Построение имитационных моделей систем массового обслуживания и систем управления запасами

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Построение имитационных моделей систем массового обслуживания и систем управления запасами

Методические указания

к практическим занятиям по дисциплине

«Имитационное моделирование»

для студентов, обучающихся по направлению 38.03.01 «Экономика»

(профили «Финансы икредит» и «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»)

(программа подготовки бакалавров на базе среднего профессионального образования)

(заочная форма обучения)

Рекомендовано Учебно-методическим советом филиала

(протокол № 2 от 30 октября 2015 г.)

Одобрено кафедрой «Математика и информатика»

(протокол № 3 от 27 октября 2015 г.)

УФА 2015

УДК 338.22.021 (075)

ББК 65.050

Рецензенты:

С. А. Горбатков, д-р, техн. наук, профессор кафедры «Математика и информатика» Уфимского филиала Финансового университета при Правительстве Российской Федерации;

Ю. И. Валиахметова, канд. техн. наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и кибернетика» Уфиского государственного авиационного технического университета.

Методические указания обсуждены на заседании кафедры

«Математика и информатика» Уфимского филиала

Финансового университета при Правительстве РФ

Зав кафедрой,

кандидат технических наук, доцент С. А. Фархиева

Учебно-методическое издание одобрено на заседании Учебно-методического совета Уфимского филиала Финуниверситета

Зам. директора Уфимского филиала Финуниверситета

по учебно-методической работе, председатель учебно-методической комиссии,

кандидат физико-математических наук, доцент И. Х. Бикмухаметов

Г200

Белолипцев И. И. Построение имитационных моделей систем массового обслуживания и систем управления запасами: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Имитационное моделирование» для студентов, обучающихся по направлению 38.03.01 «Экономика», программа подготовки бакалавров (на базе среднего профессионального образования).

СОДЕРЖАНИЕ

Имитационное моделирование: базовые понятия................................................. 4

Краткие теоретические сведения о генераторах псевдослучайных чисел........... 6

Арифметические генераторы случайных чисел.................................................. 6

Получение случайных чисел в табличном процессоре Excel............................ 8

Системы массового обслуживания. Основные понятия и определения............. 11

Одноканальная СМО с очередью...................................................................... 20

Двухканальная СМО с отказами....................................................................... 26

Системы управления запасами............................................................................. 31

Модель Уилсона................................................................................................. 32

Пример создания имитационной модели управления запасами...................... 36

Задания для самостоятельной работы................................................................. 45

Приложения.......................................................................................................... 47

Список литературы............................................................................................... 50

Краткие теоретические сведения о генераторах псевдослучайных чисел.

Метод имитационного моделирования часто применяется для изучения систем или объектов, в которых отдельные параметры являются случайными величинами. Выборки случайных чисел можно получать разными способами:

· при помощи специальных устройств, генерирующих случайные числа;

· используя таблицы случайных чисел;

· вручную, используя специальные алгоритмы (арифметические генераторы);

· при помощи компьютера, используя готовые программные решения.

Наиболее распространен третий (компьютерный) способ. Так как реализации случайных величин получаются искусственным путем, как правило, при помощи компьютера, то их называют псевдослучайными числами.

Арифметические генераторы случайных чисел.

Рассмотрим 2 простых алгоритма, позволяющих получать равномерно распределенные случайные числа.

Метод серединных квадратов.

1. Случайным образом выбирается начальное четырехзначное число . Например .

2. Возведем в квадрат: . Если получившее число имеет менее восьми разрядов (семизначное число), то слева дописываем ноль, чтобы получилось восьмизначное число: .

3. Извлекаем из получившегося числа 4 средние цифры и получаем новое четырехзначное число .

4. Разделим на 10000, в результате получим число : .

Далее шаги 2, 3 и 4 повторяются необходимое количество раз. Последовательность получившихся чисел , является выборкой равномерно распределенных псевдослучайных чисел.

Данный метод удобно применять в Excel. Пример получения последовательности псеводослучайных чисел методом серединных квадратов приведен на рисунке 1.

Рис. 1. Получение случайных чисел методом серединных квадратов

Линейный конгруэнтный генератор (ЛКГ)..

1. Случайным образом выбирается некоторое начальное число . Например

2. Вычисляется следующее число по рекурсивной формуле:

где - множитель; - смещение; - модуль. , и - положительные числа. Оператор - это оператор взятия остатка от деления числа на . Очевидно, что может принимать значения от 0 до . Пусть , , , . Тогда .

