Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

 

1. Суммой двух векторов  и  называется вектор = + , получаемый по правилам:

а) правило треугольника;         б) правило параллелограмма.

 

Разностью векторов  и  называется вектор , если + = , разность векторов обозначается - .

2. Произведением вектора  на число l называется вектор l , удовлетворяющий условиям:

1) |l |=|l|| | - модуль вектора l  равен произведению модуля вектора  на модуль числа l;

2) l ­­  - векторы сонаправлены, если l>0,

l ­¯  - векторы противоположно направлены, если l<0.

Два вектора  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда выполнено условие:

=l .

Проекция вектора на ось

Углом между векторами  и  называется наименьший из двух углов j (0 £j£p), на который надо повернуть один вектор, чтобы его направление совпало со вторым после приведения этих векторов к общему началу:

.

Рассмотрим ось l, положительное направление которой задано единичным вектором  (ортом оси).

Проекцией точки А на ось l называется точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку А перпендикулярно оси l - точка А₁.

Рассмотрим произвольный вектор . Пусть точка А₁ – проекция начала вектора на ось, В₁ - проекция конца вектора.

Проекцией вектора  на ось l называется положительное число, равное модулю вектора проекции , если угол j между вектором и

осью острый, и отрицательное число  - , если угол между вектором и осью - тупой.

Обозначается проекция вектора  и вычисляется по формуле: .

Линейная зависимость векторов

 

Выражение  называется линейной комбинацией векторов  с коэффициентами с₁, с₂, ..., с _n.

Система векторов  называются линейно зависимой, если их линейная комбинация обращается в ноль  при с₁, с₂, ..., с _n, не равных нулю одновременно; и линейно независимой, если  только тогда, когда все коэффициенты с₁=с₂=...=с _n =0.

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Любые два неколлинеарных вектора линейно независимы. Любая система из трех векторов на плоскости линейно зависима.

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Любые три некомпланарных вектора линейно независимы. Любая система из четырех векторов в пространстве линейно зависима.

 

Базис. Координаты вектора

 

Пусть V – векторное пространство. Базисом в пространстве V называется всякая система векторов , которая линейно независима и полна (т. е. всякий вектор пространства можно выразить через данную систему векторов).

Обозначим через V ₁ – множество векторов на прямой; V ₂ – множество векторов на плоскости; V ₃  - множество векторов в пространстве.

Базисом в V ₁ называется любой ненулевой вектор; в V ₂ – любая пара неколлинеарных векторов; в V ₃ – любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Теорема о разложении вектора по базису: Любой вектор можно разложить по базису единственным образом:

1) в V ₁: ;

2) в V ₂: ;

3) в V ₃: .

 

2.6. Прямоугольная (декартова) система координат

 

Системой прямоугольных (декартовых координат) называется совокупность точки O и базиса, обозначаемого  и удовлетворяющего условиям:

1) =1;

2) ,

3) тройка векторов  - правая.

Любой вектор  можно представить в виде разложения по базису

: 

,

числа х, у, z называются прямоугольными (декартовыми) координатами вектора .

Геометрический смысл координат вектора – координаты вектора есть проекции этого вектора на координатные оси:

х= ;

у= ;

z = .

Cosa , cosb , cosg - называются направляющими косинусами вектора.

 

Пусть даны точка М₁(х₁,у₁, z ₁) и точка М₂(х₂,у₂, z ₂), тогда вектор .

Координаты вектора .

Модуль вектора , равный расстоянию между точками М₁ и М₂, находится по формуле:

 

.

 

Рассмотрим векторы (х_а; у_а; z _а) и (х_b; у_b; z _b), тогда

- если , то (х_а+х_b; у_а+у_b; z _а + z _b);

- если , то (lх_а; lу_а; lz _а).

 

Условие коллинеарности векторов в координатной форме:

векторы  и  коллинеарны ( =l ) тогда и только тогда, когда

.

Координаты середины отрезка М₁М₂:

.

2.7. Скалярное произведение векторов

 

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

.                    

Алгебраические свойства скалярного произведения:

1)  - свойство коммутативности;

2) - скалярное произведение вектора на себя равно квадрату модуля вектора;

3) (a )=a( ) – свойство ассоциативности;

4) ( + ) = + - свойство дистрибутивности.

Геометрические свойства скалярного произведения:

1)  тогда и только тогда, когда =0 – условие ортогональности векторов;

2) Два ненулевых вектора  и  составляют:

- острый угол, если  >0;

- тупой угол, если <0;

Скалярное произведение в координатах двух векторов (х_а;у_а;z _а) и (х_b;у_b;z _b) есть число, равное сумме произведений одноименных координат:

=x_ax_b + y_ay_b + z_az_b.

 

Из определения скалярного произведения вытекают следующие формулы:

- косинус угла между векторами ;

- проекция вектора  на вектор  равна .