представим в виде таблицы:

 

 

Теперь в обратном направлении поведем процедуру кодирования. Двум знакам последнего алфавита присвоим коды 0 и 1 (которому какой - роли не играет; условимся, что верхний знак будет иметь код 0, а нижний - 1). В нашем примере знак а₁⁽⁴⁾ алфавита А⁽⁴⁾, имеющий вероятность 0,6 , получит код 0, а а₂⁽⁴⁾ с вероятностью 0,4 - код 1. В алфавите A⁽³⁾ знак а₁⁽³⁾ с вероятностью 0,4 сохранит свой код (1); коды знаков a₂⁽³⁾ и a₃⁽³⁾, объединенных знаком a₁⁽⁴⁾ с вероятностью 0,6 , будут уже двузначным: их первой цифрой станет код связанного с ними знака (т.е. 0), а вторая цифра -как условились - у верхнего 0, у нижнего - 1; таким образом, а₂⁽³⁾ будет иметь код 00, a a₃⁽³⁾ - код 01. Полностью процедура кодирования

представлена в следующей таблице:

 

 

Из самой процедуры построения кодов легко видеть, что они удовлетворяют условию Фано и, следовательно, не требуют разделителя. Средняя длина кода при этом оказывается: К⁽²⁾ = 0,3-2+0,2-2+0,2-2+0,15-3+0,1-4+0,05-4 = 2,45

Для сравнения можно найти I₁^{A)-она оказывается равной 2,409. что соответствует избыточности кода Q = 0,0169, т.е. менее 2%.

Код Хаффмана важен в теоретическом отношении, поскольку он является самым экономичным из всех возможных, т.е. ни для какого метода алфавитного кодирования длина кода не может оказаться меньше, чем код Хаффмана. Можно заключить, что существует метод построения оптимального неравномерного алфавитного кода. Метод Хаффмана и его модификация - метод адаптивного кодирования (динамическое кодирование Хаффмана) - нашли применение в программах-архиваторах, программах резервного копирования файлов и дисков, в системах сжатия информации в модемах и факсах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В кокой системе счисления лучше записывать числа - это вопрос удобства и традиций. С технической точки зрения, в ЭВМ удобно использовать двоичную систему, так как в ней для записи числа используется всего две цифры 0 и 1, которыми можно представить двумя легко различимыми состояниями «нет сигнала» и «есть сигнал».

Изучая источники по теме «Системы счисления» мы получили возможность провести исторический анализ, исследовать различные формы записи чисел, систематизировать материал и выявить различные спектры применения.

Различные системы счисления окружают нас повсюду. Сами того не замечая мы ежедневно пользуемся не только десятичной системой счисления, а так же двенадцатеричной, когда хотим узнать время или покупаем в магазине пуговицы.

Сейчас системы счисления очень распространены в электронно-вычислительной технике, многие коды и шифры созданы на их основе.

В ходе проведения исследования:

— исследовали историю и развитие систем счисления,

— исследовали практический материал

— рассмотрели область применения и выявили актуальность темы.

Нами решены задачи:

— арифметические действия в различных системах счисления,

— перевод из одной системы счисления в другую.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для студентов-заочников II курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов (Н.А.Казачёк и др.) / Под ред. Н.Я. Виленкина - 2-е изд. М.: Просвещение, 1984. - 192 с.

2. Бендукидзе А.Д. О системах счисления // Квант - 1975 - №8 - с 59-61.

3.Берман Г.Н. Число и наука о нем. Общедоступные очерки по арифметики натуральных чисел. Изд. 3-е. М.: Физматгиз, 1960. - 164с.

4. Вайман А.А. Шумеро-вавилонская математика. III - I тысячелетия до н.э. М.: Изд. вост. лит., 1961. - 278с.

5. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. Изд. 2-е, испр. идоп. М.: Наука, 1967. - 367 с.

6. Глейзер Г.И. История арифметике в школе: IV - VI кл. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 239 с.

7. Гутер Р.С. Вычислительные машины и системы счисления // Квант-1971 -№2.

8. Депман И.Я. История арифметики, пособие для учителей. М.: Учпедгиз, 1959.-423с.

9. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. М.: Просвещение, 1989. -287с.

10. Детская энциклопедия: [В 10-ти т.] Для среднего и старшего возраста. Гл.ред. Маркушевич А.И. Т.2. - Мир небесных тел; Числа и фигуры. -М.: Педагогика, 1972. - 480 с.

11. И. Дышинский Е.А. Игротека математического кружка. М.: Просвещение, 1972. - 144 с.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И СПОСОБЫ ДВОИЧНЫХ КОДИРОВОК

Дисциплина Математика

 

Студент группы №2338                                        Томрычева Н.С./

 

Специальность 050202 информатика с дополнительной специальностью математика

 

Руководитель

Ст.преподаватель                                             Тыщук Л.Н./

Комиссия                                                      /……………….…../

/……………….…../

/……………….…../

 

Дата защиты ________________г.

Оценка _____________________

 

 

Курган 2010г.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Системы счисления

1.1 История развития различных систем счисления

1.2 Непозиционные и позиционные системы счисления

1.2.1 Непозиционная система счисления

1.2.2 Позиционная система счисления

1.3 Десятичная система счисления и ее происхождения

1.4 Системы счисления с другими основаниями, их происхождение и применение

1.5 Арифметические операции в различных системах счисления

1.6 Перевод из одной системы счисления в другую

2. Использование систем счисления в компьютерной технике и информационных технологиях

2.1 Двоичное кодирование информации в компьютере

2.2 Представление чисел в компьютере

2.3 Способы построения двоичных кодов

Заключение

Список литературы

 

ВВЕДЕНИЕ

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами: запоминает номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитывает стоимость покупок, ведет свой семейный бюджет в рублях и копейках и т.д. Числа и цифры с нами везде! Интересно, что знал человек о числах две тысячи лет назад? А пять тысяч лет назад?

Историки доказали, что и пять тысяч лет тому назад люди могли записывать числа, могли производить над ними арифметические действия. При этом записывали они числа совершенно по другим принципам, нежели мы в настоящее время. В любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов. В математике и информатике приняты символы, участвующие в записи числа, называть цифрами.

Что же понимается под словом «число»?

Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало, число было «привязано» к тем предметам, которые пересчитывали. Отвлеченное понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности.

Появление дробных чисел было связано с необходимостью производить измерения (сравнения с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона). Но поскольку единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине, то возникла практическая потребность, ввести более «мелкие» числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

Понятие числа – фундаментальное понятие, как математики, так и информатики. Под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись.

Сегодня человечество для записи чисел использует в основном десятичную систему счисления. Что же такое – система счисления? Это мы узнаем в ходе изучения материала и в решении различного рода задач.

Цель исследования: Выявить и систематизировать материалы по теме: «Системы счисления и основы двоичных кодировок».

Задачи Исследования:

· Изучить литературу по теме исследования;

· Систематизировать теоретический материал;

· Рассмотреть практические применения теоретического материала.

 

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