3. Чтобы получить случайное число разделим на :

Далее шаги 2 и 3 повторяются необходимое количество раз. Данный метод получения случайных чисел имеет существенный недостаток: как только в последовательности чисел появляется число, которое уже встречалось раньше, все последующие значения также будут повторяться. Это явление называется цикличностью, а количство неповторяющихся чисел в ряду - длиной цикла генератора. Длина цикла в первую очередь зависит от значения . Для того, чтобы получить выборку необходимого объема, надо взять достаточно большим.

Данный метод получения псевдослучайных чисел также можно реализовать в Excel. Для нахождения остатка от деления (опреатор mod) можно использовать встроенную функцию ОСТАТ(). Пример получения случайных чисел показан на рисунке 2.

Рис. 2. Получение случайных чисел при помощи ЛКГ

Алгоритм решения задачи.

1. Для создания имитационной модели на рабочем листе Excel сформируйте таблицу из Приложения 1[2].

2. В нашей задаче в качестве единицы времени выберем 1 минуту. Интенсивность входящего потока заявок и интенсивность исходящего потока обслуженных заявок выразим в минутах:

λ=10 покупателей/час=0,167 покупателей/мин;

μ=1/=1/5=0,2 покупателя/мин.

3. В первом столбце таблицы проставлены порядковые номера покупателей с 1-го по 100-й. Во втором и третьем столбцах сгенерируем 2 выборки равномерно распределенных случайных чисел при помощи функции СЛЧИС(). Эти случайные числа нам понадобятся для того, чтобы получить случайные интервалы времени между поступлением заявок и случайные продолжительности обслуживания каждой заявки.

4. В столбце 4 получим значения интервалов времени между поступлением заявок, имеющие показательный закон распределения с параметром . Для этого необходимо преобразовать выборку равномерно распределенных чисел из столбца 1 в выборку, имеющую показательный закон распределения по формуле (6). В ячейку E12 введем формулу

Полученное значение округлим до ближайшего большего целого числа. Это необходимо для того, чтобы обеспечить ординарность входящего потока заявок: за единичный интервал времени (минута), в систему должно поступать не более одной заявки. Для округления воспользуемся встроенной функцией Excel ОКРВВЕРХ(). Изменим формулу в ячейке E12 на:

=ОКРВВЕРХ(-1/$C$3*LN(C12);1).

Скопируем формулу до конца таблицы. В столбце 4 должны получиться целые положительные числа.

5. В столбце 5 рассчитаем время поступления заявок. Время поступления первой заявки будет равно первому интервалу времени, полученному в столбце 4. В ячейку F12 введите формулу:

=E12.

Далее моменты времени рассчитываются нарастающим итогом. В ячейку F13 введите формулу:

=F12+E13,

и скопируйте ее до конца таблицы.

6. В столбце 6 вычислим время начала обслуживания поступивших заявок. Время начала обслуживания первой заявки равно времени ее поступления (=F12).

Для всех остальных заявок действует правило: если к моменту поступления очередной заявки канал обслуживания свободен, то заявка сразу принимается к обслуживанию и время начала обслуживания совпадает с временем поступления заявки в систему. А если к моменту поступления заявки канал обслуживания занят, то заявка становится в очередь, и время начала обслуживания будет равно времени окончания обслуживания предыдущей заявки.

В ячейке G13 введите формулу:

=ЕСЛИ(F13>I12;F13;I12).

7. В столбце 7 получим длительности обслуживания заявок. Это случайные числа, имеющие показательный закон распределения с параметром . Для получения случайных чисел с показательны законом распределения используем формулу (6). Для удобства дальнейшей работы с таблицы будем считать, что продолжительность обслуживания заявок является целым числом и округлим значения до ближайшего большего целого. В ячейку H12 введите формулу:

=ОКРВВЕРХ(-1/$C$5*LN(D12);1).

Абсолютная ссылка на ячейку С5 ставится для того, чтобы при копировании формулы, ссылка на эту ячейку не смещалась.

8. Чтобы рассчитать время окончания обслуживания в столбце 8 к времени начала обслуживания надо прибавить продолжительность обслуживания.

9. Время в системе (столбец 9) – это время, прошедшее от момента поступления заявки в систему до окончания обслуживания этой заявки.

10. Время в очереди (столбец 10) рассчитывается как разность между временем начала обслуживания и временем поступления заявки в систему.

11. В столбец 11 скопируйте порядковые номера покупателей их столбца 1.

12. Для того, чтобы определить длину очереди, надо знать порядковый номер последнего покупателя, уже обслуженного к моменту поступления очередной заявки. Значение в ячейке M12 равно 0, т.к. к моменту прихода первого клиента еще никого не обсуживали. В ячейку M13 введите формулу:

=ВПР(F13;I$12:L13;4).

О встроенной функции ВПР() подробнее можно прочитать во встроенном справочнике по MS Excel.

