Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

 

а) Рассмотрим удлинения

dr - в отсчетной конфигурации, dR - в текущей конфигурации

 

dR = dr × ; R ( = e_k (…),_k / H_k)

R = r + u

 (r + u) = r + u = u

 

Рассмотрим относительное удлинение

 

(½dR½-½dr½) /½dr½ = e; ½dR½ = dS; ½dr½ = ds;

dS² - ds² = dR × dR - dr × dr = dr × × dr × - dr × dr =

= dr × × × dr - dr × × dr = dr ( × - × ) × dr =

= 2dr × × dr; = 0,5 ( ×  - ) - тензор деформаций Грина

 = 0,5 [ (  + u) (  + u^T) - ] = 0,5 ( u + u^T + u × u^T)

dr = e ds ® e = dr /½dr½ - единичный вектор

dS² - ds² = 2ds² e×e^G × e

(dS² - ds²) /ds²= (dS/ds) ² - 1 = 2e×e^G×e

dS/ds = (1 + 2e×e^G×e) ^1/2;

e_e = (dS - ds) /ds = (1 + 2e×e^G×e) ^1/2 - 1 - удлинение

Пусть e = e₁; = (1+2 ) ^1/2 - 1 = 1 + + … - 1 =  » e₁₁

e = 0,5 (Ñu +Ñu^T) - линейный тензор деформаций Коши.

 

Деформации сдвига

 

Выделим два прямолинейных волокна, направление которых определяется единичными векторами m₁ и m₂

 

dr₁ = m₁ds₁; dr₂ = m₂ds₂;

 

ds_i = ½dr_i½ - длины элементов волокон до деформаций

Деформации сдвига характеризуется изменением угла q₁₂

 

cos q₁₂ - cos Q₁₂ = (dr₁× dr₂) / (ds₁× ds₂) - (dR₁× dR₂) / (dS₁× dS₂) =

= m₁ × m₂ - [ (dr₁× × dr₂) / ds₁ (1+e_m1) ds₂ (1+e_m2)] =

= m₁ × m₂ - m₁× × m₂ = m₁× (  - ) × m₂ = - 2m₁× × m₂;

Пусть m₁ = e₁; m₂ = e₂; m₁ × m₂ = 0

cos q₁₂ = 0 0 - cos Q₁₂ = -2

cos Q₁₂ = cos (p/2 - g₁₂) = 2  = sin g₁₂ = g₁₂

 

g₁₂ - угол сдвига; g₁₂ » e₁₂, если g₁₂ - небольшой

 

Повороты

 

Рассмотрим материальное волокно dr = e ds

w = (dr ´ dR) / (½dr½×½dR½) - вектор поворота материального волокна

½w½= sin j

w - нормаль, относительно которой происходит поворот

w = (dr ´ (dr × )) / (ds×ds (1 + e_e)) = e ´ (e× ) =

= e ´ [e × ( u)] = e ´ e + e ´ (e × u) = e ´ (e × u)

 

Пусть e = e_t - базисные вектора t = 1,2,3

w_t - вектор поворота материального волокна t

 

w_t = e_t ´ (e_t × u) = e_t ´ (e_t × u_kj e_k e_j) =

u = u_kj e_k e_j = e_t ´ (u_kj d_tk e_j) = e_t ´ u_tj e_j =

= u_tj '_tjk e_k = w_tk e_k = w_t, где w_tk = u_tj '_tjk

 

'_tjk - символы Леви-Чивита, которые определяются:

СЛЧ = 0, если среди r,s,t есть одинаковые

=+1, если индексы r,s,t - различные ® 123, 231, 312

= -1, если этот порядок нарушается

'_rst = e_r × (e_s ´ e_t)

w_tk характеризует поворот орта t относительно орта k.

Введем тензор второго ранга = w_tk e_t e_k - тензор поворота

 

w₁₁ = 0; w₁₂ = u_1j '_1j2 = - u₁₃; w₁₃ = u_1j '_1j3 = u₁₂

w₂₁ = u_2j '_2j1 = u₂₃; w₂₂ = 0; w₂₃ = - u₂₁

w₃₁ = u_3j '_3j1 = - u₃₂; w₃₂ = u_3j '_3j2 = u₃₁;

w₃₃ = 0;

 

Определим компоненты градиента вектора перемещений в специальной системе координат:

 

( = e_{s (}…),_s / H_s; H_i = A_{i (}1 + a₃k_i) i = 1,2 H₃ = 1

 

“o” - в дальнейшем опускаем

 

Ñu = e_s (u₁e₁ + u₂e₂ + u₃e₃),_s / H_s = e_{1 (}u_1,1/H₁) e₁ + e_{1 (}e_1,1 /H₁) u₁ + e_{2 (}u_1,2/H₂) e₁ +

+ e_{2 (}e_1,2 /H_{2 )} u₁ + e_{3 (}u_1,3/H₃) e₁ + e_{3 (}e_1,3 /H₃) u₁ + e_{1 (}u_2,1/H₁) e₂ + e_{1 (}e_2,1 /H₁) u₂ +

+ e_{2 (}u_2,2/H₂) e₂ + e_{2 (}e_2,2 /H₂) u₂ + e_{3 (}u_2,3/H₃) e₂ + e_{3 (}e_2,3 /H₃) u₂ + e_{1 (}u_3,1/H₁) e₃ +

+ e_{1 (}e_3,1 /H₁) u₃ + e_{2 (}u_3,2/H₂) e₃ + e_{2 (}e_3,2 /H₂) u₃ + e_{3 (}u_3,3/H₃) e₃

 

После подстановки выражений e_k,j (j,k = 1,2,3)

 

H_i = A_i (1 + a₃k_i) i = 1,2; H₃ = 1

 

h/2 £ a₃ £ h/2; учитывая, что h/R_i " 1, т.е. оболочка тонкая, получим:

 

u₁₁ = u_1,1/A₁ + (A_1,2 / (A₁A₂)) u₂ + u₃k₁

u₁₂ = u_2,1/A₁ - (A_1,2 / (A₁A₂)) u₁

u₁₃ = u_3,1/A₁ - u₁k₁

u₂₁ = u_1,2/A₂ - (A_2,1 / (A₁A₂)) u₂

u₂₂ = u_2,2/A₂ + (A_2,1 / (A₁A₂)) u₁ + u₃k₂

u₂₃ = u_3,2/A₂ - u₂k₂

u₃₁ = u_1,3 u₃₂ = u_2,3 u₃₃ = u_3,3

 = 0,5 (Ñu + Ñu^T) Þ e_ii = u_ii

 

Для удлинений имеем:

 

e₁₁ = u₁₁; e₂₂ = u₂₂; e₃₃ = u₃₃;

 

Для деформаций сдвига соответственно:

 

e₁₂ = 0,5 (u₁₂ + u₂₁) = 0,5 [ (A₂/A₁) (u₂/A₂),₁ + (A₁/A₂) (u₁/A₁),₂]

e₁₃ = 0,5 (u₁₃ + u₃₁) = 0,5 (u_3,1/A₁ + u_1,3 - u₁k₁)

e₂₃ = 0,5 (u₂₃ + u₃₂) = 0,5 (u_3,2/A₂ + u_2,3 - u₂k₂)

 

Углы поворота определяются через перемещения следующим образом: w_ii = 0

 

w₁₂ = - u₁₃ = - u_3,1/A₁ + u₁k₁

w₂₁ = u₂₃ = u_3,2/A₂ - u₂k₂; w₁₃ = u₁₂

w₂₃ = - u₂₁ w₃₁ = - u₃₂ = - u_2,3; w₃₂ = u₃₁ = u_1,3.