Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Рассмотрим плоскость, заданную общим уравнением Ах+ By + Cz + D =0, и прямую, заданную каноническим уравнением

.

Т.к. угол j между прямой и плоскостью является дополнительным к углу x между направляющим вектором прямой (m ; n ; p) и нормальным вектором плоскости (A ; B ; C),

то из определения скалярного произведения  и равенства cosx=cos(90°-j)=sinj получим:

 

Условие параллельности прямой и плоскости

Условие параллельности прямой и плоскости эквивалентно условию перпендикулярности векторов (m ; n ; p) и (A ; B ; C), и выражается равенством нулю скалярного произведения этих векторов:

Am + Bn + Cp =0.

 

3.11.3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости эквивалентно условию параллельности векторов (m ; n ; p) и (A ; B ; C), и выражается пропорциональностью координат этих векторов:

 

Кривые второго порядка

Эллипс

 

Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости F ₁ и F ₂, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

При этом не исключается совпадение фокусов эллипса, в этом случае получаем окружность.

Пусть точка М(х,у) – некоторая точка плоскости. Обозначим через r ₁ и r ₂ расстояния от точки М до точек F ₁ и F ₂ соответственно. Согласно определению эллипса равенство:

r ₁ + r ₂ =2 a

является необходимым и достаточным условием расположения точки М(х,у) на данном эллипсе.

 

 - каноническое уравнение эллипса.

Свойства эллипса.

1) Эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу и точки О(0;0) – центра эллипса.

Точки пересечения эллипса с осями координат А₁(а;0) и А₂(-а;0), В₁(0;b) и B₂(0;- b) называются вершинами эллипса.

Отрезки А₁А₂=2а и В₁B₂=2 b называются соответственно большой и малой осями эллипса.

2) Эллипс содержится внутри прямоугольника | x | £ a, |y| £ b. В самом деле, из канонического уравнения вытекает, что . Эти неравенства эквивалентны неравенствам | x | £ a, |y| £ b.

Отношение расстояния между фокусами к длине большой оси эллипса называется эксцентриситетом эллипса:

е=с/а.

Учитывая, что b ² = a ² - c ², получим:

.

Из этой формулы видно, что эксцентриситет эллипса меньше единицы.

Чем больше эксцентриситет эллипса, тем меньше отношение  малой полуоси эллипса b к его большой полуоси а, и значит, тем более сплющенным будет эллипс.

Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек плоскости F ₁ и F ₂, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

 Точки F ₁ и F ₂ имеют координаты F ₁(c ,0) и F ₂ (- c ,0).

Пусть точка М(х,у) – некоторая точка плоскости. Обозначим через r ₁ и r ₂ расстояния от точки М до точек F ₁ и F ₂ соответственно. Согласно определению гиперболы равенство:

| r ₁ - r ₂ |=2 a

является необходимым и достаточным условием расположения точки М(х,у) на данной гиперболе.

Уравнение гиперболы в данной системе координат примет вид:

 - каноническое уравнение гиперболы,

где b ² = c ² - a ² .

Если а= b, то гипербола называется равносторонней.

Свойства гиперболы.

1) Гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу и точки О(0;0) – центра гиперболы.

2) Гипербола состоит из двух частей, называемых ветвями гиперболы.

Точки пересечения гиперболы с осью Ох А₁(а;0) и А₂(-а;0) называются вершинами гиперболы.

Отрезок А₁А₂=2а называется действительной осью гиперболы.

3) Прямые  и  называются асимптотами гиперболы (ветви гиперболы неограниченно приближаются к этим прямым).

Отношение расстояния между фокусами к длине действительной оси эллипса называется эксцентриситетом гиперболы:

е=с/а.

Учитывая, что b ² =с²-а², получим:

.

Из этой формулы видно, что эксцентриситет гиперболы больше единицы.

Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как числовую характеристику величины угла между ее асимптотами, т.к. отношение  есть тангенс половины угла между асимптотами гиперболы.

Парабола

 

Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой l, называемой директрисой.

Расстояние от фокуса F до директрисы l называется параметром параболы и обозначается через р.

Пусть ось Ох проходит через фокус F перпендикулярно директрисе, а начало координат расположено посередине между фокусом и директрисой. Тогда F(p /2;0), а уравнение директрисы х=-р\2.

у²=2рх

– каноническое уравнение параболы.

Свойства параболы.

1) Парабола симметрична относительно оси Ох (Ох - ось симметрии параболы), т.к. в каноническом уравнении параболы величина у фигурирует в четной степени.

Парабола проходит через начало координат, точка О(0;0) – вершина параболы.

Отметим, что кривая у²=2рх при р<0 также является параболой, которая располагается в левой полуплоскости.

Пример расчетно-графической работы и образец ее выполнения.