13. В столбце 13 вычислим длину очереди, которая образовалась к моменту прихода очередного покупателя. В ячейку N12 введите формулу:

=L12-M12-1.

Из порядкового номера покупателя вычитается порядковый номер последнего обслуженного покупателя и вычитается еще единица, т.к. один клиент в данный момент обслуживается.

14. Вычислим время простоя продавца (столбец 14). Простоем называется временная пауза, которая возникает между обслуживанием двух последовательно поступивших заявок. Если время начала обслуживания очередного покупателя больше времени окончания обслуживания предыдущего покупателя, то это означает, что между двумя покупателями был промежуток времени, в течение которого канал обслуживания был свободен (продавец отдыхал, т.е. простаивал). В ячейку O12 введите формулу:

=ЕСЛИ(G13>I12;G13-I12;0).

15. Вычислим основные характеристики СМО. Коэффициент загруженности продавца можно найти по формуле:

, (15)

где - время простоя канала обслуживания между обслуживанием заявок с номерами и ; - количество прошедших через систему заявок; - общее время моделирования. В качестве в нашем примере можно взять время окончания обслуживания последнего покупателя. В ячейку L3 введите формулу:

=1-СУММ(O12:O111)/I111.

Среднюю длину очереди найдем по формуле:

, (16)

где - длина очереди, которую пришлось выстоять i-му клиенту. В ячейку L4 введите формулу:

Среднее время ожидания в очереди найдем по формуле:

, (17)

где - время, проведенное в очереди i-ой заявкой. В ячейку L5 введите формулу:

=СРЗНАЧ(K12:K111).

Чтобы найти максимальную длину очереди, в ячейку L6 введите формулу:

=МАКС(N12:N111).

Среднее время пребывания заявки в системе найдем по формуле:

, (18)

где - время, проведенное в системе i-ой заявкой. В ячейку L7 введите формулу:

=СРЗНАЧ(J12:J111).

Замечание. Все рассчитанные в п.15. характеристики работы СМО являются случайными величинами и они будут меняться от прогона к прогону.

В результате мы получили заполненную формулами таблицу, которая является табличной имитационной моделью одноканальной СМО с отказами. Достоинство этой табличной модели заключается в том, что с ее помощью мы можем провести неограниченное количество вычислительных экспериментов с моделью СМО. Для того, чтобы провести новый вычислительный эксперимент и сымитировать работу магазина в течение нового торгового дня (обслуживание 100 покупателей) в Excel достаточно нажать клавишу F9. После этого во втором и третьем столбцах, функция СЛЧИС() сгенерирует новые выборки равномерно распределенных чисел, и мы получим новых выходные характеристики СМО.

Для того, чтобы сделать окончательный вывод об эффективности работы моделируемой СМО, проведем серию из 10 вычислительных экспериментов. После каждого прогона будем фиксировать значения выходных характеристик СМО. Результаты вычислительных экспериментов приведены в таблице 2.

Таблица 3. Результаты вычислительных экспериментов над СМО при .

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Средние
Коэффициент загруженности продавца,	0,88	0,85	0,92	0,93	0,75	0,81	0,83	0,83	0,77	0,72	0,83
Средняя длина очереди,	2,12	3,63	6,31	3,77	1,38	4,62	2,06	3,63	2,20	1,31	3,10
Среднее время ожидания в очереди,	9,96	20,29	42,56	19,38	5,69	25,19	9,51	18,50	9,76	5,62	16,65
Максимальная длина очереди	6,00	11,00	16,00	9,00	7,00	16,00	7,00	11,00	10,00	6,00	9,9
Среднее время пребывания заявок в системе,	15,20	25,87	49,04	24,90	10,16	30,18	14,70	23,35	14,61	10,33	21,83

Вычислив средние значения параметров за 10 прогонов, получим окончательные оценки эффективности работы данной СМО (см. последний столбец таблицы 2). Коэффициент загруженности продавца равен 0,83, то есть 83% своего рабочего времени продавец занят консультированием клиентов, а 17% рабочего времени продавец простаивает. При этом средняя длина очереди составляет 3,1, то есть каждый пришедший покупатель вынужден выстоять очередь в среднем из трех человек. Казалось бы, резерв для повышения эффективности есть, и продавец мог бы эффективнее распоряжаться своим рабочим временем, но возникновение очереди связано не с плохой работой продавца, со случайным характером времени поступления заявок и времени их обслуживания.

Что же можно сделать для повышения эффективности работы? Повлиять на интенсивность потока клиентов мы не можем, увеличение количества каналов обслуживания в данной модели не рассматривается, значит единственный выход заключается в уменьшении среднего времени обслуживания клиентов. Если средне время обслуживания снизится с 5 до 4 минут, то интенсивность потока обслуженных клиентов увеличится до .

