Пример 2. Рассмотрим одноканальную СМО с очередью. В магазине стройматериалов работает один продавец-конкультант. В среднем, в магазин приходит 10 покупателей в час. Длительность обслуживания каждого покупателя в среднем занимает 5 минут. Пусть длительность интервалов времени между поступлениями заявок и длительность обслуживания подчиняются экспоненциальному закону распределения. За время моделирования примем время обслуживания 100 посетителей.

Необходимо смоделировать функционирование данной СМО в Excel и рассчитать основные показатели работы системы: коэффициент загруженности продавца, среднюю длину очереди, среднее время ожидания в очереди, среднее время пребывания заявок в системе. Оцените эффективность работы этой системы. Как изменятся основные показатели работы магазина, если среднее время обслуживания удастся сократить до 4 минут на человека?

Алгоритм решения задачи.

1. Для создания имитационной модели на рабочем листе Excel сформируйте таблицу из Приложения 1[2].

2. В нашей задаче в качестве единицы времени выберем 1 минуту. Интенсивность входящего потока заявок и интенсивность исходящего потока обслуженных заявок выразим в минутах:

    λ=10 покупателей/час=0,167 покупателей/мин;

    μ=1/=1/5=0,2 покупателя/мин.

3. В первом столбце таблицы проставлены порядковые номера покупателей с 1-го по 100-й. Во втором и третьем столбцах сгенерируем 2 выборки равномерно распределенных случайных чисел при помощи функции СЛЧИС(). Эти случайные числа нам понадобятся для того, чтобы получить случайные интервалы времени между поступлением заявок и случайные продолжительности обслуживания каждой заявки.

4. В столбце 4 получим значения интервалов времени между поступлением заявок, имеющие показательный закон распределения с параметром . Для этого необходимо преобразовать выборку равномерно распределенных чисел из столбца 1 в выборку, имеющую показательный закон распределения по формуле (6). В ячейку E12 введем формулу

                                         .

Полученное значение округлим до ближайшего большего целого числа. Это необходимо для того, чтобы обеспечить ординарность входящего потока заявок: за единичный интервал времени (минута), в систему должно поступать не более одной заявки. Для округления воспользуемся встроенной функцией Excel ОКРВВЕРХ(). Изменим формулу в ячейке E12 на:

=ОКРВВЕРХ(-1/$C$3*LN(C12);1).

Скопируем формулу до конца таблицы. В столбце 4 должны получиться целые положительные числа.

5. В столбце 5 рассчитаем время поступления заявок. Время поступления первой заявки будет равно первому интервалу времени, полученному в столбце 4. В ячейку F12  введите формулу: 

=E12.

Далее моменты времени рассчитываются нарастающим итогом. В ячейку F13 введите формулу:

=F12+E13,

и скопируйте ее до конца таблицы.

6. В столбце 6 вычислим время начала обслуживания поступивших заявок. Время начала обслуживания первой заявки равно времени ее поступления (=F12).

Для всех остальных заявок действует правило: если к моменту поступления очередной заявки канал обслуживания свободен, то заявка сразу принимается к обслуживанию и время начала обслуживания совпадает с временем поступления заявки в систему. А если к моменту поступления заявки канал обслуживания занят, то заявка становится в очередь, и время начала обслуживания будет равно времени окончания обслуживания предыдущей заявки.

В ячейке G13 введите формулу:

=ЕСЛИ(F13>I12;F13;I12).

7. В столбце 7 получим длительности обслуживания заявок. Это случайные числа, имеющие показательный закон распределения с параметром . Для получения случайных чисел с показательны законом распределения используем формулу (6). Для удобства дальнейшей работы с таблицы будем считать, что продолжительность обслуживания заявок является целым числом и округлим значения до ближайшего большего целого. В ячейку H12 введите формулу:

=ОКРВВЕРХ(-1/$C$5*LN(D12);1).

Абсолютная ссылка на ячейку С5 ставится для того, чтобы при копировании формулы, ссылка на эту ячейку не смещалась.

8. Чтобы рассчитать время окончания обслуживания в столбце 8 к времени начала обслуживания надо прибавить продолжительность обслуживания.

9. Время в системе (столбец 9) – это время, прошедшее от момента поступления заявки в систему до окончания обслуживания этой заявки.

10. Время в очереди (столбец 10) рассчитывается как разность между временем начала обслуживания и временем поступления заявки в систему.

11. В столбец 11 скопируйте порядковые номера покупателей их столбца 1.

12. Для того, чтобы определить длину очереди, надо знать порядковый номер последнего покупателя, уже обслуженного к моменту поступления очередной заявки. Значение в ячейке M12 равно 0, т.к. к моменту прихода первого клиента еще никого не обсуживали. В ячейку M13 введите формулу:

=ВПР(F13;I$12:L13;4).

О встроенной функции ВПР() подробнее можно прочитать во встроенном справочнике по MS Excel.

13. В столбце 13 вычислим длину очереди, которая образовалась к моменту прихода очередного покупателя. В ячейку N12 введите формулу:

=L12-M12-1.

