Для цепей сложной структуры использовалась за­пись уравнений в матричной форме. Матричная запись:

1) позволяет распространять формальным образом полученные уравнения на цепи любой сложной структуры;

2) системати­зирует и упрощает процесс составления уравнений;

3) дает алгоритмы формирования уравнений с помощью ЭВМ; в случае сложных цепей составление уравнений «вручную» (без ЭВМ) требует значительных затрат времени.

Рассмотрим классические методы контурных и узловых уравнений. Вначале введем понятие графа цепи, описы­вающего свойства цепи, связанные с взаимным соединением ветвей, т. е. с геометрической структурой (топологией) схемы. Применение понятия графа позволяет записывать в матричной форме уравнения соединений, составляемые на основе законов Кирхгофа, и тем самым формировать уравнения разветвленных цепей с помощью ЭВМ.

Уравнения равновесия токов и напряжений, составленные по Законам Кирхгофа, как указывалось, линейными однородными уравнениями. Важное условие, которое должно обеспечиваться, состоит в линейной независимости уравнений. Ни одно уравнение не должно быть получено линейной комбинацией остальных уравнений. Общий систематический метод получения линейно независимых уравнений цепи основан также на привлечении понятий теории линейного графа, одного разделов математической дисциплины—топологии. К линейному графу приводит следующее соображение:

Уравнения равновесия токов и напряжений, составленные по законам Кирхгофа, определяются только схемами соединений ветвей, т. е. геометрической структурой цепи, и не зависят от вида и характеристик элементов, т. е. от физического со­держания ветвей. Поэтому при составлении уравнений со­единений удобно отвлекаться от вида и характеристик ветвей цепи, заменив их линиями. В результате для цепи рис. 3.1, а, составленной из любых двухполюсных элементов, получим линейный граф, показанный на рис. 3.1, б.

Граф является системой или совокупностью двух элемен­тов—узлов (вершин), изображаемых точками, и ветвей (ре­бер), изображаемых отрезками линий, которые соединяют пары узлов. В предельном вырожденном случае граф может состоять только из одного узла.

Числа узлов и ветвей графа обозначим п _y и n _д. Поскольку каждому узлу и каждой ветви цепи сопоставляется узел и ветвь графа, граф цепи содержит всю информацию о соединениях и геометрических свойствах исходной цепи. На рис. 3.1, а, б соответственные узлы, а также ветви цепи и графа имеют одинаковые номера.

Граф, так же как и исходная цепь, может иметь различную структуру. Различают планарный (плоский) граф, если его можно изобразить на плоскости без пересечения ветвей (рис. 3.1,6), и не планарный (пространственный) граф, если при его изображении на плоском чертеже невозможно избежать пересечения ветвей (рис. 3.2, а). Полным назы­вают граф, у которого каждая пара узлов соединена одной ветвью. Примером полного графа цепи может служить граф рис. 3.2, а.

Любую часть графа, элементы которой являются элемен­тами исходного графа, называют подграфом. Подграф получают путем удаления (исключения) некоторых ветвей исходного графа.

Важным подграфом является путь графа, представляю­щий непрерывную последовательность ветвей, связывающую пару выбранных узлов, с прохождением каждого узла не более одного раза. Смежные вет­ви пути имеют общий узел, так что к каждо­му узлу присоединены две ветви, лишь к край­ним узлам — по одной ветви.

На рис. 3.1, б пути, свя­зывающие узлы 1, 4, образованы ветвями 2-4, 5-6, 1, 2-3-5 и т. д. Если в заданном графе имеется хотя бы один путь между любой парой узлов, то граф называется связным—он соответствует цепи, элементы которой соединены только электрически. Граф рис. 3.1, б является примером связного графа, а рис. 3.2, б —несвяз­ного: он состоит из двух раздельных частей, элементы ко­торых могут иметь связь, например, через взаимную ин­дуктивность.

Для составления уравнений соединений по законам Кирх­гофа необходимо на всех ветвях графа стрелками указать положительные направления токов. В результате получается граф с ориентированными ветвями, называемый направлен­ным графом токов цепи (рис. 3.1, б), ветви которого явля­ются токами. Положительные полярности напряжений ветвей удобно принимать согласованными с положительными на­правлениями токов. Тогда в цепях, составленных из двух­полюсных элементов, направленный граф напряжений, реб­ра которого являются напряжениями ветвей, будет совпа­дать с графом токов. Переход к направленному графу позволяет производить аналитическую запись структуры графа и подграфов в виде таблиц – матриц, называемых топологическими матрицами. Аналитическое представ­ление графа необходимо для формирования уравнений сложной цепи с помощью ЭВМ.

Полное описание структуры направленного графа дает n _уxn _в - матрица соединений, n_у строк ко­торой являются порядковыми номерами узлов, n_в столб­цов – номерами ветвей. Элементами а _i,j этой матрицы яв­ляются символы наличия или отсутствия ветви k, присое­диненной к узлу i, которые принимаются равными +1 (—1) для выходящей из узла (входящей) ветви и 0, если ветвь не связана с узлом.

Для того чтобы записать матрицу соединений, достаточно для каждой ветви определить номера обоих соединяемых узлов i, j и заполнить клеточки на пересечениях строк i, j и столбца с номером ветви k значениями +1, — 1; в остальных клеточках должны быть проставлены нули. Для графа рис. 3.1,б получим полную матрицу соединений:

(3.1)

Так как каждая ветвь соединяет два узла—выходит из одного узла и входит в другой, то столбец матрицы состоит из двух ненулевых элементов +1, —1 (их сумма равна нулю), так что достаточно заполнить таблицу для n_y-1 узлов, которая является редуцированной матрицей соединений А. Эту незави­симую матрицу можно получить из полной матрицы А_a вычеркиванием строки, соответствующей выбранному базисно­му узлу.

