Приведення до канонічного вигляду

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Випускна робота

Побудова розв’язку задачі Гурса

для телеграфного рівняння методом Рімана

Виконав: студент гр. МЕ-97-2 Керівник: проф. Остапенко В.О.

Коленкін О.О.

“___” _________2001.______

Допущено до захисту: Рецензент:доц. Грішин В.Б.

Завідувач кафедрою Поляков М.В.

“___” _________2001._______ “ ___” _________2001.______

Дніпропетровськ.

2001
Зміст.

Реферат................................................................................................... 4

The summary.......................................................................................... 5

Вступ....................................................................................................... 6

§1. Постановка задачі.......................................................................... 8

§2. Приведення до канонічного вигляду гіперболічного рівняння другого порядку з двома незалежними змінними. Характеристики........... 9

§3. Формула Остроградського-Гаусса............................................. 12

§4. Існування та єдиність розв’язку задачі Гурса.......................... 13

§5. Спряжені диференційні оператори............................................. 19

§6. Побудова розв’язку...................................................................... 21

§7. Деякі приклади на знаходження фунції Рімана....................... 25

Висновок.............................................................................................. 31

Список використованої літератури:................................................ 32

Реферат

Сторінок: 31, рисунків: 2, джерел: 4.

Ключеві слова: рівняння гіперболічного типу, характеристики, задача Гурса, метод послідовних наближень, спряжений оператор, формула Гріна, функція Рімана.

Мета роботи: в даній роботі необхідно ознайомитись з методом отримання розв’язку задачі Гурса для телеграфного рівняння (1.1) з початковими умовами (1.2); довести існування та єдиність цього розв’язку; навести приклади та вказати області вживання цього методу у прикладних науках.

The summary.

In the given operation some questions, concerning equations in partial derivatives of the second order with two explanatory variables of hyperbolic type are considered. The algorithm of coercion to a canonical form of these equations is shown, definition of characteristics is given. The method of construction of solution of Gourses problem for the telegraphic equation is stated. Existence and uniqueness of solution of Gourses problem is proved. Some questions concerning of conjugate differential operators, in particular, are considered is obtained the important formula (Green's formula) on which usage Rimahn’s method leans. Auxiliary function (Rimahn’s function (6.4)) is entered. The number of examples on finding of this function is given.

Вступ

У світі, який нас оточує, відбувається багато різних процесів – фізичні, хімічні, біологічні та інші. Для вивчання цих процесів будують математичні моделі. Велика кількість задач зводиться до рівнянь у частинних похідних. Великий інтерес являє собою знаходження розв’яків для систем рівнянь, які підпорядковуються тим або іншим додатковим умовам. Ці додаткові умови, як правило, являють собою задання невідомих функцій та деяких їхніх похідних на межі області, в якої шукається розв’язок, або складаються у тому, що невідомим функціям предписується той або інший характер властивості. В загальному випадку ці додаткові умови називаються граничними умовами. Задачі на відшукання розв’язків системи рівнянь у частинних похідних, підлеглих вказаним додатковим умовам, в загальному випадку називаються граничними задачами.

Прикладом граничної задачі може бути задача Гурса. Граничні задачі Гурса використовують для описання процесів сорбції, десорбції, сушки, процесів каталітичних хімічних реакцій та деяких інших процесів.

Німецьким математиком Ріманом (17.09.1826 – 30.07.1866) був пропонований важливий метод інтегрування рівняння (1.1), який базується на використанні формули Гріна (5.2). Цей метод дозволяє виразити в явному вигляді шукаємий розв’язок задачі Гурса через граничні умови (1.2).

Робота складається з вступу, заключення та семи параграфів. Зробимо коротенький огляд кожного параграфу.

В §1 цієї роботи наведена постановка задачі Гурса. На рисунку 1 показана область D, в якій необхідно знайти розв’язок цієї задачі.

§2 присвячен деяким загальним питанням рівнянь у частинних похідних. Показан алгоритм приведення до канонічного вигляду гіперболічного рівняння у частинних похідних другого порядку з двома незалежними змінними. Дано означення характеристик.