Из порядкового номера покупателя вычитается порядковый номер последнего обслуженного покупателя и вычитается еще единица, т.к. один клиент в данный момент обслуживается.

14. Вычислим время простоя продавца (столбец 14). Простоем называется временная пауза, которая возникает между обслуживанием двух последовательно поступивших заявок. Если время начала обслуживания очередного покупателя больше времени окончания обслуживания предыдущего покупателя, то это означает, что между двумя покупателями был промежуток времени, в течение которого канал обслуживания был свободен (продавец отдыхал, т.е. простаивал). В ячейку O12  введите формулу:

=ЕСЛИ(G13>I12;G13-I12;0).

15. Вычислим основные характеристики СМО. Коэффициент загруженности продавца можно найти по формуле:

                                            ,                                                       (15)

где - время простоя канала обслуживания между обслуживанием заявок с номерами и ; - количество прошедших через систему заявок; - общее время моделирования. В качестве в нашем примере можно взять время окончания обслуживания последнего покупателя. В ячейку L3 введите формулу:

=1-СУММ(O12:O111)/I111.

Среднюю длину очереди найдем по формуле:

                                             ,                                                  (16)

где - длина очереди, которую пришлось выстоять i-му клиенту. В ячейку L4 введите формулу:

Среднее время ожидания в очереди найдем по формуле:

                                                        ,                                               (17)

где - время, проведенное в очереди i-ой заявкой. В ячейку L5 введите формулу:

=СРЗНАЧ(K12:K111).

Чтобы найти максимальную длину очереди, в ячейку L6 введите формулу:

=МАКС(N12:N111).

Среднее время пребывания заявки в системе найдем по формуле:

                                                       ,                                          (18)

где - время, проведенное в системе i-ой заявкой. В ячейку L7 введите формулу:

=СРЗНАЧ(J12:J111).

Замечание. Все рассчитанные в п.15. характеристики работы СМО являются случайными величинами и они будут меняться от прогона к прогону.

В результате мы получили заполненную формулами таблицу, которая является табличной имитационной моделью одноканальной СМО с отказами. Достоинство этой табличной модели заключается в том, что с ее помощью мы можем провести неограниченное количество вычислительных экспериментов с моделью СМО. Для того, чтобы провести новый вычислительный эксперимент и сымитировать работу магазина в течение нового торгового дня (обслуживание 100 покупателей) в Excel достаточно нажать клавишу F9. После этого во втором и третьем столбцах, функция СЛЧИС() сгенерирует новые выборки равномерно распределенных чисел, и мы получим новых выходные характеристики СМО.

Для того, чтобы сделать окончательный вывод об эффективности работы моделируемой СМО, проведем серию из 10 вычислительных экспериментов. После каждого прогона будем фиксировать значения выходных характеристик СМО. Результаты вычислительных экспериментов приведены в таблице 2.

Таблица 3. Результаты вычислительных экспериментов над СМО при .

Вычислив средние значения параметров за 10 прогонов, получим окончательные оценки эффективности работы данной СМО (см. последний столбец таблицы 2). Коэффициент загруженности продавца равен 0,83, то есть 83% своего рабочего времени продавец занят консультированием клиентов, а 17% рабочего времени продавец простаивает. При этом средняя длина очереди составляет 3,1, то есть каждый пришедший покупатель вынужден выстоять очередь в среднем из трех человек. Казалось бы, резерв для повышения эффективности есть, и продавец мог бы эффективнее распоряжаться своим рабочим временем, но возникновение очереди связано не с плохой работой продавца, со случайным характером времени поступления заявок и времени их обслуживания.

Что же можно сделать для повышения эффективности работы? Повлиять на интенсивность потока клиентов мы не можем, увеличение количества каналов обслуживания в данной модели не рассматривается, значит единственный выход заключается в уменьшении среднего времени обслуживания клиентов. Если средне время обслуживания снизится с 5 до 4 минут, то интенсивность потока обслуженных клиентов увеличится до .

Проведем еще одну серию из 10 вычислительных экспериментов и посмотрим, как изменились основные характеристики системы. Результаты приведены в таблице 3.

Таблица 4. Результаты вычислительных экспериментов над СМО при .

Из таблицы 4 видно, что значения всех показателей работы СМО существенно изменились: среднее длина очереди уменьшилась до 2-х человек, среднее время ожидания в очереди сократилось с 16 до 9 минут, коэффициент загруженности продавца уменьшился с 0,83 до 0,7. Вывод: с уменьшением среднего времени обслуживания заявок система стала функционировать эффективнее.

Замечание. В данном примере не оговаривается, каким образом можно снизить среднее время обслуживания клиентов, и не известно, как это отразится на качестве обслуживания. Также в данной задаче не учитывались экономические последствия от сокращения среднего времени обслуживания (увеличение доходов за счет роста выручки, рост потенциальных потерь за счет большего числа клиентов, недовольных качеством обслуживания).