Розглянемо лінійний диференційний оператор 2-го порядку

,

де A_ij, B_i и C є двічі диференцюємими функціями x₁,x₂,…,x_n.

Назвем оператор

спряженим з оператором Lu.

Якщо оператор L співпадає з спряженим йому оператором M, то такий оператор називають самоспряженим.

Розглянемо різницю

.

При отриманні цього виразу ми додали суму

,

але вона дорівнює нулю, так що значення виразу не змінилося.

Одже, вираз vLu – uMv являє собою суму частинних похідних по x_i від деяких виразів P_i, тобто

,

де

.

Розглянемо тепер деякий n-мірний об’єм W, який обмежений кусочно-гладкою поверхнею S.

Користуючись формулою Остроградського-Гауса (3.2), будемо мати

,            (5.1)

де cos(nx₁), cos(nx₂),… - направляючі косінуси внутрешньої нормалі до S.

Формула (5.1) носить назву формули Гріна.

Розглянемо рівняння (1.1). Оператори Lu, Mv, а також функції P₁ та P₂ будуть мати вигляд:

При цьому формула Гріна дає (нормаль внутрішня)

   (5.2)

Побудова розв’язку.

Будувати розв’язок будемо методом Рімана, який полягає на використовуванні формули Гріна та дає рішення задачі (1.1) через граничні умови (1.2).

Нехай нам потрібно знайти значення функції u у деякій точці М області (x > x₀, t > t₀ ) з координатами (x₁, t₁).

Проведемо через точку М (рис. 2) з координатами (x₁, t₁) дві прямі, які паралельні координатним осям. Нехай точка P(x₀, t₁) – це точка перети-ну прямих x = x₀ та t = t₁, а точка  Q(x₁, t₀) – точка перетину прямих

x = x₁ та t = t₀. Прямі х = х₀, х = х₁, t = t₀, t = t₁ як було показано раніше, є характеристиками рівняння (1.1). Область W буде являти собою прямокутник MPRQ. У цій області ми можемо застосувати метод Рімана для знаходження розв’язку.

Якщо враховувати, що обіг області W відбувається проти годинни-кової стрілки, так що обігаєма площа завжди залишається зліва, формулу (5.2) можна записати у вигляді

    (5.2’)

З рисунку 2 бачимо, що при цьому

dx = cos(nt)dS,

dt = - cos(nx)dS.

За умови u(x₀, t) = j(t) отримуємо:

= 0; = j’(t).

За умови u(x, t₀) = y(x), отримуємо:

= 0; = y’(x).

Рис. 2

Якщо застосувати формулу (5.2’) до прямокутника MPRQ, враховуючи, що на характеристиках QM та PR змінюється лише t, а на характерис-тиках MP та RQ змінюється лише x ,будемо мати:

(6.1)

Перетворимо кожен з інтегралів, який стоїть у правій частині (6.1):

(6.2.1)

(6.2.2)

(6.2.3)

(6.2.4)

Нехай тепер v(x, t, x₁, t₁) – деяка функція, яка задовільнює умовам:

Mv = 0,                                                 (6.4)

, .

При цьому

v(x₁, t₁, x₁, t₁) = 1,

       (6.5)

Розв’язок v(x, t, x₁, t₁) однорідного спряженого рівняння (6.4), який задовільнює умовам (6.5), називається функцією Рімана. Ця функція не залежить від початкових даних (1.2), та для неї точка (x, t) грає роль аргументу, а точка (x₁, t₁) – роль параметру. Існування та єдиність такої функції v було доказано методом послідовних наближень.

Оскільки на прямій MP t = t₁, а на прямій QM x = x₁, то останні члени у формулах (6.2.1) та (6.2.2) обертаються в нуль, і ми отримаємо:

.

Формулу (6.1) тепер можна записати у вигляді:

Приводячи подібні, та враховуючи, що v(x₁, t₁, x₁, t₁) = 1, u(x₀,t) = j(t), u(x, t₀) = y(x) та ; = y’(x), маємо:

Звідки знаходимо розв’язок нашої задачі

            (6.6)

Як ми бачимо, формула (6.6) дозволяє у явному вигляді написати розв’язок данної задачі, оскільки точку М(x₁, t₁) ми вибрали довільно.