Рассматриваются следующие задачи: вычисление пределов, дифференцирование функций одной и нескольких переменных, приложения дифференциального исчисления к исследованию функций.
Задача 27. Вычислить 
.
Решение. При 
числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают. В этом случае говорят, что имеет место неопределенность 
. Выносим за скобки в числителе и знаменателе переменную в старшей степени и после сокращения получаем:
.
При 
величины 
, 
, 
стремятся к 0, 
, весь числитель стремится к 
, а знаменатель 
. Поэтому вся дробь стремится к .
Таким образом,
Задача 28. Вычислить 
.
Решение. При 
числитель и знаменатель стремятся к 
. Это неопределенность вида 
. Раскрываем ее (см. задачу 27):
.
Задача 29. Вычислить 
.
Решение. Поскольку числитель и знаменатель при 
стремятся к , имеем неопределенность . Раскрываем ее (см. задачу 27):
.
Так как при числитель стремится к 3, а знаменатель − к 
, то вся дробь стремится к 0 и
.
Замечание. Полученные в задачах 27-29 результаты можно обобщить следующим образом:
Здесь 
и 
- многочлены степеней n и m соответственно, причем
, 
.
Это правило позволяет сразу получить результат, минуя вычисления, одним лишь сравнением старших степеней многочленов 
числителя и знаменателя (в задаче 27: 5>2, значит, предел равен 
; в задаче 28: 3 = 3, значит, предел равен 
; в задаче 29: 1 < 2, значит, предел равен 0).
Задача 30. Вычислить 
.
Решение. При 
числитель и знаменатель дроби стремятся к 0. Это неопределенность вида 
. Разложив числитель и знаменатель на множители и выполнив сокращение на множитель (х − 7) (из-за которого и возникла неопределенность), получим
.
Задача 31. Вычислить 
.
Решение. Так как при 
выражение 
стремится к 1, а показатель степени 
− к бесконечности, имеем неопределенность 
. Раскрываем ее с помощью второго замечательного предела
.
Считая 
, достраиваем выражение до второго замечательного предела и получаем
.
Задача 32. Вычислить 
.
Решение. Поскольку при 
числитель и знаменатель дроби стремятся к 0, имеем неопределенность . Воспользовавшись формулами таблицы эквивалентности [приложение 4] для бесконечно малой величины 
( 
):
получим при 
:
Заменяя числитель и знаменатель на эквивалентные бесконечно малые величины, найдем
.
Задача 33. Вычислить 
.
Решение. Имеем неопределенность 
. Согласно формулам таблицы эквивалентности [приложение 4] для бесконечно малой величины ( 
)
поэтому при : 
.
Тогда
.
Задача 34. Найти 
, если 
.
Решение. Применяя формулы дифференцирования суммы, произведения и частного [приложение 4]:
,
где 
, имеем
и далее, с учетом формул дифференцирования элементарных функций (2),(5), (13) [приложение 4]
получим
.
Подставим в производную х = 2:
.
Задача 35. Для функции 
найти 
.
Решение. Применим правило дифференцирования сложной функции: если 
, 
, то 
.
В данном случае 
. Согласно формулам (12), (6) [приложение 4]
.
Тогда
.
Задача 36. Для функции 
найти .
Решение. По правилу дифференцирования сложной функции 
, где 
, имеем .
Так как 
, применяем формулы (7), (10) [приложение 4] :
.
Окончательно,
.
Задача 37. Дана функция 
Найти ее частные производные 
и 
в точке 
Решение. Преобразуем данную функцию к виду
Вычислим частную производную 
, используя формулу дифференцирования (2) [приложение 4]
и считая у константой:
Подставив вместо х и у координаты точки 
, получим
Найдем 
, считая х константой:
Подставляя координаты точки , получим
Задача 38. Найти интервалы возрастания и убывания функции 
.
Решение. Функция y = f ( x ) возрастает, если 
, и убывает, если 
. Найдем :
.
Определим знаки первой производной и промежутки монотонности функции у
| x | 
| −1 | 
| 0 | 
| 1 | 
|
|
| + | 0 | − | 0 | + | 0 | − |
| y |  
| 
|
|
|
Итак, функция возрастает на интервалах 
и убывает на интервалах 
.