Проведем еще одну серию из 10 вычислительных экспериментов и посмотрим, как изменились основные характеристики системы. Результаты приведены в таблице 3.

Таблица 4. Результаты вычислительных экспериментов над СМО при .

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Средние
Коэффициент загруженности продавца,	0,88	0,61	0,87	0,67	0,75	0,57	0,59	0,78	0,57	0,74	0,70
Средняя длина очереди,	2,74	0,83	5,46	0,73	1,41	1,26	0,97	3,73	0,85	2,38	2,04
Среднее время ожидания в очереди,	12,26	3,05	25,38	2,61	6,25	4,78	4,40	18,68	3,32	10,63	9,14
Максимальная длина очереди	8,00	5,00	15,00	4,00	6,00	7,00	6,00	11,00	4,00	8,00	7,4
Среднее время пребывания заявок в системе,	17,05	6,95	30,40	7,06	10,76	8,55	9,03	23,09	7,32	15,19	13,54

Из таблицы 4 видно, что значения всех показателей работы СМО существенно изменились: среднее длина очереди уменьшилась до 2-х человек, среднее время ожидания в очереди сократилось с 16 до 9 минут, коэффициент загруженности продавца уменьшился с 0,83 до 0,7. Вывод: с уменьшением среднего времени обслуживания заявок система стала функционировать эффективнее.

Замечание. В данном примере не оговаривается, каким образом можно снизить среднее время обслуживания клиентов, и не известно, как это отразится на качестве обслуживания. Также в данной задаче не учитывались экономические последствия от сокращения среднего времени обслуживания (увеличение доходов за счет роста выручки, рост потенциальных потерь за счет большего числа клиентов, недовольных качеством обслуживания).

Алгоритм решения задачи

Для построения имитационной модели в Excel создадим таблицу, приведенную в приложении 2.

1. Все параметры задачи необходимо привести к одной размерности, т.е. выразить в сопоставимых величинах. В нашей задаче в качестве единицы времени выберем размерность «минута». Получим:

λ=18 заявок/час=0,3 заявки/мин;

μ=1/=0,1 заявок/мин.

Введите значения , и в ячейки F1, I1 и L1 соответственно.

2. В строке 2 таблицы получим выборку из 20 равномерно распределенных псевдослучайных чисел при помощи функции СЛЧИС(). Функция СЛЧИС() имеет следующую особенность: при нажатии клавиши F9 на клавиатуре, в ячейках, в которых введена функция СЛЧИС() генерируется новая реализация равномерно распределенных чисел. Получите 2 такие выборки по 20 значений в каждой и скопируйте их во 3-ю и 4-ю строки рабочей таблицы. При копировании из буфера обмена воспользуйтесь функцией Специальная вставка/Вставить значения.

3. В строке 5 получим интервалы времени между приходом клиентов. Для этого необходимо преобразовать выборку равномерно распределенных чисел из строки 3 в выборку, имеющую показательный закон распределения по формуле (6). В Excel, в ячейке С7 введите формулу:

= - (1/F1)*LN(С5).

Полученные значения необходимо округлить до ближайшего большего целого числа (см. пример 2). Для того чтобы округлить значения до ближайшего большего целого используйте встроенную функцию ОКРВВЕРХ(). В ячейке С7 должна быть формула:

=ОКРВВЕРХ(- (1/$F$1)*LN(С5);1).

4. В строку 6 заносится время поступления заявок, ранжированное в порядке возрастания (кумулятивным образом). Время поступления первой заявки равно значению в ячейке С7. Время поступления второй и последующих заявок получаем по формуле .

В ячейку D8 введите формулу =C8+D7, и скопируйте ее до конца строки.

5. Длительность обслуживания заявок является случайной величиной, распределенной по показательному закону с параметром . Для получения продолжительностей обслуживания заявок используем формулу:

где - случайные числа, имеющие показательный закон распределения; - равномерно распределенные случайные числа из строки 4. Полученные значения округлим до ближайшего большего целого числа для удобства дальнейшей работы с таблицей. В ячейке С9 введите формулу:

=ОКРВВЕРХ(-1/$I$1*LN(C6);1).

6. В строках 8 и 10 расчетной таблицы реализуется логическая функция принятия решения о приеме заявки на обслуживания либо отказе:

. (19)

Переменная – это булева (двоичная) переменная, которая может принимать только два значения: 1 либо 0. Значение имеет смысл: «данный канал свободен и заявка, поступившая в момент времени принимается на обслуживание»; означает отказ в приеме заявки (канал занят, и заявка передается в другой канал). Если оба канала заняты (), то согласно условию задачи (система с отказами) заявка покидает СМО, и счетчик отказов (строка 12) принимает значение 1, в противном случае, когда заявка принята на обслуживание в один из каналов, .

