Рассмотрим полевой транзистор со структурой МДП, конфигурация и зонная диаграмма которого приведены на рис. 1.8. Координата z направлена вглубь полупроводника, y - вдоль по длине канала и х - по ширине канала.

Получим вольт-амперную характеристику такого транзистора при следующих предположениях:

1. Токи через р-n-переходы истока, стока и подзатворный диэлектрик равны нулю.

2. Подвижность электронов μ_n постоянна по глубине и длине L инверсионного канала и не зависит от напряжения на затворе V_GS и на стоке V_DS.

3. Канал плавный, то есть в области канала нормальная составляющая электрического поля E_z существенно больше тангенциальной Е_у [15].

Рисунок 1.8 - Схема МДП-транзистора для расчета токов в области плавного канала и зонная диаграмма в равновесных условиях

Ток в канале МДП-транзистора, изготовленного на подложке р-типа, обусловлен свободными электронами, концентрация которых n(z). Электрическое поле Е_у обусловлено напряжением между истоком и стоком V_DS. Согласно закону Ома, плотность тока [5].:

                  (1.2)

где q - заряд электрона, μ_n - подвижность электронов в канале, V- падение напряжения от истока до точки канала с координатами (x, y, z).

Проинтегрируем (1.2) по ширине x и глубине z канала. Тогда интеграл в левой части (1.2) дает нам полный ток канала I_DS, а для правой части получим:

                (1.3)

Величина  есть полный заряд электронов в канале на единицу площади:

Тогда:

                         (1.4)

Найдем величину заряда электронов Q_n. Для этого запишем уравнение электронейтральности для зарядов в МДП-транзисторе на единицу площади в виде [3]:

Q_m= Q_ox + Q_n+ Q_B.                               (1.5)

Согласно (1.5), заряд на металлическом электроде Q_m уравновешивается суммой зарядов свободных электронов Q_n и ионизованных акцепторов Q_B в полупроводнике и встроенного заряда в окисле Q_ox. [10].

Рисунок 1.9 - Расположение зарядов в МДП-транзисторе.

На рис. 1.9 приведена схема расположения этих зарядов. Из определения геометрической емкости окисла С_ox следует, что полный заряд на металлической обкладке МДП-конденсатора Q_m равен:

Q_m=C_ox·V_ox,                                          (1.6)

где V_ox - падение напряжения на окисном слое, С_ox - удельная емкость подзатворного диэлектрика.

Поскольку падение напряжения в окисле равно V_ox, в полупроводнике равно поверхностному потенциалу ψs, а полное приложенное к затвору напряжение V_GS, то:

V_GS-Δφ_ms= Vox + ψs= Vox + ψs0+ V(y),      (1.7)

где Δφ_ms - разность работ выхода металл - полупроводник, ψ_s0 - величина поверхностного потенциала в равновесных условиях, т. е. при напряжении стока V_DS = 0.

Из (1.5) - (1.7) следует:

Q_n=Q_m- Q_ox-Q_B= C_ox[V_GS-Δφ_ms-ψ_s0 + V(y)] - Q_ox- Q_B (1.8)

Поскольку в области сильной инверсии при значительном изменении напряжения на затворе V_GS величина поверхностного потенциала меняется слабо, будем в дальнейшем считать ее постоянной и равной потенциалу начала области сильной инверсии ψ_s0 = 2φ₀. Поэтому будем также считать, что заряд акцепторов Q_B не зависит от поверхностного потенциала. Введем пороговое напряжение V_Т как напряжение на затворе V_GS, соответствующее открытию канала в равновесных условиях: V_t≡V_gs(ψ_s = 2φ₀, V_DS = 0).

При этом Q_n(V_DS = 0) = 0.

Из (1.8) следует, что [5]:

         (1.9)

Тогда с учетом (6.8):

Q_n=C[V_GS-V_T -V(y)].                            (1.10)

Подставляя (1.10) в (1.4), разделяя переменные и проведя интегрирование вдоль канала при изменении y от 0 до L, а V(y) от 0 до V_DS, получаем:

      (1.11)

Уравнение (1.11) описывает вольт-амперную характеристику полевого транзистора в области плавного канала.