Задача 39. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции 
.
Решение. Функция выпукла, если 
и вогнута, если 
. Найдем 
:
,
.
Определим знаки второй производной 
и промежутки выпуклости и вогнутости функции у
| x | 
| −2 | 
| 0 | 
| 2 | 
|
| − | 0 | + | 0 | − | 0 | + |
| y | 
| 
| 
| 
|
Таким образом, функция выпукла при 
и вогнута при 
.
ГЛАВА 2
Интегралы, РЯДЫ,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Интегралы
Рассматриваются следующие задачи: вычисление неопределенного интеграла, определенного интеграла, вычисление площадей плоских фигур.
Задача 40. Вычислить интеграл 
.
Решение. Воспользуемся основными свойствами неопределенного интеграла (интеграл от суммы равен сумме интегралов, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла) и применим формулы (2), (3) и (1) из таблицы интегралов [приложение 5]:
.
Задача 41. Вычислить интеграл 
.
Решение. Данный интеграл является определенным. Для его вычисления необходимо воспользоваться формулой Ньютона–Лейбница [приложение 5]
,
где 
- какая-либо первообразная для непрерывной функции 
.
Тогда в соответствии с формулой (2) [приложение 5] имеем
.
Задача 42. Вычислить интеграл 
.
Решение. Интеграл можно свести к табличному (7) [приложение 5], если сделать замену переменной, приняв 3х = t. Дифференцируя обе части равенства, получим
, или 
.
Так как интеграл определенный, необходимо также изменить пределы интегрирования. При этом получим
= 
.
Замечание. Задачу можно было решить, используя правило: если
, то 
.
В данном случае так как
, то 
,
Поэтому 
.
Задача 43. Вычислить интеграл 
.
Решение. Интеграл можно свести к табличному (3) [приложение 5] , если выполнить замену: t = 5х – 1. Тогда
.
Задача 44. Вычислить интеграл 
.
Решение. Интеграл можно свести к табличному (2) [приложение 5], если сделать замену переменной: t = 2х + 7.
Но можно использовать замечание к задаче 42. В этом случае поскольку 
, имеем
.
Задача 45. Вычислить интеграл 
.
Решение. Интеграл можно свести к табличному (9) [приложение 5] с помощью замены t = х / 5:
.
Задача 46. Вычислить интеграл 
.
Решение. Интеграл можно свести к табличному (4) [приложение 5] заменой t = 6х. Так как интеграл определенный, изменяем и пределы интегрирования:
= 
.
Задача 47. Вычислить интеграл 
.
Решение. Интеграл относится к группе интегралов: 
, 
, 
, где Pn(x) – многочлен степени п. Вычисление таких интегралов выполняется интегрированием по частям [приложение 5]
Если за и принять многочлен Pn(x), то в результате применения формулы интегрирования по частям интеграл упростится (уменьшится степень многочлена).
Обозначим 
Найдем 
:
(формула интегрирования (5) [приложение 5]). Тогда
.
Задача 48. Вычислить интеграл 
.
Решение. Этот интеграл относится к группе интегралов вида 
, 
, 
, 
(Pn(x) – многочлен степени п) и вычисляется по формуле интегрирования по частям [приложение 5].
В результате применения этой формулы исходный интеграл упростится, если за и принимать функции 
.
Итак, положим
Тогда
.
Получаем
.
Задача 49. Вычислить интеграл 
.
Решение. Для определенного интеграла также применима формула интегрирования по частям
Положим 
, 
(см. задачу 47). Тогда
и 
(формула интегрирования (6) [приложение 5]).
Итак,
.
Задача 50. Вычислить интеграл 
.
Решение. Это интеграл вида 
с чётными m и n (в данном случае 
) и вычисляется с помощью формул тригонометрии [приложение 5].
Воспользуемся формулой понижения степени [приложение 5]
,
получим
(формулы интегрирования (1), (7) [приложение 5]).
Задача 51. Вычислить 
.
Решение. Применяя тригонометрическую формулу [приложение 5]
,
получим
(формула интегрирования (6) [приложение 5]).
Задача 52. Вычислить площадь области D, ограниченной линиями 
, y = x – 1, x = 0, x = 2.
