Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Список обозначений

 

a₁, a₂ - криволинейные ортогональные координаты срединной поверхности S_o оболочки на линиях главных кривизн; для оболочки вращения a₁ ─ продольная, a₂-окружная координаты; z ─ координата по нормали  к S;

А₁, А₂ -коэффициенты Лямэ; k₁, k₂ -главные кривизны;

U, V, W - компоненты вектора перемещений произвольной точки оболочки;

u, v, w - компоненты вектора перемещений точек поверхности S_o;

q ₁, q₂ - углы поворота нормали ;

e_jk - компоненты тензора деформаций;

E₁₁, E₂₂, E₁₂ - компоненты тангенциальной деформации на S: растяжения-сжатия по направлениям координат a₁ и a₂ и сдвиг;

K₁₁, K₂₂, K₁₂ - компоненты изгибной деформации: изменения главных кривизн и кручение;

T₁₁, T₂₂, S - тангенциальные внутренние усилия, приведенные к S_o: усилия растяжения-сжатия и сдвига;

M₁₁, M₂₂, H - изгибающие и крутящий моменты;

Q₁₁, Q₂₂ - перерезывающие силы;

q₁, q₂, q₃ - компоненты внешней поверхностной нагрузки, приведенные к S;

E, n - модуль Юнга и коэффициенты Пуассона материала оболочки;

y_j -унифицированные обозначения основных независимых переменных в разрешающих системах обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ);

f_j - операторы правых частей канонических систем ОДУ;

Рассмотрим элемент произвольной тонкой оболочки, пусть в дальнейшем

h - толщина оболочки, принимаемая в дальнейшем постоянной.

Обозначим через R₁, R₂- главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки S. R=min {R₁, R₂}.

Основным геометрическим параметром оболочки является параметр тонкостенности или относительная толщина, определяемый отношением e=h/R.

Принята достаточно условная классификация оболочек по ее толщине на тонкие, средней длины и толстые оболочки.

Будем считать оболочку тонкой, если ее относительная толщина значительно меньше единицы. Обычно оболочки считают тонкими при значении e<1/20. Значения 1/20 < e < 1/10 соответствуют оболочке средней толщины, а e > 1/10 - толстой оболочке.

Для незамкнутых оболочек можно задать характерный размер размер a. Тогда параметр тонкостенности можно определить как e = min (h/a, h/R).

Поверхность оболочки S, равноотстоящая от лицевых поверхностей S₊ и S _- называется ее срединной поверхностью.

Специальная система координат в теории оболочек

N = e₁ ´ e₂

 

Для любой точки тела оболочки:

 

r (a₁,a₂,a₃) = r (a₁,a₂) + a₃N

 = (r_{, i}) ² = (r_{, i} + (a₃N), i) ² = (r_i + a₃B_ij r_j) ² (B₁₂ = B₂₁ =0)

= (r₁ + a₃ N_,1) ² = (r₁ + a₃ × B₁₁ r₁) ² =  (1 + a₃k₁) ²

H₁ = A₁ (1 + a₃k₁); H₂ = A₂ (1 + a₃k₂); (½r_i½= A_i)

 = N × N = 1 ® H₃ = 1 –

 

параметры Ляме в специальной системе координат

Деформации сдвига

 

Выделим два прямолинейных волокна, направление которых определяется единичными векторами m₁ и m₂

 

dr₁ = m₁ds₁; dr₂ = m₂ds₂;

 

ds_i = ½dr_i½ - длины элементов волокон до деформаций

Деформации сдвига характеризуется изменением угла q₁₂

 

cos q₁₂ - cos Q₁₂ = (dr₁× dr₂) / (ds₁× ds₂) - (dR₁× dR₂) / (dS₁× dS₂) =

= m₁ × m₂ - [ (dr₁× × dr₂) / ds₁ (1+e_m1) ds₂ (1+e_m2)] =

= m₁ × m₂ - m₁× × m₂ = m₁× (  - ) × m₂ = - 2m₁× × m₂;

Пусть m₁ = e₁; m₂ = e₂; m₁ × m₂ = 0

cos q₁₂ = 0 0 - cos Q₁₂ = -2

cos Q₁₂ = cos (p/2 - g₁₂) = 2  = sin g₁₂ = g₁₂

 

g₁₂ - угол сдвига; g₁₂ » e₁₂, если g₁₂ - небольшой

 

Повороты

 