§3 є допоміжним параграфом. У ньому наведено формулу перетворення поверхневих інтегралів у об’ємні (3.2).

В §4 методом послідовних наближень доводиться існування та єдиність розв’язку задачі Гурса.

§5 торкається питання спряжених диференційних операторів. Показано, що вираз vLu – uMv, де Mv – оператор, спряжений до Lu, можна зобразити як суму частинних похідних від деякіх виразів. Отримана формула Гріна (5.2).

§6 є основним параграфом в даній роботі. У ньому викладен метод Рімана. Шляхом введеня допоміжної функції (функції Рімана (6.4)) отримано розв’язок задачі Гурса у явному вигляді.

В §7 наведено деякі приклади знаходження функції Рімана.

§ 1. Постановка задачі.

Нехай дано рівняння

(1.1)

Треба знайти розв’язок цього рівняння в області D(рис. 1)

якщо задані крайові умови

u(x₀, t) = j(t);

u(x, t₀) = y(x), (1.2)

при цьому функції j(t) та y(x) ддиференцьовані, та задовільнюють умові спряження

j(t₀) = y(x₀).

Така задача називається задачею з даними на характкристиках, або задачею Гурса.

Рис. 1

Задачі Гурса.

Розглянемо найпростішу задачу з даними на характеристиках

(4.1)

Додаткові умови даються на прямих x = 0 та t = 0, які, як було доведено вище, є характеристиками рівняння (4.1). Будемо вважати, що функції j(x) та y(t) диференцюємі та задовольняють умові спряжіння j(0) = y(0). Інтегруючи послідовно по x та по t рівняння (4.1), отримуємо:

або

(4.2)

Таким чином, для найпростішого рівняння, яке не містить перших похідних та шукаємої функції, розв’язок представляється у явному аналітичному вигляді (4.2). З формули (4.2) безпосередньо слідує єдиність та існування розв’язку поставленої задачі.

Перейдемо до розв’язку лінійного рівняння гіперболічного типу

(4.3)

при додаткових умовах на характеристиках x = 0, t = 0

u(x, 0) = j(x),

u(0, t) = y(t), (4.4)

де j(x) та y(t) задовільнюють вимогам диференцюємості та спряження. Коефіцієнти a, b та c будемо вважати неперервними функціями x та t.

Формула (4.3) показує, що функція u(x, t) задовільнює інтегро-диференційному рівнянню

(4.5)

Для доведення існування та єдиності розв’язку рівняння (4.5) скористаємось методом послідовних наближень. Виберемо в якості нульового наближення функцію

u(x, t) = 0.

Тоді (4.5) дає для послідовних наближень слідуючі вирази:

(4.6)

Зауважимо, що

(4.7)

Доведемо рівномірну збіжність послідовностей

{u_n(x, t)}, , .

Для цього розглянемо різниці

Нехай М – верхня межа абсолютних величин коефіцієнтів a(x, t),

b(x, t), c(x, t) та H – верхня межа абсолютних величин z₀ = u₁(x, t) та її похідних

|z₀| < H,

при зміні x та t всередині деякого квадрату (0 £ x £ L, 0 £ t £ L). Побудуємо мажорантні оцінки для функцій Очевидно, що

Припустимо, що мають місце рекурентні оцінки

де К > 0 – деяке стале число, значення якого наведемо нижче. Користуючись ціми оцінками та формулою для (n+1)-го наближення після деяких спрощінь, які посилюють нерівність, маємо:

де

K = L + 2.

В правих частинах цих нерівностей з точністю до множників пропорційності стоять загальні члени розкладання функції е²^KLM. Ці оцінки показують, що послідовності функцій

збігаються рівномірно до граничних функцій, котрі ми зазначимо

Переходячи до границі під знаком інтегралу у формулах (4.6) та (4.7), будемо мати:

Звідси випливають рівності

які дозволяють встановити, що функція u(x, t) задовільнює інтегро-диференційному рівнянню

(4.5)

а також диференційному рівнянню (4.3), що перевіряється безпосереднім диференціюванням рівняння (4.5) по x та по t. Функція

задовільнює також додатковим умовам.