Решение. Площадь области D, ограниченной линиями 
, 
, x = а, x = b (рис. 4), вычисляется по формуле
.
Построим заданную область D (рис. 5). Слева область ограничена прямой 
, справа – прямой 
, снизу – прямой 
, сверху – параболой 
.
Подставляя все данные в формулу, найдем площадь области D:
(кв. ед.)
Задача 53. Вычислить площадь области D, ограниченной линиями 
, y = 0, x = 1, x = 3.
Решение. Построим заданную область D (рис. 6), ограниченную слева – прямой 
, справа – прямой 
, снизу – параболой 
, сверху – прямой 
.
Подставляя все данные в формулу площади (см. задачу 52), получим
(кв. ед.)
Ряды
Рассматриваются задачи о сходимости положительных, знакопеременных и функциональных рядов.
Задача 54. Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение. Необходимый признак сходимости ряда гласит [приложение 5 – РЯДЫ]: Если ряд 
сходится, то 
(если же 
, то ряд расходится).
Здесь 
. Рассмотрим предел
.
Предел не равен нулю, следовательно, ряд расходится.
Задача 55. Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение. Используем радикальный признак Коши [приложение 5 – РЯДЫ]: Если для положительного ряда 
существует предел
, то
1) при b < 1 ряд сходится;
2) при b > 1 ряд расходится;
3) при b = 1 рассматриваемый признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
Найдем предел
.
Найденный предел 
. Следовательно, данный ряд расходится.
Задача 56. Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение. Используем признак Даламбера [приложение 5 – РЯДЫ]: Если для положительного ряда существует предел
, то
1) при b < 1 ряд сходится;
2) при b > 1 ряд расходится;
3) при b = 1 рассматриваемый признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
Здесь 
, 
, тогда имеем
.
Найденный предел 
. Следовательно, данный ряд сходится.
Задача 57. Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение. Применяем признак Даламбера (см. задачу 56). Здесь 
, 
, поэтому
Найденный предел 
. Следовательно, ряд расходится.
Задача 58. Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение. Ряд 
– это обобщенный гармонический ряд вида 
, где 
– действительное число. Известно, что такой ряд [приложение 5 – РЯДЫ]
1) сходится при 
;
2) расходится при 
.
Так как в исходном примере 
, то ряд сходится.
Задача 59. Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение. При исследовании сходимости ряда 
можно воспользоваться предельным признаком сравнения положительных рядов [приложение 5 – РЯДЫ]: Если существует конечный и отличный от нуля предел 
то положительные ряды 
и 
одинаковы в смысле сходимости.
Для сравнения возьмем обобщенный гармонический ряд 
. Он сходится (см. задачу 58). Применяя предельный признак сравнения, получим
.
Так как предел 
конечен и отличен от нуля, то ряд 
также сходится.
Задача 60. Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение. Этот ряд относится к знакочередующимся рядам вида
,
где 
(n = 1, 2, 3…).
Cогласно признаку Лейбница [приложение 5 – РЯДЫ] такой ряд сходится, если выполняются два условия:
1) 
; 2) .
Для данного ряда имеем: 
.
Условия теоремы выполнены:
1) 
; 2) 
.
Следовательно, ряд 
сходится.
Рассматриваемый ряд является частным случаем знакопеременного (с произвольным чередованием знаков) ряда. Сходимость знакопеременного ряда может быть абсолютной или условной в зависимости от того, сходится или расходится соответствующий ряд из абсолютных величин членов знакопеременного ряда.
Пусть 
– знакопеременный ряд. Если сходится ряд 
, составленный из модулей, то ряд называется абсолютно сходящимся. Может оказаться, что ряд 
расходится, а ряд сходится. В этом случае ряд называется условно сходящимся.
Итак, рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда
= 
.
Он положительный. Исследуем его на сходимость по признаку Даламбера [приложение 5 – РЯДЫ].
Так как 
, получим
.
Тогда ряд 
сходится, следовательно, ряд 
сходится абсолютно.
Задача 61. Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение. Для данного ряда выполняются условия признака Лейбница [приложение 5 – РЯДЫ]:
1) 
2) 
.
Значит, ряд сходится. Исследуя ряд на абсолютную сходимость (см. задачу 60), составим ряд из модулей
.