7. В строках 9 и 11 таблицы необходимо указать время окончания обслуживания поступивших на данный канал заявок.

8. Оценка вероятности отказа в обслуживании находится по формуле:

. (20)

Анализ решения. Если вероятность отказа в обслуживании, рассчитанная по формуле (20), велика, то это означает, что СМО работает неэффективно и необходимо либо увеличить количество каналов обслуживания, либо попытаться сократить среднее время обслуживания заявок.

Проведем 3 серии вычислительных экспериментов по 10 прогонов в каждом, меняя среднее время обслуживания заявок в системе и проанализируем как это отразится на оценке вероятности отказа в обслуживании.

Замечание. Для того, чтобы сократить время проведения вычислительных экспериментов и автоматизировать процесс подсчета числа отказов можно использовать логические встроенные функции Excel: ЕСЛИ(), И(), ИЛИ(). Эти функции используются для автоматического заполнения строк №№ 8, 9, 10, 11 и 12 табличной имитационной модели.

Результаты вычислительных экспериментов приведены в таблице 5.

Таблица 5. Вероятность отказа в обслуживании при разных значениях .

Номер эксперимента	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Средние
	0,15	0,7	0,55	0,5	0,6	0,45	0,3	0,45	0,45	0,4	0,45
	0,35	0,35	0,35	0,65	0,45	0,6	0,6	0,35	0,35	0,25	0,43
	0,4	0,5	0,35	0,2	0,4	0,55	0,5	0,5	0,45	0,25	0,41

Из таблицы видно, что средняя вероятность отказа в обслуживании при равна 0,45.

Сравним результат, полученный в результате имитации с аналитическим решением, которое можно найти, используя формулу (9):

, ,

где - нагрузка на систему.

Для текущей задачи , . Вероятность отказа в обслуживании будет равна:

Полученное аналитическое решение отличается от результата, полученного методом статистического моделирования. Объяснить это можно тем, что в имитационной модели присутствует элемент случайности.

Замечание. При неограниченном росте числа требований () результаты имитации должны сходиться с аналитическим решением данной задачи.

Полученное в результате вычислительного эксперимента значение означает, что в среднем 9 из 20 поступившихся в систему заявок получают отказ. То есть СМО работает недостаточно эффективно. Уменьшить вероятность отказа можно либо добавив 3-й канал обслуживания, либо уменьшив . При уменьшении среднего времени обслуживания заявок, интенсивность потока обслуженных заявок растет, и меньшее количество поступивших заявок получает отказ. Соответственно, вероятность отказа в обслуживании снижается.

Полученную табличную имитационную модель можно использовать для имитации работы любых двухканальных СМО. При этом случайные параметры СМО (время поступления требований и время обслуживания) могут иметь любой закон распределения. Для моделирования случайных величин с заданным законом распределения можно воспользоваться инструментом Excel Анализ данных / Генерация случайных чисел.

Меняя значения параметров , и можно подобрать такие характеристики СМО, при которых вероятность отказа в обслуживании будет приемлемой.

Кроме того, полученную табличную модель несложно модифицировать, добавив дополнительные каналы обслуживания.

Модель Уилсона.

Модель Уилсона позволяет определить оптимальную величину заказа товара, при которой издержки на оформление, доставку и хранение товара за некоторый период времени (чаще всего, за год) будут минимальными.

Допущения модели:

1) уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью (уровень спроса постоянный);

2) выполнение заказа осуществляется мгновенно, т.е. время доставки равно нулю;

3) накладные расходы, связанные с размещением заказа и поставкой товара не зависят от объема партии и равны постоянной величине ;

4) стоимость хранения единицы товара за период времени постоянна.

Процесс восстановления уровня запасов показан на рисунке 6.

Рис. 6. Процесс изменения уровня запасов в модели Уилсона.

Введем обозначения: – спрос (интенсивность расходования запасов), за период времени T; – расходы на оформление заказа; – стоимость хранения единицы товара за единицу времени; – интервал времени, для которого рассчитывается оптимальный объем заказа (время моделирования); – период времени между поставками (длина цикла); – общее число заказанных партий за период ; – точка заказа, то есть объем запасов на складе, при котором надо заказывать очередную партию; – время доставки; – оптимальный объем заказываемой партии;

Предположим, что величина спроса за период известна и равна . Тогда общее число заказанных партий за весь период можно найти как

, (21)

где - размер заказываемой партии. С другой стороны, если известна длина цикла , то количество партий за период можно найти как

. (22)

Средний уровень запасов за период времени продолжительность (дней) равен , тогда затраты на хранение этого количества запасов за период будут равны . Так как за период времени, равный запасы пополняются один раз, то общие затраты на заказ и хранение одной партии будут равны .