Доведемо тепер єдиність розв’язку задачі (4.3)-(4.4). Припустимо існування двох розв’язків u₁(x, t) та u₂(x, t). Отримуємо для їх різниці

U(x, t) = u₁(x, t) – u₂(x, t)

однорідне інтегро-диференційне рівняння

Позначаючи далі через H₁ верхню межу абсолютних величин

, ,

для 0 £ x £ L, 0 £ t £ L та повторюючи оцінки, які було проведено для функцій z_n(x, t), переконуємось у справедливості нерівності

для будь-якого значення n. Звідси і випливає

U(x, t) º 0 або u₁(x, t) º u₂(x, t),

що і доводить єдиність розв’язку задачі Гурса.

Побудова розв’язку.

Будувати розв’язок будемо методом Рімана, який полягає на використовуванні формули Гріна та дає рішення задачі (1.1) через граничні умови (1.2).

Нехай нам потрібно знайти значення функції u у деякій точці М області (x > x₀, t > t₀ ) з координатами (x₁, t₁).

Проведемо через точку М (рис. 2) з координатами (x₁, t₁) дві прямі, які паралельні координатним осям. Нехай точка P(x₀, t₁) – це точка перети-ну прямих x = x₀ та t = t₁, а точка Q(x₁, t₀) – точка перетину прямих

x = x₁ та t = t₀. Прямі х = х₀, х = х₁, t = t₀, t = t₁як було показано раніше, є характеристиками рівняння (1.1). Область W буде являти собою прямокутник MPRQ. У цій області ми можемо застосувати метод Рімана для знаходження розв’язку.

Якщо враховувати, що обіг області W відбувається проти годинни-кової стрілки, так що обігаєма площа завжди залишається зліва, формулу (5.2) можна записати у вигляді

(5.2’)

З рисунку 2 бачимо, що при цьому

dx = cos(nt)dS,

dt = - cos(nx)dS.

За умови u(x₀, t) = j(t) отримуємо:

= 0; = j’(t).

За умови u(x, t₀) = y(x), отримуємо:

= 0; = y’(x).

Рис. 2

Якщо застосувати формулу (5.2’) до прямокутника MPRQ, враховуючи, що на характеристиках QM та PR змінюється лише t, а на характерис-тиках MP та RQ змінюється лише x ,будемо мати:

(6.1)

Перетворимо кожен з інтегралів, який стоїть у правій частині (6.1):

(6.2.1)

(6.2.2)

(6.2.3)

(6.2.4)

Нехай тепер v(x, t, x₁, t₁) – деяка функція, яка задовільнює умовам:

Mv = 0, (6.4)

, .

При цьому

v(x₁, t₁, x₁, t₁) = 1,

(6.5)

Розв’язок v(x, t, x₁, t₁) однорідного спряженого рівняння (6.4), який задовільнює умовам (6.5), називається функцією Рімана. Ця функція не залежить від початкових даних (1.2), та для неї точка (x, t) грає роль аргументу, а точка (x₁, t₁) – роль параметру. Існування та єдиність такої функції v було доказано методом послідовних наближень.

Оскільки на прямій MP t = t₁, а на прямій QM x = x₁, то останні члени у формулах (6.2.1) та (6.2.2) обертаються в нуль, і ми отримаємо:

Формулу (6.1) тепер можна записати у вигляді:

Приводячи подібні, та враховуючи, що v(x₁, t₁, x₁, t₁) = 1, u(x₀,t) = j(t), u(x, t₀) = y(x) та ; = y’(x), маємо:

Звідки знаходимо розв’язок нашої задачі

(6.6)

Як ми бачимо, формула (6.6) дозволяє у явному вигляді написати розв’язок данної задачі, оскільки точку М(x₁, t₁) ми вибрали довільно.

Висновок.

В даній роботі розглянуто задачу Гурса для телеграфного рівняння. Було доведено, що розв’язок цієї задачі існує та що він єдиний. Завдяки використанню метода Рімана ми отримали цей розв’язок у явному вигляді. На прикладах ми показали, що знаходження функції Рімана зводиться до розв’язання звичайних диференйійних рівнянь, таких як рівняння Бесселя або гіпергеометричного рівняння Гаусса.