Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

e^x, x₀=0

,x Î (0,x),

если x>0 или x Î (x,0) в случае x <0.

Например, при |x|<1, |R_n (x) | £

sin x, x₀=0

Вспомогательная формула:

 

sin x = = , x ®0,

выберем m=2n+2, тогда

 

sin x= , x ®0,

откуда, с учетом равенства f ^{(2n+2) (}0) =0, получаем разложение для синуса

 

sin x= , x ®0

 

В формуле Тейлора с остатком Лагранжа

sin x = , x Î (0,x) (или x Î (x,0)).

Действительно,

 

sin x =

= = = .

 

Откуда следует, что

cos x, x₀=0

 

Вспомогательная формула:

 

= , x ®0,

выберем m=2n+1, тогда

 

cos x= , x ®0,

откуда, с учетом равенства f ^{(2n+1) (}0) =0, получаем разложение для косинуса

cos x= , x ®0

 

В формуле Тейлора с остатком Лагранжа

 

cos x = , x Î (0,x) (или x Î (x,0)).

Действительно,

 

cos x =

= = = .

 

Откуда следует, что

ln (1+x), x₀=0

, x ®0

(1+x) ^a, x₀=0,

интерес представляет случай, когда a не является натуральным числом.

f ¢= a (1+x) ^a-1,…,f ^(k) = a ( a - 1) … ( a - k+1) (1+x) ^{a - k}

, x ®0

 

Важный частный случай

 

= = .

Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов

 

Из формул Тейлора следуют известные "равносильности при "; например,

 

 

Пример 1.

 

 

Пример 2.

 

.

 

Пример 3. Разложить функцию f (x) =  по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x⁵ включительно.

. Для решения задачи возьмем разложения функции

 

e^2x = 1+2x+ + + + +o (x⁵),

= (1+2x+ + + + +o (x⁵)) ( ) =

1+2x+ x²+ x³+ x⁴+ x⁵+o (x⁵) =

1+2 x+ x² x³ x⁴ x⁵+ o ( x⁵).

Пример 4. Разложить функцию f (x) =1/cos x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x⁵ включительно. Представим функцию в виде

 

=1+u+u²+u³+o (u³), где u = .

 

Тогда

 

=1+u+u²+u³+o (u³) =1+ + + + .

 

При вычислении степеней

 

 

 

нас интересуют только слагаемые степеней не выше x⁵, более высокие степени войдут в o (x⁵). Таким образом,

 

= , = , = .

 

Выражение

=  

 

показывает, что в разложении

 

=1+u+u²+u³+o (u³)

можно, с самого начала, ограничится второй степенью

 

=1+u+u²+o (x⁵).

Подставляя нужные выражения в это равенство получим

 

=1+ + + =1+ + + .

 

Пример 5. Используя разложение из предыдущего примера, разложить функцию f (x) =tg x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x⁶ включительно.

 

tg x= =

=

x+x² (0) +x³ +x⁴ (0) +x⁵ +x⁶ (0) =

=

Пример 6. Разложить функцию f (x) = (1+x) ^a - (1 - x) ^a по формуле Тейлора с остатком Пиано.

 

k = 2l+1,

 

Таким образом,

 

Следствие.

 

Пример 7. Используя следствие из предыдущего примера, найти предел (1401)

 

.

 

Имеем:

 

=|x| =  sign x +o ( ).

 

Пример 8. Разложить функцию

 

f (x) =  

 

по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x⁴ включительно.

Сначала выпишем разложение функции  по степеням x до x³ включительно.

Положим u=x - x², тогда

 

= =1+ u+ u²+ u³+ o ( u³) =1+ x - x²+ ( x - x²) ²+ ( x - x²) ³+ o ( x³) =1+ x - x³ + o ( x³).

Далее,

 

= =1+2 x (1+ x - x³ + o ( x³)) =1+2 x+2 x²-2 x⁴+ o ( x⁴).

 

Второй способ. Так как

 

,

то на первом шаге выделяем единицу:

 

= .

Второе слагаемое представляем в виде Cxⁿg₂ (x) так, чтобы , после чего следует представить функцию g₂ (x) в виде g₂ (x) = 1+g₃ (x) и т.д. В нашем случае:

= = = =

= =1+2x+ =

1+2x+2x² =1+2x+2x²-2x⁴+o (x⁴).