Тогда функция затрат за период времени будет равна:

. (23)

В формуле (23) заменим дробь на в силу (21) и (22), и получим:

. (24)

Выражение (24) - это функция затрат в модели управления запасами. Чтобы определить при каком значении (размер партии) совокупные затраты будут минимальны, необходимо взфть производную по и приравнять ее к нулю:

Оптимальный размер партии будет равен:

(25)

Используя соотношения (21) и (22) можно вывести формулы для , и . Например, длительность цикла заказа равна

. (26)

Точка заказа - это такой уровень запаса, при достижении которого делается новый заказ.

, (27)

где - время доставки заказа.

Замечание. В формуле (27) значения и должны быть приведены к одному периоду времени. Если известен объем спроса за год, то время доставки тоже надо выразить в долях года. Или наоборот, если известен срок доставки в днях, то надо вычислить объем спроса за 1 день.

Модель Уилсона проста и удобна в использовании, но мало применима на практике, из-за жестких допущений, которые лежат в ее основе. Рассмотрим их подробнее.

На практике интенсивность спроса редко бывает постоянна. Величина спроса зависит от множества факторов, таких как сезонность, цена, наличие на рынке аналогичных товаров и т.д. В общем случае величину спроса можно рассматривать как случайную величину, которая теоретически может принять любое значение. Закон распределения спроса можно приближенно установить по данным за предшествующие периоды времени.

В модели Уилсона предполагается, что доставка заказа и пополнение запаса происходит мгновенно. В это, естественно, не так. Время доставки также зависит от множества факторов, таких как вид товара, объем поставки, условия перевозки, время года, загруженность транспорта и т.д. Время доставки также следует рассматривать как случайную величину со своим законом распределения.

И наконец, в модели Уилсона предполагается, что расходы, связанные с оформлением заказа и расходы на хранение единицы запаса постоянны. И это предположение не соответствует действительности. Расходы на оформление заказа могут меняться в зависимости от вида товара, удаленности поставщика, условий доставки груза. Затраты на хранение запасов зависят от величины этих запасов. От количества хранящегося на складе имущества зависит и количество складских работников, и режим охраны склада и затраты на электроэнергию и обогрев складских помещений.

Очевидно, что предпосылки, лежащие в основе модели Уилсона (и многих других моделей управления запасами) далеки от реальности. Если при управлении запасами использовать оценки, полученные при помощи детерминированной модели (оптимальный размер партии , длительность цикла ), это может привести к существенным экономическим потерям.

Попробуем использовать метод имитации для определения приемлемых параметров работы склада.

Пример создания имитационной модели управления запасами.

Пример 4. ООО "Глобус" реализует школьные глобусы. В среднем каждый день продается 5 глобусов. Стоимость хранения 1-го глобуса на складе в течение 1 дня составляет 0,2 руб. Затраты на организацию доставки очередной партии глобусов равны 50 руб. Время поставки в среднем равно 3 дням.

Определить оптимальный размер заказываемой партии , при которой суммарные издержки на хранение и заказ глобусов будут минимальны. Интервал моделирования принять равным 100 дням.

Решение. Решим задачу двумя способами: используя модель Уилсона и метод статистического моделирования. Запишем исходные данные задачи в принятых обозначениях.

Дано: дней; глобусов/день или глобусов за 100 дней; руб./день; руб.; дня.

Оптимальный размер партии будет равен шт.

Точка заказа шт.

Количество поставок за 100 дней поставок.

Длина цикла дней.

Суммарные затраты за период в 100 дней

руб.

Полученное решение () было бы оптимальным в идеальных условиях: интенсивность спроса постоянна, время поставки фиксировано. Теперь построим в Excel табличную модель, имитирующую работу ООО "Глобус" в более реалистичных условиях.

Предположим, что величина спроса является случайной величиной. На основе данных о продажах глобусов за прошлый год, можно предположить, что величина спроса имеет близкий к нормальному закон распределения с параметрами (математическое ожидание) и (среднеквадратическое отклонение).

Время доставки очередной партии товара также является случайной величиной и имеет дискретный закон распределения, описанный в таблице 6.

Таблица 6. Закон распределения времени доставки.