Вариант №0

 

1. Вычислить произведение матриц

.

Вычислить определитель

.

3. Найти обратную матрицу

.

4. Решить системы линейных уравнений.

а) Методом обратной матрицы.

б) Методом Крамера.

в) Методом Гаусса.

а)   б) в)

5. Написать разложение вектора  по базису :

.

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми:

.

7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и :

.

8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(1, 5), М₂(3, 3) и найти расстояние от точки Р(1,-2) до полученной прямой.

9. Найти угол между прямыми:

.

10. От общего уравнения прямой

перейти к каноническому уравнению.

11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

.

12. Найти расстояние от точки М до плоскости p:

.

13. Найти проекцию точки М на плоскость p:

.

14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически

.

 

Решение варианта №0

 

1. Вычислить произведение матриц

.

Решение:

Умножение матриц можно произвести только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. В данном случае это условие выполняется, поэтому произведение матриц можно вычислить. По правилу умножения матриц «строка на столбец» находим

Ответ: .

 

Вычислить определитель

.

Решение:

Используя свойства определителей, обратим в нуль все, кроме одного, элементы его первого столбца. Для этого произведем следующие действия: 1) к элементам 2-ой строки прибавим элементы 1-ой строки, 2) к элементам 3-ей строки прибавим элементы 1-ой строки, умноженные на 2, 3) к элементам 4-ой строки прибавим элементы 1-ой строки, умноженные на -2.

Полученный определитель разложим по элементам 1-го столбца:

Теперь полученный определитель можно разложить по 2-ой строке (т.к. она содержит два нуля):

Ответ: 87.

 

 

3. Найти обратную матрицу

.

Решение:

Обратная матрица вычисляется по формуле:

,

где |А| - определитель исходной матрицы А, |А|¹0.

- матрица алгебраических дополнений для исходной матрицы А.

Вычислим определитель исходной матрицы по правилу «треугольников», он не должен быть равен 0.

Вычислим алгебраические дополнения элементов исходной матрицы:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем ее:

, .

Подставляем полученные выражения в формулу:

.

Ответ:

 

4. Решить системы линейных уравнений.

а) Методом обратной матрицы.

б) Методом Крамера.

в) Методом Гаусса.

а)     б)     в)

Решение:

а) Метод обратной матрицы.

Решение ищется по формуле:

,

где  - матрица коэффициентов системы,

      - столбец свободных членов.

Найдем обратную матрицу для матрицы А:

,

где |А| - определитель исходной матрицы А, |А|¹0.

- матрица алгебраических дополнений для исходной матрицы А.

Вычислим определитель исходной матрицы по правилу «треугольников», он не должен быть равен 0.

Вычислим алгебраические дополнения элементов исходной матрицы:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем ее:

, .

Затем подставляем полученные выражения в формулу:

.

Теперь найдем X, вычислив произведение А^-1×В:

Таким образом, получим решение .

Ответ: .

 

б) Метод Крамера.

Если определитель системы D¹0, то решение системы можно найти по формулам Крамера:

,

где D₁, D₂, D₃ – определители, полученные путем замены соответствующего столбца на столбец свободных членов.

Вычислим определители по правилу «треугольников»:

Подставляем полученные значения в формулы Крамера, и находим решения системы:

.

Ответ: .

 

в) Метод Гаусса.

Составим расширенную матрицу коэффициентов системы:

.

Приведем её путем элементарных преобразований к трапециевидному виду: 1) к элементам 2-ой строки прибавим элементы 1-ой строки, умноженные на -2, 2) к элементам 3-ей строки прибавим элементы 1-ой строки, 3) умножим элементы 3-ей строки на -4, 4) к элементам 3-ей строки прибавим элементы 2-ой строки, умноженные на 3.

Ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы, значит, система совместна. При этом ранг матрицы коэффициентов меньше числа неизвестных, поэтому система имеет множество решений.

Три неизвестных примем за базисные (т.к. ранг матрицы коэффициентов равен 3), одна неизвестная будет свободной.

Выделим минор третьего порядка, не равный нулю:

Тогда  будут базисными переменными,  - свободной переменной.

Составим систему уравнений, соответствующую полученной матрице:

Теперь вычислим значения неизвестных.

Из третьего уравнения получаем х₃:

,

Из второго уравнения находим х₂:

, Из первого уравнения находим х₁:

,

Ответ: , , , .

 

5. Написать разложение вектора  по базису :

.

Решение:

Разложение вектора  по базису имеет вид:

,

где a и b - координаты вектора  в данном базисе.

Подставим координаты векторов в указанное равенство:

.

Получим систему уравнений для определения координат вектора :

Получаем следующее разложение по базису для вектора :

.

Ответ: .

 

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми:

.