Рассмотрим материальное волокно dr = e ds

w = (dr ´ dR) / (½dr½×½dR½) - вектор поворота материального волокна

½w½= sin j

w - нормаль, относительно которой происходит поворот

w = (dr ´ (dr × )) / (ds×ds (1 + e_e)) = e ´ (e× ) =

= e ´ [e × ( u)] = e ´ e + e ´ (e × u) = e ´ (e × u)

 

Пусть e = e_t - базисные вектора t = 1,2,3

w_t - вектор поворота материального волокна t

 

w_t = e_t ´ (e_t × u) = e_t ´ (e_t × u_kj e_k e_j) =

u = u_kj e_k e_j = e_t ´ (u_kj d_tk e_j) = e_t ´ u_tj e_j =

= u_tj '_tjk e_k = w_tk e_k = w_t, где w_tk = u_tj '_tjk

 

'_tjk - символы Леви-Чивита, которые определяются:

СЛЧ = 0, если среди r,s,t есть одинаковые

=+1, если индексы r,s,t - различные ® 123, 231, 312

= -1, если этот порядок нарушается

'_rst = e_r × (e_s ´ e_t)

w_tk характеризует поворот орта t относительно орта k.

Введем тензор второго ранга = w_tk e_t e_k - тензор поворота

 

w₁₁ = 0; w₁₂ = u_1j '_1j2 = - u₁₃; w₁₃ = u_1j '_1j3 = u₁₂

w₂₁ = u_2j '_2j1 = u₂₃; w₂₂ = 0; w₂₃ = - u₂₁

w₃₁ = u_3j '_3j1 = - u₃₂; w₃₂ = u_3j '_3j2 = u₃₁;

w₃₃ = 0;

 

Определим компоненты градиента вектора перемещений в специальной системе координат:

 

( = e_{s (}…),_s / H_s; H_i = A_{i (}1 + a₃k_i) i = 1,2 H₃ = 1

 

“o” - в дальнейшем опускаем

 

Ñu = e_s (u₁e₁ + u₂e₂ + u₃e₃),_s / H_s = e_{1 (}u_1,1/H₁) e₁ + e_{1 (}e_1,1 /H₁) u₁ + e_{2 (}u_1,2/H₂) e₁ +

+ e_{2 (}e_1,2 /H_{2 )} u₁ + e_{3 (}u_1,3/H₃) e₁ + e_{3 (}e_1,3 /H₃) u₁ + e_{1 (}u_2,1/H₁) e₂ + e_{1 (}e_2,1 /H₁) u₂ +

+ e_{2 (}u_2,2/H₂) e₂ + e_{2 (}e_2,2 /H₂) u₂ + e_{3 (}u_2,3/H₃) e₂ + e_{3 (}e_2,3 /H₃) u₂ + e_{1 (}u_3,1/H₁) e₃ +

+ e_{1 (}e_3,1 /H₁) u₃ + e_{2 (}u_3,2/H₂) e₃ + e_{2 (}e_3,2 /H₂) u₃ + e_{3 (}u_3,3/H₃) e₃

 

После подстановки выражений e_k,j (j,k = 1,2,3)

 

H_i = A_i (1 + a₃k_i) i = 1,2; H₃ = 1

 

h/2 £ a₃ £ h/2; учитывая, что h/R_i " 1, т.е. оболочка тонкая, получим:

 

u₁₁ = u_1,1/A₁ + (A_1,2 / (A₁A₂)) u₂ + u₃k₁

u₁₂ = u_2,1/A₁ - (A_1,2 / (A₁A₂)) u₁

u₁₃ = u_3,1/A₁ - u₁k₁

u₂₁ = u_1,2/A₂ - (A_2,1 / (A₁A₂)) u₂

u₂₂ = u_2,2/A₂ + (A_2,1 / (A₁A₂)) u₁ + u₃k₂

u₂₃ = u_3,2/A₂ - u₂k₂

u₃₁ = u_1,3 u₃₂ = u_2,3 u₃₃ = u_3,3

 = 0,5 (Ñu + Ñu^T) Þ e_ii = u_ii

 

Для удлинений имеем:

 

e₁₁ = u₁₁; e₂₂ = u₂₂; e₃₃ = u₃₃;

 

Для деформаций сдвига соответственно:

 

e₁₂ = 0,5 (u₁₂ + u₂₁) = 0,5 [ (A₂/A₁) (u₂/A₂),₁ + (A₁/A₂) (u₁/A₁),₂]

e₁₃ = 0,5 (u₁₃ + u₃₁) = 0,5 (u_3,1/A₁ + u_1,3 - u₁k₁)

e₂₃ = 0,5 (u₂₃ + u₃₂) = 0,5 (u_3,2/A₂ + u_2,3 - u₂k₂)

 

Углы поворота определяются через перемещения следующим образом: w_ii = 0

 

w₁₂ = - u₁₃ = - u_3,1/A₁ + u₁k₁

w₂₁ = u₂₃ = u_3,2/A₂ - u₂k₂; w₁₃ = u₁₂

w₂₃ = - u₂₁ w₃₁ = - u₃₂ = - u_2,3; w₃₂ = u₃₁ = u_1,3.

Гипотезы Кирхгофа-Лява

 

Результаты, полученные в предыдущих параграфах, основаны на геометрических и статических соображениях. Однако их недостаточно для полного построения теории оболочек. При выборе соотношений, связывающих компоненты деформаций с перемещениями и усилия и моменты с компонентами деформаций приходится принимать некоторые упрощающие подходы. Первый заключается в том, что оболочку рассматривают как трехмерное упругое тело. Решение соответствующих уравнений теории упругости разыскиваются путем разложения всех величин в ряды по степеням точки оболочки от срединной поверхности. Этот подход, предложенный в теории пластин А. Коши, позволяет при удержании достаточного числа членов (при условии сходимости рядов) получить решение близкое к точному. Этот метод весьма громоздок, поэтому в большинстве случаев идут по другому пути. Во втором подходе предложенном также при построении теории пластин Г. Кирхгоффом принимаются гипотезы, аналогичные тем, которые используются в теории балок:

прямолинейные и нормальные к срединной поверхности волокна недеформированной оболочки остаются прямолинейными и нормальными к деформированной срединной поверхности и не меняют своей длины;

нормальные напряжения на площадках, параллельных площадкам срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с другими напряжениями.

Первая гипотеза имеет геометрический характер, вторая - статический. Теория оболочек, основанная на гипотезах Кирхгоффа, была построена, в основном А. Лявом, поэтому в теории оболочек гипотезы 1 и 2 принято называть гипотезами Кирхгоффа-Лява. Иногда их называют гипотезой жесткой (недеформированной) нормали или гипотезой сохранения нормали.

Гипотеза 1 используется только для записи зависимостей деформации оболочки от перемещений, гипотеза 2 - для записи зависимостей деформаций от напряжений. В первом случае предполагается, что в нормальных сечениях отсутствуют сдвиги e₁₃ = e₂₃ = 0, и поперечные деформации e₃₃ = 0. Во втором случае допускается, что нормальное напряжение s₃₃ незначительно влияет на деформации e₁₁ и e_22, так что эти деформации выражаются через нормальные напряжения s₁₁, s₂₂ и s₃₃ << {s₁₁, s₁₂, s₂₂}. Таким образом гипотезу 1 нельзя понимать в буквальном смысле, поскольку в действительности в оболочках имеют место поперечные сдвиги - поперечные или как их иногда называют перерезывающие силы не равны нулю.

Гипотезы Кирхгоффа-Лява просты и физичны. Они позволяют свести трехмерную задачу определения напряженно-деформированного состояния оболочки к двумерной. Исследование поведения элемента оболочки в рамках этих гипотез сводится к исследованию поведения ее срединной поверхности. Следует отметить, что теория, построенная на гипотезах Кирхгоффа-Лява, является существенно приближенной. Принятие этих гипотез вносит погрешность порядка h/R, где h - толщина оболочки, R - минимальный линейный размер срединной поверхности.

Рассмотрим элемент тонкой оболочки со срединной поверхностью S. До деформирования в исходной конфигурации радиус-вектор произвольной точки оболочки, не лежащей на срединной поверхности может быть представлен в виде:

 

r (a₁, a₂, a₃) = r (a₁, a₂) + a₃n

r (a₁, a₂) - радиус-вектор проекции точки на S до деформации.

После деформирования (в актуальной конфигурации)

R (a₁, a₂, a₃) = P (a₁, a₂) + a₃N

P (a₁, a₂) - радиус-вектор проекции точки на S после деформации

Тогда вектор перемещений запишется в виде:

u = R - r = P - r + a₃ (N - n) = = u° (a₁, a₂) + a₃u¹ (a₁, a₂)

u° - вектор перемещений точек, лежащих на S

В координатной форме соответственно:

 

u₁ =  (a₁, a₂) + a₃  (a₁, a₂)

u₂ =  (a₁, a₂) + a₃  (a₁, a₂)

u₃ =  (a₁, a₂)

 

При этом компоненты вектора перемещений u₁ и u₂ линейным образом зависят от координаты a_3, а функция поперечного прогиба постоянна по толщине в силу недеформируемости нормали.