	1	2	3	4	5
	0,07	0,2	0,6	0,1	0,03

Будем считать, что затраты на хранение единицы товара в единицу времени постоянны () и затраты на оформление заказа фиксированы (). Также будем считать, что ООО "Глобус" придерживается рекомендаций, полученных с использованием модели Уилсона: размер партии , точка заказа единиц.

Алгоритм решения задачи.

Создайте в Excel рабочую таблицу согласно образцу из Приложения 3.

1. Будем имитировать работу ООО "Глобус" в течение 100 дней. В первом столбце таблицы проставлены порядковые номера от 1 до 100. Начальный размер запасов установим равным 20 (ячейка C6). Для всех остальных дней, начиная со второго величина запаса при открытии будет равна остатку запаса на конец предыдущего дня. В ячейку С7 введите "=J6" (остаток на конец первого дня) и скопируйте до конца таблицы.

2. Далее необходимо сгенерировать значения спроса на ближайшие 100 работы предприятия. На отдельном листе создайте вспомогательную таблицу (см. рисунок 7). В таблице должно быть 100 строк. В ячейку С3 введите формулу:

=ЦЕЛОЕ(НОРМОБР(СЛЧИС();$G$10;$G$11)).

Функция НОРМОБР() возвращает значение случайной величины, имеющей нормальный закон распределения по известному значению вероятности. В качестве значений вероятностей используются случайные равномерно распределенные числа, которые генерирует функция СЛЧИС() (она является одним из параметров функции НОРМОБР()). В ячейках G10 и G11 находятся значения математического ожидания и среднеквадратического отклонения величины спроса. Функция НОРМОБР() возвращает вещественное число, а внешняя функция ЦЕЛОЕ() округляет его до ближайшего целого значения, т.к. количество проданных за день глобусов должно быть целым числом.

Рисунок 7. Генерация величины спроса.

Растяните формулу до конца таблицы, получим выборку из 100 реализаций случайной величины спроса. Скопируйте эти данные в столбец №3 основной таблицы. При копировании используйте функцию Excel Специальная вставка (надо скопировать только значения, а не формулу).

Замечание. Среди 100 сгенерированных значений может оказаться некоторое количество отрицательных чисел. Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина, с параметрами и =2 равна 0,0062. То есть, это редкое, но возможное событие. Отрицательные значения спроса будем трактовать, как возврат товара на склад.

3. Сгенерируем случайные значения времени доставки заказов. На отдельном листе рабочей книги Excel создайте еще одну вспомогательную таблицу (см. рисунок 8).

Рис. 8. Генерация времени доставки

Время доставки – это случайная величина с дискретным законом распределения (таблица 6). Запустите инструмент Анализ данных / Генерация случайных чисел, в списке доступных распределений выберите Дискретное и укажите блок ячеек на рабочем листе Excel, в которых указаны все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности. На рис. 6 эти ячейки выделены зеленым цветом.

В поле Число случайных чисел поставьте значение "20". Это значение выбрано из следующих соображений: ранее мы определили, что при постоянном спросе за период дням будет сделано равно 10 заказов. В том случае, когда спрос является случайной величиной, количество заказов за период времени может отличаться от 10. Но, в любом случае, количество заказов вряд ли будет больше 20.

В поле Выходной интервал укажите блок ячеек $C$3:$C$22 (на рисунке 8 эти ячейки выделены серым цветом). После нажатия на клавишу "ОК", Excel сгенеррирует 20 случайных значений времени доставки заказа (см. рисунок 9).

Рис. 9. Случайная реализация времени доставки заказов.

4. В ячейку J6 введите формулу:

=ЕСЛИ(C6-D6+I6>0;C6-D6+I6;0).

Эта формула вычисляет уровень запасов на конец дня. При этом, если остаток запасов на конец дня больше нуля, то этот остаток отображается в ячейке. В противном случае, отображается 0 (запасы кончились).

5. В ячейку K6 введите формулу:

=ЕСЛИ(J6=0;ABS(C6-D6+I6);"").

Здесь проверяется условие: если спрос на товар в течение дня был больше наличного остатка товара, то в ячейке отображается величина неудовлетворенного спроса (дефицит).

6. В столбце 9 вычислим стоимость хранения запасов за текущий день. Для этого остаток запаса на конец дня умножим на стоимость хранения одной единицы запасов (). В ячейку L6 введите формулу:

=J6*0,2.

Скопируйте формулы в ячейках J6, K6, L6 до конца таблицы.

7. Оставшиеся столбцы №4, 5, 6 заполняются вручную. Как только уровень запасов становится ниже (точка заказа), делается заказ очередной партии товара в объеме . Процесс оформления заказов, их поступления и динамику остатка товара на складе можно проследить по таблице 7.

Таблица 7. Табличная имитационная модель работы склада ().

