Нехай P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) – три функциї змінних x, y, z, які задані у області D’ и мають в ній неперервні похідні першого порядку по x, по y та по z.

Розглянемо у D’ деяку замкнену поверхню S, яка складається з скінченного числа кусків з неперервно змінюючеюся на них дотичною площиною.

Таку поверхню називають кусочно-гладкою. Ми будемо, крім того, вважати, що прямі, паралельні координатним осям, зустрічають її або у скінченному числі точок, або мають загальним цілий відрізок.

Розглянемо інтеграл

,                  (3.1)

де через cos(nx), cos(ny), cos(nz) обозначені косінуси кутов, які складені внутрішньою нормаллю до поверхні S з осями координат, а dS – додатній елемент поверхні. користуючись векторними позначеннями, ми можемо вважати P, Q, R компонентами деякого вектора, який позначимо літерою Т. Тоді

P cos(nx) + Q cos(ny) + Rcos(nz) = T_n,

де T_n – проєкція вектора Т на напрям внутрішньої нормалі.

Класична теорема з інтегрального счислення дозволяє перейти від поверхневого інтегралу (3.1) до об’ємного, расповсюдженого на область D, обмежену гладкою поверхнею S (яка задовольняє всім обмеженням, які було наведено вище). Ми будемо мати:

або у векторних позначеннях

                                (3.2)

где dv означає диференціал об’єму, а

.

Приведена нами формула справедлива у більш загальних припущеннях відносно S. Зокрема, формула (3.2) має місце для будь-якій кусочно – гладкої поверхні S, яка обмежує деяку область D.

Існування та єдиність розв’язку

Задачі Гурса.

Розглянемо найпростішу задачу з даними на характеристиках

                                    (4.1)

Додаткові умови даються на прямих x = 0 та t = 0, які, як було доведено вище, є характеристиками рівняння (4.1). Будемо вважати, що функції j(x) та y(t) диференцюємі та задовольняють умові спряжіння j(0) = y(0). Інтегруючи послідовно по x та по t рівняння (4.1), отримуємо:

або

               (4.2)

Таким чином, для найпростішого рівняння, яке не містить перших похідних  та шукаємої функції, розв’язок представляється у явному аналітичному вигляді (4.2). З формули (4.2) безпосередньо слідує єдиність та існування розв’язку поставленої задачі.

Перейдемо до розв’язку лінійного рівняння гіперболічного типу

         (4.3)

при додаткових умовах на характеристиках x = 0, t = 0

u(x, 0) = j(x),

u(0, t) = y(t),                                         (4.4)

де j(x) та y(t) задовільнюють вимогам диференцюємості та спряження. Коефіцієнти a, b та c будемо вважати неперервними функціями x та t.

Формула (4.3) показує, що функція u(x, t) задовільнює інтегро-диференційному рівнянню

        (4.5)

Для доведення існування та єдиності розв’язку рівняння (4.5) скористаємось методом послідовних наближень. Виберемо в якості нульового наближення функцію

u(x, t) = 0.

Тоді (4.5) дає для послідовних наближень слідуючі вирази:

            (4.6)

Зауважимо, що

(4.7)

Доведемо рівномірну збіжність послідовностей

{u_n(x, t)}, , .

Для цього розглянемо різниці

Нехай М – верхня межа абсолютних величин коефіцієнтів a(x, t),

b(x, t), c(x, t) та H – верхня межа абсолютних величин z₀ = u₁(x, t) та її похідних

|z₀| < H,

при зміні x та t всередині деякого квадрату (0 £ x £ L, 0 £ t £ L). Побудуємо мажорантні оцінки для функцій  Очевидно, що

Припустимо, що мають місце рекурентні оцінки

де К > 0 – деяке стале число, значення якого наведемо нижче. Користуючись ціми оцінками та формулою для (n+1)-го наближення після деяких спрощінь, які посилюють нерівність, маємо:

де

K = L + 2.

В правих частинах цих нерівностей з точністю до множників пропорційності стоять загальні члени розкладання функції е^2KLM. Ці оцінки показують, що послідовності функцій

збігаються рівномірно до граничних функцій, котрі ми зазначимо

Переходячи до границі під знаком інтегралу у формулах (4.6) та (4.7), будемо мати:

Звідси випливають рівності

,

які дозволяють встановити, що функція u(x, t) задовільнює інтегро-диференційному рівнянню

              (4.5)

а також диференційному рівнянню (4.3), що перевіряється безпосереднім диференціюванням рівняння (4.5) по x та по t. Функція

 задовільнює також додатковим умовам.

Доведемо тепер єдиність розв’язку задачі (4.3)-(4.4). Припустимо існування двох розв’язків u₁(x, t) та u₂(x, t). Отримуємо для їх різниці

U(x, t) = u₁(x, t) – u₂(x, t)

однорідне інтегро-диференційне рівняння

Позначаючи далі через H₁ верхню межу абсолютних величин

, ,

для 0 £ x £ L, 0 £ t £ L та повторюючи оцінки, які було проведено для функцій z_n(x, t), переконуємось у справедливості нерівності

для будь-якого значення n. Звідси і випливає

U(x, t) º 0 або u₁(x, t) º u₂(x, t),

що і доводить єдиність розв’язку задачі Гурса.