Рассмотрим детальнее геометрическую гипотезу Кирхгоффа-Лява. Тот факт, что нормаль к срединной поверхности S в процессе деформирования остается нормалью приводит к соотношениям:

 

e₁₃ = 0, e₂₃ = 0

 

Таким образом

 

u_3,1/A₁ + u_1,3 - u₁k₁ = 0

/A₁ +  - (  + a₃ ) k₁ = 0

 (1 - a₃k₁) - k₁ + /A₁ = 0

 

считая оболочку достаточно тонкой, пренебрегаем членом a₃k₁ << 1

 

 (a₁, a₂) = - /A₁ + k₁

   (a₁, a₂) = - /A₂ + k₂

w₁₂ = - u_3,1/A₁ + u₁k₁ = - /A₁ + k₁ + a₃k₁ =

= - /A₁ + k₁ + a₃k₁ (- /A₁ + k₁) =

= (- /A₁ + k₁) (1 + a₃k₁) =  (1 + a₃k₁) » =

= - /A₁ + k₁ = q₁ (a₁, a₂) - угол поворота на поверхности S.

 

Аналогично:

 

w₂₁ = u_3,2/A₂ - u₂k₂ » = /A₂ - k₂ = -  = - q₂ (a₁, a₂)

 

Обозначим:  = u;  = v; = w тогда можно записать:

 

u₁ = u + a₃q₁, u₂ = v + a₃q₂, u₃ = w

 

Введем в рассмотрение плоский вектор перемещений и поворотов:

u = ue₁ + ve₂

q = q₁e₁ + q₂e₂

 

Тензор кривизны в главных осях можно представить в виде:

 

= k₁e₁e₁ + k₂e₂e₂; k_i = 1/R_i

 

Окончательно кинематические соотношения, соответствующие теории Кирхгоффа-Лява запишутся в виде:

 

q = -Ñw + × u Ñ = e_s (1/A_s) (¶/¶s) (s = 1,2)

u (a₁, a₂, a₃) = u₁e₁ + u₂e₂ = u (a₁, a₂) + a₃q (a₁, a₂)

u₃ = w (a₁, a₂)

 

С учетом проведенных выкладок для компонентов тензора деформаций имеем:

 

e₁₁ = e₁₁ + 0,5  =  + a₃

= /A₁ + A_1,1 / (A₁A₂)  + k₁ + 0,5

= q_1,1/A₁ + A_1,1 / (A₁A₂) q₂ (w₁₂ = q₁)

e₂₂ = e₂₂ + 0,5

= /A₂ + A_2,1 / (A₁A₂)  + k₂ + 0,5

= q_2,2/A₂ + A_2,1 / (A₁A₂) q₁

e₁₂= e₁₂ - 0,5w₁₂w₂₁ = e₁₂ + 0,5q₁q₂ =  (w₂₁ = -q₂)

 = 0,5 [ (A₂/A₁) ( /A₂),₁ + (A₁/A₂) ( /A₁),₂] + 0,5q₁q₂

 = 0,5 [ (A₂/A₁) (q₂ /A₂),₁ + (A₁/A₂) (q₁/A₁),₂]

 

Введем в рассмотрение плоский тензор деформаций

 

= e₁₁e₁e₁ + e₁₂ (e₁e₂ + e₂e₁) + e₂₂e₂e₂

 

Он может быть записан в другой форме:

 

 = + a₃ , где

 = e₁e₁ +  (e₁e₂ + e₂e₁) + e₂e₂ (b = 0,1)

 

Таким образом использование геометрической гипотезы Кирхгоффа-Лява приводит к линейному распределению перемещений и деформаций по толщине оболочки. В компактной форме можно записать:

 

= 0,5 (Ñu+ Ñu^T) + w + 0,5qq

= 0,5 (Ñq + Ñq^T)

 

 характеризует деформации растяжения-сжатия срединной поверхности S,  - изменение кривизн и кручение срединной поверхности.

