Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

 

Рассмотрим тензор нелинейных деформаций Грина:

 

 = 0,5 (Ñu + Ñu^T + Ñu × Ñu^T) =  + 0,5Ñu × Ñu^T

 

Его нелинейная часть определяется следующим образом:

 

Ñu × Ñu^T = u_mn e_m × e_n × u_ij e_j e_i = u_mn u_ij d_nj e_m×e_i =

= u_mn u_in e_m e_i; Þ e_mi = e_mi + 0,5u_mn u_in

 

Таким образом, компоненты тензора деформаций можно записать в виде:

 

e₁₁ = e₁₁ + 0,5 ( )

e₁₂ = e₁₂ + 0,5 (u₁₁u₂₁ + u₁₂u₂₂ + u₁₃u₂₃)

e₁₃ = e₁₃ + 0,5 (u₁₁u₃₁ + u₁₂u₃₂ + u₁₃u₃₃)

e₂₁ = e₂₁ + 0,5 (u₂₁u₁₁ + u₂₂u₁₂ + u₂₃u₁₃)

e₂₂ = e₂₂ + 0,5 ( )

e₃₁ = e₃₁ + 0,5 (u₃₁u₁₁ + u₃₂u₁₂ + u₃₃u₁₃)

e₃₂ = e₃₂ + 0,5 (u₃₁u₂₁ + u₃₂u₂₂ + u₃₃u₂₃)

e₃₃ = e₃₃ + 0,5 ( )

e₂₃ = e₂₃ + 0,5 (u₂₁u₃₁ + u₂₂u₃₂ + u₂₃u₃₃)

 

или, подставляя выражения для углов поворота:

 

e₁₁ = e₁₁ + 0,5 ( )

e₂₂ = e₂₂ + 0,5 ( )

e₃₃ = e₃₃ + 0,5 ( )

e₁₂= e₁₂ + 0,5 (-e₁₁w₂₃ + e₂₂w₁₃ - w₁₂w₂₁)

e₁₃= e₁₃ + 0,5 (e₁₁w₃₂ - w₁₃w₃₁ - w₁₂w₃₃)

e₂₃= e₂₃ + 0,5 (- w₃₂w₂₃ -e₂₂w₃₁ + e₃₃w₂₁)

(u₂₁ = -w₂₃; u₂₃ = w₂₁; u₃₁ = w₃₂; u₁₂ = w₁₃; u₃₂ = -w₃₁;

u₃₁ = w₃₂; u₁₁ = e₁₁; u₂₂ = e₂₂; u₃₃ = e₃₃)

 

Введем следующие предположения:

e_ii << 1 - деформации растяжения -сжатия малы

предполагаем, что величины поворотов w₁₃ << 1; w₂₃ << 1, а в отношении остальных величин можно принять, что << 1

w_ij - угол поворота i-го орта относительно j-го орта. Таким образом из соотношений (…) следует:

 

e₁₁ = e₁₁ + 0,5

e₂₂ = e₂₂ + 0,5

e₃₃ = e₃₃ + 0,5 ( )

e₁₂= e₁₂ - 0,5w₁₂ w₂₁

e₁₃= e₁₃ + 0,5 (e₁₁w₃₂ - w₁₃w₃₁ - w₁₂w₃₃)

e₂₃= e₂₃ + 0,5 (- w₃₂w₂₃ -e₂₂w₃₁ + e₃₃w₂₁)

Гипотезы Кирхгофа-Лява

 

Результаты, полученные в предыдущих параграфах, основаны на геометрических и статических соображениях. Однако их недостаточно для полного построения теории оболочек. При выборе соотношений, связывающих компоненты деформаций с перемещениями и усилия и моменты с компонентами деформаций приходится принимать некоторые упрощающие подходы. Первый заключается в том, что оболочку рассматривают как трехмерное упругое тело. Решение соответствующих уравнений теории упругости разыскиваются путем разложения всех величин в ряды по степеням точки оболочки от срединной поверхности. Этот подход, предложенный в теории пластин А. Коши, позволяет при удержании достаточного числа членов (при условии сходимости рядов) получить решение близкое к точному. Этот метод весьма громоздок, поэтому в большинстве случаев идут по другому пути. Во втором подходе предложенном также при построении теории пластин Г. Кирхгоффом принимаются гипотезы, аналогичные тем, которые используются в теории балок:

прямолинейные и нормальные к срединной поверхности волокна недеформированной оболочки остаются прямолинейными и нормальными к деформированной срединной поверхности и не меняют своей длины;

нормальные напряжения на площадках, параллельных площадкам срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с другими напряжениями.

Первая гипотеза имеет геометрический характер, вторая - статический. Теория оболочек, основанная на гипотезах Кирхгоффа, была построена, в основном А. Лявом, поэтому в теории оболочек гипотезы 1 и 2 принято называть гипотезами Кирхгоффа-Лява. Иногда их называют гипотезой жесткой (недеформированной) нормали или гипотезой сохранения нормали.

Гипотеза 1 используется только для записи зависимостей деформации оболочки от перемещений, гипотеза 2 - для записи зависимостей деформаций от напряжений. В первом случае предполагается, что в нормальных сечениях отсутствуют сдвиги e₁₃ = e₂₃ = 0, и поперечные деформации e₃₃ = 0. Во втором случае допускается, что нормальное напряжение s₃₃ незначительно влияет на деформации e₁₁ и e_22, так что эти деформации выражаются через нормальные напряжения s₁₁, s₂₂ и s₃₃ << {s₁₁, s₁₂, s₂₂}. Таким образом гипотезу 1 нельзя понимать в буквальном смысле, поскольку в действительности в оболочках имеют место поперечные сдвиги - поперечные или как их иногда называют перерезывающие силы не равны нулю.