Приняв в качестве базисного узел 4 и соответственно вычеркивая четвертую строку в (3.1), получим редуцированную матрицу соединений:

(3.2)

Строка матрицы А показывает, какие ветви выходят из каждого независимого узла графа цепи (и входят в него), а столбец – к каким узлам присоединена ветвь.

В отличие от полной матрицы А_а у реду­цированной матрицы соединений связного графа множест­во всех строк линейно независимо. Отсюда можно сделать вывод о том, что система уравнений равновесия токов в n_y-1 узлах цепи линейно независима. Если ввести вектор токов п_в, ветвей:

i=[i₁, i₂, … i_nв]^Т,                (3.3)

то систему независимых уравнений в n_у -1 узлах по ЗТК в соответствии со смыслом матрицы А можно записать в виде:

Ai=0,                      (3.4)

где 0=[0 0 … 0]^T - нулевой вектор размерности n_у -1.

Для графа цепи рис. 3.1, б с матрицей соединений (3.2) имеем:

Транспонированная матрица соединений имеет вид:

(3.5)

Строка этой матрицы показывает, между какими узлами присоединена каждая ветвь.

Если задана матрица соединений, то всегда можно построить соответствующий граф. Для этого, расположив точки, обозначающие узлы, следует соединить их попарно ветвями. Номера и направление ветвей определяются ненулевыми эле­ментами столбцов матрицы соединения.

Уравнения контурных токов

Метод контурных токов применим к цепям с планарным графом (рис. 3.3, а). В качестве переменных принимают замкну­тые контурные токи, проходящие по ветвям, образующим все внутренние ячейки графа.

Если намечать контуры – периметры ячеек – по порядку, начиная с одного края цепи, то легко убедиться, что в каждый последующий контур вносится новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры. Отсюда следует, что уравнения равно­весия напряжений в таких контурах будут линейно независимы. Число внутренних ячеек равно n_x=n_в-n_y+1.

Каждой ячейке при­писывается один кон­турный ток, замыкаю­щийся по ветвям, об­разующим ячейку. Об­щее число перемен­ных – контурных токов – равно числу ячеек. Направления всех контурных токов принимают одинаковыми – по часовой стрел­ке. Как видно из рис. 3.3, a, по каждой ветви цепи, за исключением периферийных ветвей, замыкаются два контурных тока, направленные в противоположные стороны. Запишем уравнения соединений.

1. Приравнивая нулю суммы напряжений ветвей всех неза­висимых контуров (ячеек), имеем n_х уравнений по ЗНК .

2. Выражая ток каждой ветви через разность двух (в общем случае) замыкающихся по смежным контурам контурных токов, получим n_в уравнений по ЗТК:

.

Как видно, токи всех ветвей, т. е. поведение всей цепи, полностью определяются n_х контурными токами, число кото­рых меньше числа ветвей.

Запишем уравнения ветвей. Положим для удобства, что выполнено преобразование всех источников тока и цепь содержит только источники напряжения. Примем для общности каждую ветвь состоящей из последовательного соединения резистивного элемента и источника напряжения (рис. 3.3,6). Уравнение такой составной ветви имеет вид:

.

Для получения уравнений относительно выбранных перемен­ных необходимо:

1) с помощью уравнений ветвей  в уравнениях равновесия напряжений заменить напряжения всех ветвей токами;

2) токи ветвей в получившейся системе заменить, согласно , контурными токами.

Получим уравнения для одной из ячеек, например первой (рис. 3.3, в), образованной тремя ветвями. Основным уравнени­ем равновесия напряжений в первом контуре будет:

u₁+u₂+u₃=0 (*)

Токи ветвей ячейки:

.(**)

Уравнения ветвей:

 (***)

Из трех систем уравнений (*), (**), (***) необходимо получить уравнение, содержащее только искомые контурные токи. В соответствии со сказанным с помощью (***) заменяем в основном уравнении (*) напряжения на токи ветвей, которые затем выражаем через контурные токи согласно (**):

,

  После группировки имеем:

Первое слагаемое здесь представляет сумму напряжений всех резистивных ветвей контура только от собственного контурного тока в отсутствие токов других контуров (при их разрыве), а остальные слагаемые—напряжения ветвей контура от токов других контуров в отсутствие собственного контурного тока. В правую часть перенесены напряжения всех источников, входящих в контур.

Аналогичные уравнения получим для остальных контуров. Если число контуров равно п, то предположив для общности число ветвей каждой ячейки также равным п, можно записать систему уравнений контурных токов:

Коэффициент R_kk —собственное сопротивление контура, рав­ное сумме сопротивлений всех ветвей ячейки, а коэффициент R_ik=R_ki (i<>k) – взаимное  сопротивление контуров, равное сопротивлению общей для контуров i и k ветви, взятому с отрицательным знаком, которым учитываются встречные на­правления контурных токов в рассматриваемой ветви.

Каждое уравнение системы выражает условие равно­весия напряжений ветвей контура – резистивных и источников напряжения (в правой части). Слагаемое на главной диагонали  дает напряжение всех резистивных ветвей только от собственного контурного тока, а слагаемое Р_kji_j=u_kj - напря­жение на взаимном сопротивлении контуров только от тока в j-м контуре.

Составление уравнений сводится к записи симметричной матрицы параметров контурных токов:

Вектора контурных напряжений источников, составляющие которых равны суммам напряжений источников в контурах:

При введении вектора искомых контурных токов уравнения (3.10) в матричной форме можно записать в виде:

.