Список обозначений

 

a₁, a₂ - криволинейные ортогональные координаты срединной поверхности S_o оболочки на линиях главных кривизн; для оболочки вращения a₁ ─ продольная, a₂-окружная координаты; z ─ координата по нормали  к S;

А₁, А₂ -коэффициенты Лямэ; k₁, k₂ -главные кривизны;

U, V, W - компоненты вектора перемещений произвольной точки оболочки;

u, v, w - компоненты вектора перемещений точек поверхности S_o;

q ₁, q₂ - углы поворота нормали ;

e_jk - компоненты тензора деформаций;

E₁₁, E₂₂, E₁₂ - компоненты тангенциальной деформации на S: растяжения-сжатия по направлениям координат a₁ и a₂ и сдвиг;

K₁₁, K₂₂, K₁₂ - компоненты изгибной деформации: изменения главных кривизн и кручение;

T₁₁, T₂₂, S - тангенциальные внутренние усилия, приведенные к S_o: усилия растяжения-сжатия и сдвига;

M₁₁, M₂₂, H - изгибающие и крутящий моменты;

Q₁₁, Q₂₂ - перерезывающие силы;

q₁, q₂, q₃ - компоненты внешней поверхностной нагрузки, приведенные к S;

E, n - модуль Юнга и коэффициенты Пуассона материала оболочки;

y_j -унифицированные обозначения основных независимых переменных в разрешающих системах обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ);

f_j - операторы правых частей канонических систем ОДУ;

Рассмотрим элемент произвольной тонкой оболочки, пусть в дальнейшем

h - толщина оболочки, принимаемая в дальнейшем постоянной.

Обозначим через R₁, R₂- главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки S. R=min {R₁, R₂}.

Основным геометрическим параметром оболочки является параметр тонкостенности или относительная толщина, определяемый отношением e=h/R.

Принята достаточно условная классификация оболочек по ее толщине на тонкие, средней длины и толстые оболочки.

Будем считать оболочку тонкой, если ее относительная толщина значительно меньше единицы. Обычно оболочки считают тонкими при значении e<1/20. Значения 1/20 < e < 1/10 соответствуют оболочке средней толщины, а e > 1/10 - толстой оболочке.

Для незамкнутых оболочек можно задать характерный размер размер a. Тогда параметр тонкостенности можно определить как e = min (h/a, h/R).

Поверхность оболочки S, равноотстоящая от лицевых поверхностей S₊ и S _- называется ее срединной поверхностью.

Криволинейные, ортогональные системы координат

 

Правило дифференцирования базисных векторов криволинейной ортогональной системы координат определяется следующим образом:

e_s,t = - (H_t,s /H_s) e_t - d_stÑH_t

Ñ = e_m (…),_m / H_m

 

Здесь H_{m -} параметры Ляме координатной системы, имеющие вид

= (r_{, i}) ²; Hi = ½ r_{, i} ½ .

Здесь r_{, I -} радиус - вектор произвольной точки тела оболочки. В частности:

 

e_1,1 = (H_1,1/H₁) e₁ - (H_1,1/H₁) e₁ - (H_1,2/H₂) e₂ - (H_1,3/H₃) e₃

e_1,2 = (H_2,1/H₁) e₂; e_3,2 = (H_2,3/H₃) e₂; H_i (a₁, a₂, a₃)

 

Запишем условие совместности, которое в принятых обозначениях имеет вид:

 

(e_1,1),₂ = (e_1,2),₁

₍e_1,2),₁ = ( (H_2,1/H₁) e₂),₁ = (H_2,1/H₁),₁ e₂ + (H_2,1/H₁) (H_1,2/H₂) e₁;

(e_1,1),₂ = - [ (H_1,2/H₂) e₂ + (H_1,3/H₃) e₃],₂ =

= - (H_1,2/H₂),₂ e₂ + (H_1,2/H₂) ( (H_2,1/H₁) e₁+ (H_2,3/H₃) e₃) -

(H_1,3/H₃),₂ e₃ - (H_1,3/H₃) (H_2,3/H₃) e₂

 

Тогда, приравнивая коэффициенты при базисных векторах, получим:

 

e₁: (H_2,1H_1,2) / (H₁H₂) - (H_2,1H_1,2) / (H₁H₂) º 0 - тождество

e₂: (H_2,1/H₁),₁ + (H_1,2/H₂),₂ + (H_1,3 × H_2,3) /  = 0

e₃: (H_1,2 × H_2,3) / (H₂H₃) - (H_1,3/H₃),₂ = 0

 

Круговая перестановка индексов приводит к шести уравнениям совместности параметров Ляме.