Решение:

Векторы  являются линейно зависимыми, если их смешанное произведение равно нулю, и являются линейно независимыми, если их смешанное произведение не равно нулю.

Вычислим смешанное произведение данных векторов в координатной форме:

Таким образом, векторы   линейно независимы.

Ответ: векторы линейно независимы.

 

7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

 и : .

Решение:

Площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , численно равна модулю векторного произведения данных векторов, и вычисляется по формуле:

.

Найдем векторное произведение данных векторов, вычисляя определитель разложением по элементам 1-го столбца:

Найдем площадь искомого параллелограмма, вычислив модуль вектора :

.

Ответ: .

 

8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(1,5), М₂(3,3) и найти расстояние от точки Р(1,-2) до полученной прямой.

Решение:

Уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂), записывается в виде:

.

В данном случае имеем , подставим эти значения в уравнение:

,

,

,

,

.

Получили общее уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁(1,5), М₂(3,3).

Найдем расстояние от точки Р(1,-2) до полученной прямой.

Расстояние от точки Р(х₀,у₀) до прямой Ах+Ву+С=0 находится по формуле:

.

В данном случае . Подставляем эти значения в формулу:

.

Ответ: , .

9. Найти угол между прямыми:

.

Решение:

Угол между прямыми равен углу между их нормальными векторами.

Косинус угла между векторами можно вычислить по формуле:

,

где  - скалярное произведение векторов  и ,

      - модули векторов  и .

Если прямая задана общим уравнением Ах+Ву+С=0, то ее нормальный вектор имеет координаты . Поэтому для прямой  нормальный вектор будет иметь вид , для прямой  нормальный вектор будет иметь вид .

Найдем скалярное произведение данных векторов в координатной форме:

.

Теперь вычислим модули данных векторов:

,

.

Вычисляем косинус угла между нормальными векторами прямых:

.

Отсюда искомый угол между прямыми будет равен:

.

Ответ: .

 

 

10. От общего уравнения прямой

перейти к каноническому уравнению.

Решение:

Каноническое уравнение прямой имеет вид:

,

где  - направляющий вектор данной прямой,

      - точка, принадлежащая прямой.

Направляющий вектор прямой  – это вектор, параллельный данной прямой, поэтому он должен быть перпендикулярен нормальным векторам плоскостей, определяющих данную прямую,  и . Тогда должно выполняться соотношение:

,

где  - векторное произведение векторов  и .

Найдем по уравнениям плоскостей координаты их нормальных векторов:

.

Найдем вектор :

Поэтому вектор  имеет координаты .

В качестве точки , через которую проходит искомая прямая, можно взять точку пересечения ее с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью Oyz. Так как при этом , то координаты  этой точки определятся из системы уравнений заданных плоскостей, если в них положить :

Получаем координаты точки .

Подставляем координаты точки М и направляющего вектора  в каноническое уравнение системы:

,

.

Ответ: .

 

11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

.

Решение:

Уравнение плоскости, проходящей через точки , , , имеет вид:

.

Подставим координаты точек в уравнение:

,

.

Вычислим определитель слева разложением по элементам первой строки:

Получаем уравнение искомой плоскости:

,

.

Ответ: .

 

12. Найти расстояние от точки М до плоскости p:

.

Решение:

Расстояние от точки  до плоскости Ах+Ву+С z + D=0 вычисляется по формуле:

.

В нашем случае . Подставляем эти значения в формулу и получаем:

.

Ответ: .

 

13. Найти проекцию точки М на плоскость p:

.

Решение:

Составим уравнение прямой L, проходящей через точку M перпендикулярно плоскости p, тогда искомая проекция есть точка пересечения прямой  и плоскости p.

Из общего уравнения плоскости определим нормальный вектор , он перпендикулярен плоскости и, значит, параллелен прямой L, т.е. является направляющим вектором для прямой L: .

Уравнение прямой, проходящей через точку  и имеющей направляющий вектор  имеет вид:

.

В нашем случае для точки  и вектора  получаем:

,

.

Найдем точку пересечения прямой и плоскости. Для этого запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

Подставим полученные выражения для x, y, z в уравнение плоскости:

,

,

,

.

Подставим полученное значение t в параметрическое уравнение прямой, и, тем самым, найдем координаты точки М₁ пересечения прямой L и плоскости p, т.е. координаты проекции точки М на плоскость p:

.

Ответ: .

 

14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически

.

Решение:

Выделим в правой части уравнения полные квадраты относительно х и у:

,

,

,

,

,

.

Получили каноническое уравнение эллипса с центром в точке Q  и полуосями  и .

Построим эллипс с данными параметрами.