Для сравнения возьмем обобщенный гармонический расходящийся ряд 
и воспользуемся предельным признаком сравнения [приложение 5 – РЯДЫ]:
.
Так как предел конечен и отличен от нуля, то ряды
и 
ведут себя одинаково в смысле сходимости, т.е. ряд 
тоже расходится. Итак, ряд 
расходится, следовательно, ряд 
сходится условно.
Задача 62. Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение. Если ряд 
сходится, то 
(см. задачу 54). Но 
(этот предел не существует), поэтому ряд расходится.
Задача 63. Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение. Ряд вида
,
где а0, а1, а2, …, а n, … – постоянные вещественные числа, называется степенным рядом. Степенной ряд – это частный случай функционального ряда 
, то есть ряда, члены которого есть функции, зависящие от х.
Для каждого степенного ряда существует положительное число R такое, что этот ряд абсолютно сходится, если 
и расходится, если 
. Число R называется радиусом сходимости рассматриваемого ряда, а интервал (– R, R) – интервалом сходимости этого ряда.
На концах интервала сходимости (в точках х = – R и х = R) степенной ряд может сходиться или расходиться. Это выясняется отдельно для каждого числового ряда, получающегося из степенного ряда в результате подстановки в него указанных значений.
Радиус сходимости R степенного ряда можно определить с помощью признака Даламбера или радикального признака Коши по формулам [приложение 5 – РЯДЫ]:
, 
.
Найдем радиус сходимости для заданного ряда по первой формуле. Так как
, 
,
получим
.
Следовательно, R = 3. Поэтому данный ряд абсолютно сходится в интервале (– 3; 3) и расходится вне отрезка [– 3; 3].
Исследуем сходимость ряда в точках х = 3 и х = – 3.
При х = 3 исходный ряд принимает вид
.
Это обобщенный гармонический расходящийся ряд ( 
) [приложение 5 – РЯДЫ]. Итак, при х = 3 заданный ряд расходится.
При х = – 3 получаем знакочередующийся ряд
.
Рассмотрим для него выполнение условий теоремы Лейбница [приложение 5 – РЯДЫ]
1) 
; 2) 
.
Условия выполняются, значит, ряд 
сходится.
Следовательно, область сходимости исходного ряда [– 3; 3).
Задача 64. Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение. Этот ряд степенной. Будем искать радиус сходимости ряда по формуле
(см. задачу 63).
Так как 
, 
, то
.
Это означает, что областью сходимости ряда может быть только одна точка х = 0. Действительно, при х = 0 получим нулевой сходящийся ряд
0 + 0 + 0 + … .
Итак, ряд 
сходится в одной точке х = 0.
Задача 65. Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение. В соответствии с теорией, изложенной в задаче 63, будем искать радиус сходимости ряда по формуле
.
Так как 
, 
, то
.
Следовательно, 
. Значит, ряд сходится при любых х и область сходимости ряда 
.
§ 3. Дифференциальные уравнения
Рассматриваются дифференциальные уравнения первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные), однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами, задача Коши.
Задача 66. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Уравнение, содержащее переменную, функцию этой переменной, а также производные этой функции, называется дифференциальным. Решить дифференциальное уравнение – значит найти функцию у(х), обращающую уравнение в тождество.
В данном уравнении можно разделить переменные, то есть с помощью преобразований сделать так, чтобы в одной части было выражение, зависящее только от х, а в другой – только от у. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными.
Перепишем уравнение, используя другое обозначение для производной: 
. Получим
.
Разделим переменные, умножив уравнение на выражение 
. Это приведет к равенству
.
Проинтегрируем обе части полученного уравнения
,
вычислим интегралы с помощью формул интегрирования (4) и (2) [приложение 5]
и выразим у 
.
Получившееся выражение называется общим решением дифференциального уравнения.
Задача 67. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Данное дифференциальное уравнение также относится к уравнениям с разделяющимися переменными и решается аналогично задаче 66. Перепишем уравнение в виде
.
Разделим переменные, умножив обе части уравнения на 
:
.
В результате вычисления интегралов
по формулам интегрирования (16) и (8) [приложение 5] получим
.
Тогда общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид
.
Задача 68. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям первого порядка вида
.
Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки
,
где u(x) и v(x) – две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение
и 
,
получим
, или 
.