Гипотезы Кирхгоффа-Лява просты и физичны. Они позволяют свести трехмерную задачу определения напряженно-деформированного состояния оболочки к двумерной. Исследование поведения элемента оболочки в рамках этих гипотез сводится к исследованию поведения ее срединной поверхности. Следует отметить, что теория, построенная на гипотезах Кирхгоффа-Лява, является существенно приближенной. Принятие этих гипотез вносит погрешность порядка h/R, где h - толщина оболочки, R - минимальный линейный размер срединной поверхности.

Рассмотрим элемент тонкой оболочки со срединной поверхностью S. До деформирования в исходной конфигурации радиус-вектор произвольной точки оболочки, не лежащей на срединной поверхности может быть представлен в виде:

 

r (a₁, a₂, a₃) = r (a₁, a₂) + a₃n

r (a₁, a₂) - радиус-вектор проекции точки на S до деформации.

После деформирования (в актуальной конфигурации)

R (a₁, a₂, a₃) = P (a₁, a₂) + a₃N

P (a₁, a₂) - радиус-вектор проекции точки на S после деформации

Тогда вектор перемещений запишется в виде:

u = R - r = P - r + a₃ (N - n) = = u° (a₁, a₂) + a₃u¹ (a₁, a₂)

u° - вектор перемещений точек, лежащих на S

В координатной форме соответственно:

 

u₁ =  (a₁, a₂) + a₃  (a₁, a₂)

u₂ =  (a₁, a₂) + a₃  (a₁, a₂)

u₃ =  (a₁, a₂)

 

При этом компоненты вектора перемещений u₁ и u₂ линейным образом зависят от координаты a_3, а функция поперечного прогиба постоянна по толщине в силу недеформируемости нормали.

Рассмотрим детальнее геометрическую гипотезу Кирхгоффа-Лява. Тот факт, что нормаль к срединной поверхности S в процессе деформирования остается нормалью приводит к соотношениям:

 

e₁₃ = 0, e₂₃ = 0

 

Таким образом

 

u_3,1/A₁ + u_1,3 - u₁k₁ = 0

/A₁ +  - (  + a₃ ) k₁ = 0

 (1 - a₃k₁) - k₁ + /A₁ = 0

 

считая оболочку достаточно тонкой, пренебрегаем членом a₃k₁ << 1

 

 (a₁, a₂) = - /A₁ + k₁

   (a₁, a₂) = - /A₂ + k₂

w₁₂ = - u_3,1/A₁ + u₁k₁ = - /A₁ + k₁ + a₃k₁ =

= - /A₁ + k₁ + a₃k₁ (- /A₁ + k₁) =

= (- /A₁ + k₁) (1 + a₃k₁) =  (1 + a₃k₁) » =

= - /A₁ + k₁ = q₁ (a₁, a₂) - угол поворота на поверхности S.

 

Аналогично:

 

w₂₁ = u_3,2/A₂ - u₂k₂ » = /A₂ - k₂ = -  = - q₂ (a₁, a₂)

 

Обозначим:  = u;  = v; = w тогда можно записать:

 

u₁ = u + a₃q₁, u₂ = v + a₃q₂, u₃ = w

 

Введем в рассмотрение плоский вектор перемещений и поворотов:

u = ue₁ + ve₂

q = q₁e₁ + q₂e₂

 

Тензор кривизны в главных осях можно представить в виде:

 

= k₁e₁e₁ + k₂e₂e₂; k_i = 1/R_i

 

Окончательно кинематические соотношения, соответствующие теории Кирхгоффа-Лява запишутся в виде:

 

q = -Ñw + × u Ñ = e_s (1/A_s) (¶/¶s) (s = 1,2)

u (a₁, a₂, a₃) = u₁e₁ + u₂e₂ = u (a₁, a₂) + a₃q (a₁, a₂)

u₃ = w (a₁, a₂)

 

С учетом проведенных выкладок для компонентов тензора деформаций имеем:

 

e₁₁ = e₁₁ + 0,5  =  + a₃

= /A₁ + A_1,1 / (A₁A₂)  + k₁ + 0,5

= q_1,1/A₁ + A_1,1 / (A₁A₂) q₂ (w₁₂ = q₁)

e₂₂ = e₂₂ + 0,5

= /A₂ + A_2,1 / (A₁A₂)  + k₂ + 0,5

= q_2,2/A₂ + A_2,1 / (A₁A₂) q₁

e₁₂= e₁₂ - 0,5w₁₂w₂₁ = e₁₂ + 0,5q₁q₂ =  (w₂₁ = -q₂)

 = 0,5 [ (A₂/A₁) ( /A₂),₁ + (A₁/A₂) ( /A₁),₂] + 0,5q₁q₂

 = 0,5 [ (A₂/A₁) (q₂ /A₂),₁ + (A₁/A₂) (q₁/A₁),₂]

 

Введем в рассмотрение плоский тензор деформаций

 

= e₁₁e₁e₁ + e₁₂ (e₁e₂ + e₂e₁) + e₂₂e₂e₂

 

Он может быть записан в другой форме:

 

 = + a₃ , где

 = e₁e₁ +  (e₁e₂ + e₂e₁) + e₂e₂ (b = 0,1)

 

Таким образом использование геометрической гипотезы Кирхгоффа-Лява приводит к линейному распределению перемещений и деформаций по толщине оболочки. В компактной форме можно записать:

 

= 0,5 (Ñu+ Ñu^T) + w + 0,5qq

= 0,5 (Ñq + Ñq^T)

 

 характеризует деформации растяжения-сжатия срединной поверхности S,  - изменение кривизн и кручение срединной поверхности.