Векторным произведением векторов  и  называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) ;                                                 (2)

2) ;

3) тройка векторов , ,  - правая (кратчайший поворот от вектора к вектору происходит против часовой стрелки).

Алгебраические свойства векторного произведения:

1)  - свойство антикоммутативности;

2) (a )´ =a( ) – свойство ассоциативности;

3)  - векторное произведение вектора на себя равно нулю.

Геометрические свойства векторного произведения:

1) вектора  и  коллинеарны, если =0;

2) модуль векторного произведения | ´ | равен площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах  и  - геометрический смысл векторного произведения.

Векторное произведение в координатах векторов (х_а; у_а; z _а) и (х_b; у_b; z _b) есть вектор, вычисляемый по правилу: .

Из определения векторного произведения вытекают следующие формулы:

- синус угла между векторами ;

- площадь треугольника, построенного на векторах  и , равна 1/2| ´ |.

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов  называется число, равное скалярному произведению вектора  на вектор :

.

Алгебраические свойства смешанного произведения:

1)  - смешанное произведение не изменяется от перегруппировки сомножителей;

2) - смешанное произведение меняет знак на обратный при перестановке пары сомножителей;

3)  - при умножении вектора на число смешанное произведение умножается на это число.

Геометрические свойства смешанного произведения:

1) три вектора  компланарны, если  - условие компланарности трех векторов;

2) модуль смешанного произведения | | некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах ,  и ;

3) тройка векторов правая, если ( , , )>0; тройка левая, если ( , , ) <0.

Смешанное произведение в координатах трех векторов , ,  есть число, равное определителю, составленному из координат векторов:

.

Из определения смешанного произведения векторов вытекают следующие формулы:

- объем тетраэдра ;

- высота тетраэдра (параллелепипеда) .

Прямые и плоскости

Задание прямой на плоскости

Всякий вектор , ортогональный прямой L, называется нормальным вектором прямой L.

Прямая на плоскости задается:

1)   парой точек этой прямой;

2) точкой и направляющим вектором прямой, тогда множество точек М прямой, проходящей через точку М₀ параллельно вектору , будет удовлетворять условию .

3)  точкой и нормальным вектором прямой, тогда множество точек М прямой, проходящей через точку М₀ ортогонально вектору , будет удовлетворять условию .