 

Работа выполняется в печатном виде на листах формата А4 с одной стороны листа. Правила оформления: https://narfu.ru/upload/medialibrary/1d0/Pravila_oformlenia_rabot_34_2018.pdf

Вариант определяется порядковым номером студента в журнале группы. Титульный лист распечатать с сайта САФУ. Второй лист РГР – это лист для замечаний, третий лист – лист заданий.

Вариант 1

1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису : 6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(2,-3), М₂(3, 4) и найти расстояние от точки P(0, 2) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически

 

Вариант 2

1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(1,-2), М2(-2, 2) и найти расстояние от точки Р(3, 1) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически

 

Вариант 3

1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(-2,-2), М2(0, 4) и найти расстояние от точки Р(-2, 1) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

Вариант 4

1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(3,-2), М2(5, 4) и найти расстояние от точки Р(-1, 1) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

Вариант 5

1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(2,-2), М2(0, 3) и найти расстояние от точки Р(-1, 1) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

Вариант 6

1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(3,-2), М2(1,-3) и найти расстояние от точки Р(-1, 0) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

Вариант 7
1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :	6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(4,-2), М2(2,-3) и найти расстояние от точки Р(-1, 1) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .
Вариант 8
1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :	6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(1, 5), М2(2, 2) и найти расстояние от точки Р(1, 1) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .
Вариант 9
1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :	6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(2, 5), М2(-2, 2) и найти расстояние от точки Р(1, 1) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

 

Вариант 10
1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :	6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(0, 5), М2(-2, 2) и найти расстояние от точки Р(2, 0) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .
Вариант 11
1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :	6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(1, 0), М2(2, -3) и найти расстояние от точки Р(2, 3) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

Вариант 12

1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(3, 3), М2(4, 2) и найти расстояние от точки Р(1,-4) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

Вариант 13

1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(2, 2), М2(-6, 6) и найти расстояние от точки Р(3,-7) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

Вариант 14

1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(5, 2), М2(-6, 0) и найти расстояние от точки Р(3,-2) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

Вариант 15

1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(3, 2), М2(-3, 0) и найти расстояние от точки Р(3,-2) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

 

Вариант 16
1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :	6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(0, 2), М2(-3, 0) и найти расстояние от точки Р(-1, 2) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .
Вариант 17
1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :	6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(5, 2), М2(-3, 0) и найти расстояние от точки Р(-2, 2) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .
Вариант 18
1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :	6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(2,-3), М2(3,-5) и найти расстояние от точки Р(1,-2) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .
Вариант 19
1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :	6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(7,-3), М2(3,-5) и найти расстояние от точки Р(-2, 1) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .
Вариант 20
1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :	6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(4, 3), М2(2, -3) и найти расстояние от точки Р(0, 3) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .
Вариант 21
1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :	6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(2, 6), М2(0, 7) и найти расстояние от точки Р(1, 0) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

Вариант 22

1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(5, 5), М2(0, 2) и найти расстояние от точки Р(-1,-3) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

Вариант 23

1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(3, 3), М2(2, 0) и найти расстояние от точки Р(-1, 2) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

Вариант 24

1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(3, 0), М2(2,-1) и найти расстояние от точки Р(-2, 4) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

Вариант 25

1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(4, 0), М2(2,-4) и найти расстояние от точки Р(-1, -2) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

Вариант 26

1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(3, 1), М2(0,-1) и найти расстояние от точки Р(3,-2) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

Вариант 27

1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(5,-1), М2(2,-2) и найти расстояние от точки Р(5,-5) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

Вариант 28

1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(0,-1), М2(2, 4) и найти расстояние от точки Р(1, 1) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

Вариант 29

1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(4, 6), М2(3, 4) и найти расстояние от точки Р(1, 1) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

Вариант 30

1. Вычислить произведение матриц . 2. Вычислить определитель . 3. Найти обратную матрицу . 4. Решить системы линейных уравнений. а) Методом обратной матрицы. б) Методом Крамера. в) Методом Гаусса. 5. Написать разложение вектора  по базису :

6. Установить, являются ли векторы  линейно-зависимыми: 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и : 8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(-7, 0), М2(1, 1) и найти расстояние от точки Р(2, 3) до полученной прямой. 9. Найти угол между прямыми 10. От общего уравнения прямой перейти к каноническому уравнению. 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . 12. Найти расстояние от точки М до плоскости p: 13. Найти проекцию точки М на плоскость p: 14. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и изобразить графически .

 

Рекомендуемая литература

1. Ашманов И.Л. Введение в математическую экономику. – М.: Наука, 1984.

2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1983.

3. Беклемишева Л.А. и др. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М., 1987 г.

4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1986.

5. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. – М.: Наука, 1972.

6. Ефимов Н.В.Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1975.

7. Солодовников А.С., Бабайцев В.А. и др. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. – М.: Финансы и статистика, 2003.