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно (поскольку лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению), возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
.
При этом исходное дифференциальное уравнение примет вид
.
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные
,
, 
.
Интегрируя, находим
,
, или 
(формулы интегрирования (3), (2) [приложение 5]).
Взяв в качестве 
, преобразуем уравнение 
:
, откуда 
.
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и
, 
,
, 
(формулы интегрирования (1), (2) [приложение 5]).
Возвращаясь к функции у, получим общее решение исходного дифференциального уравнения
.
Задача 69. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Решение. Данное уравнение относится к однородным дифференциальным уравнениям первого порядка вида 
и решается заменой 
(здесь 
– новая функция), приводящей его к уравнению с разделяющимися переменными. Выполняя замену, получим
, 
Исходное уравнение примет вид
,
Разделяем переменные и интегрируем
, 
,
.
Согласно формулам интегрирования (15), (3) [приложение 5] имеем
,
Выполнив обратную замену, получаем решение исходного уравнения, записанное в неявном виде, то есть общий интеграл дифференциального уравнения
.
Задача 70. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Данное дифференциальное уравнение относится к однородным линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами
.
Этому уравнению соответствует так называемое характеристическое уравнение
,
от корней k1 и k2 которого зависит вид общего решения исходного дифференциального уравнения. При этом
1) если k1 и k2 – действительны и различны (дискриминант D > 0, 
), общее решение дифференциального уравнения имеет вид
,
то есть каждому корню 
соответствует слагаемое вида 
;
2) если k1 и k2 – действительные и равные (дискриминант D = 0, k1 = k2 = k), общее решение дифференциального уравнения имеет вид
, или 
;
3) если k1 и k2 – комплексные (дискриминант D < 0, 
) общее решение дифференциального уравнения в этом случае будет иметь вид
.
Составляя характеристическое уравнение для заданного дифференциального уравнения , получим
.
Оно имеет два различных действительных корня k1 = 1 и k2 = 2 (случай 1). Поэтому общее решение будет записано в виде
.
Задача 71. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Согласно теории, изложенной в задаче 70, составим характеристическое уравнение
.
Оно имеет два равных корня k1 = k2 = 3 (случай 2). Поэтому общее решение есть
, или 
.
Задача 72. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Согласно теории, изложенной в задаче 70, составим характеристическое уравнение
.
Дискриминант этого уравнения отрицательный (случай 3)
.
Это означает, что уравнение имеет комплексные корни
,
где 
– мнимая единица, такая, что 
.
Так как 
, 
, общим решением будет
.
Задача 73. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Согласно теории, изложенной в задаче 70, составим характеристическое уравнение
,
откуда получаем: 
(корни комплексные – случай 3). Здесь 
, 
, значит, общее решение имеет вид
.
Задача 74. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением третьего порядка с постоянными коэффициентами и решается аналогично уравнениям второго порядка (см. задачу 70). Его характеристическое уравнение
, или
, откуда
.
Паре корней 
соответствует решение
Корню 
соответствует решение
.
Общее решение исходного уравнения есть сумма полученных решений
.
Задача 75. Найти частное решение дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее условиям: 
, 
.
Решение. Дифференциальное уравнение вида
решается n–кратным последовательным интегрированием:
,
и т.д.
В данном случае 
, поэтому интегрируем два раза. При этом получим (формула интегрирования (2) [приложение 5])
.
Подставив начальное условие 
, найдем константу С1:
, 
.
Тогда уравнение примет вид
.
Еще раз проинтегрируем:
.
Подставив начальное условие , найдем константу С2:
, 
.
Значит, частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид
.
Задача 76. Найти частное решение уравнения 
, удовлетворяющее условиям: 
, 
.
Решение. Данное дифференциальное уравнение решается аналогично задаче 75. Проинтегрировав первый раз, получим
(формула интегрирования (4) [приложение 5]).
Подставив начальное условие , найдем константу С1
, 
.
Уравнение примет вид
.
Еще раз проинтегрируем, получим
.
Подставив начальное условие , найдем константу 
:
, 
.
Итак, частное решение дифференциального уравнения имеет вид
.
ГЛАВА 3
Дата: 2019-03-05, просмотров: 207.
