ex, x0=0
,x Î (0,x),
если x>0 или x Î (x,0) в случае x <0.
Например, при |x|<1, |Rn (x) | £
sin x, x0=0
Вспомогательная формула:
sin x = =
, x ®0,
выберем m=2n+2, тогда
sin x= , x ®0,
откуда, с учетом равенства f (2n+2) (0) =0, получаем разложение для синуса
sin x= , x ®0
В формуле Тейлора с остатком Лагранжа
sin x = , x Î (0,x) (или x Î (x,0)).
Действительно,
sin x =
=
=
=
.
Откуда следует, что
cos x, x0=0
Вспомогательная формула:
=
, x ®0,
выберем m=2n+1, тогда
cos x= , x ®0,
откуда, с учетом равенства f (2n+1) (0) =0, получаем разложение для косинуса
cos x= , x ®0
В формуле Тейлора с остатком Лагранжа
cos x = , x Î (0,x) (или x Î (x,0)).
Действительно,
cos x =
=
=
=
.
Откуда следует, что
ln (1+x), x0=0
, x ®0
(1+x) a, x0=0,
интерес представляет случай, когда a не является натуральным числом.
f ¢= a (1+x) a-1,…,f (k) = a ( a - 1) … ( a - k+1) (1+x) a - k
, x ®0
Важный частный случай
=
=
.
Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов
Из формул Тейлора следуют известные "равносильности при "; например,
Пример 1.
Пример 2.
.
Пример 3. Разложить функцию f (x) = по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x5 включительно.
. Для решения задачи возьмем разложения функции
e2x = 1+2x+ +
+
+
+o (x5),
= (1+2x+
+
+
+
+o (x5)) (
) =
1+2x+ x2+
x3+
x4+
x5+o (x5) =
1+2 x+ x2 x3
x4
x5+ o ( x5).
Пример 4. Разложить функцию f (x) =1/cos x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x5 включительно. Представим функцию в виде
=1+u+u2+u3+o (u3), где u =
.
Тогда
=1+u+u2+u3+o (u3) =1+
+
+
+
.
При вычислении степеней
нас интересуют только слагаемые степеней не выше x5, более высокие степени войдут в o (x5). Таким образом,
=
,
=
,
=
.
Выражение
=
показывает, что в разложении
=1+u+u2+u3+o (u3)
можно, с самого начала, ограничится второй степенью
=1+u+u2+o (x5).
Подставляя нужные выражения в это равенство получим
=1+
+
+
=1+
+
+
.
Пример 5. Используя разложение из предыдущего примера, разложить функцию f (x) =tg x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x6 включительно.
tg x= =
=
x+x2 (0) +x3 +x4 (0) +x5
+x6 (0) =
=
Пример 6. Разложить функцию f (x) = (1+x) a - (1 - x) a по формуле Тейлора с остатком Пиано.
k = 2l+1,
Таким образом,
Следствие.
Пример 7. Используя следствие из предыдущего примера, найти предел (1401)
.
Имеем:
=|x|
=
sign x +o (
).
Пример 8. Разложить функцию
f (x) =
по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x4 включительно.
Сначала выпишем разложение функции по степеням x до x3 включительно.
Положим u=x - x2, тогда
=
=1+ u+ u2+ u3+ o ( u3) =1+ x - x2+ ( x - x2) 2+ ( x - x2) 3+ o ( x3) =1+ x - x3 + o ( x3).
Далее,
=
=1+2 x (1+ x - x3 + o ( x3)) =1+2 x+2 x2-2 x4+ o ( x4).
Второй способ. Так как
,
то на первом шаге выделяем единицу:
=
.
Второе слагаемое представляем в виде Cxng2 (x) так, чтобы , после чего следует представить функцию g2 (x) в виде g2 (x) = 1+g3 (x) и т.д. В нашем случае:
=
=
=
=
=
=1+2x+
=
1+2x+2x2 =1+2x+2x2-2x4+o (x4).
Дата: 2019-04-23, просмотров: 222.