№ дня	Величина запасов при открытии	Спрос	Разме-щенные заказы	Время поставки	Полученные заказы	Уровень запасов при закрытии	Дефицит	Стоимость хранения
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	20	3				17		3,4
2	17	5				12		2,4
3	12	5	заказ	3		7		1,4
4	7	4				3		0,6
5	3	7				0	4	0
6	0	5			50	45		9
7	45	2				43		8,6
8	43	7				36		7,2
9	36	3				33		6,6
10	33	2				31		6,2
11	31	2				29		5,8
12	29	2				27		5,4
13	27	7				20		4
14	20	7				13		2,6
15	13	2	заказ	2		11		2,2
16	11	1				10		2
17	10	5			50	55		11
18	55	5				50		10
19	50	4				46		9,2
20	46	3				43		8,6
21	43	4				39		7,8
22	39	5				34		6,8
23	34	3				31		6,2
24	31	7				24		4,8
25	24	5				19		3,8
26	19	6				13		2,6
27	13	0	заказ	5		13		2,6
28	13	5				8		1,6
29	8	4				4		0,8
30	4	3				1		0,2
31	1	5				0	4	0
32	0	3			50	47		9,4
33	47	5				42		8,4
34	42	3				39		7,8
35	39	2				37		7,4
36	37	4				33		6,6
37	33	2				31		6,2
38	31	4				27		5,4
39	27	3				24		4,8
40	24	3				21		4,2
41	21	2				19		3,8
42	19	10				9		1,8
43	9	2	заказ	1		7		1,4
44	7	4			50	53		10,6
45	53	7				46		9,2
46	46	-2				48		9,6
47	48	7				41		8,2
48	41	2				39		7,8
49	39	2				37		7,4
50	37	4				33		6,6
51	33	8				25		5
52	25	3				22		4,4
53	22	5				17		3,4
54	17	6				11		2,2
55	11	5	заказ	3		6		1,2
56	6	7				0	1	0
57	0	4				0	4	0
58	0	5			50	45		9
59	45	1				44		8,8
60	44	3				41		8,2
61	41	4				37		7,4
62	37	4				33		6,6
63	33	5				28		5,6
64	28	5				23		4,6
65	23	4				19		3,8
66	19	2				17		3,4
67	17	3				14		2,8
68	14	5	заказ	2		9		1,8
69	9	6				3		0,6
70	3	8			50	45		9
71	45	5				40		8
72	40	6				34		6,8
73	34	3				31		6,2
74	31	4				27		5,4
75	27	4				23		4,6
76	23	4				19		3,8
77	19	2				17		3,4
78	17	5				12		2,4
79	12	5	заказ	3		7		1,4
80	7	4				3		0,6
81	3	6				0	3	0
82	0	4			50	46		9,2
83	46	6				40		8
84	40	0				40		8
85	40	6				34		6,8
86	34	4				30		6
87	30	4				26		5,2
88	26	4				22		4,4
89	22	3				19		3,8
90	19	4				15		3
91	15	3				12		2,4
92	12	6	заказ	3		6		1,2
93	6	3				3		0,6
94	3	2				1		0,2
95	1	4			50	47		9,4
96	47	4				43		8,6
97	43	6				37		7,4
98	37	-1				38		7,6
99	38	6				32		6,4
100	32	6				26		5,2

Сравним результаты имитации с решением, полученным по модели Уилсона. За период времени было сделано 8 заказов (в детерминированной модели ). Средняя длина цикла дней (в модели Уилсона ). В имитационной модели мы учитывали такую категорию затрат, как потери от неудовлетворенного спроса (дефицит). Пусть функция потерь имеет вид:

, (28)

где - остаток товара на складе в конце дня t; - неудовлетворенный спрос (дефицит) в день t; - прибыль от реализации 1 глобуса.

Суммарные затраты на хранение остатков товара (сумма в столбце №9 таблицы 7). Неудовлетворенный спрос за период времени составляет единиц (сумма значений в столбце №8). Предположим, что прибыль от реализации 1 глобуса составляет 150 руб. Тогда величина общих затрат за 100 дней по (28):

рублей.

Наибольший вклад в величину общих затрат вносят потери от дефицита (150*16=2400 рублей). Значит, чтобы снизить суммарные затраты, необходимо избегать ситуаций, когда на складе нет достаточного количества товара. Добиться этого можно, например, увеличив значение (точка заказа). При этом средняя величина товарных остатков вырастет и это приведет к некоторому росту издержек на хранение запасов, но сокращение потерь от дефицита должно в итоге снизить величину суммарных затрат .

Пусть точка заказа , т.е. если товарный остаток становится меньше или равен 20, оформляется новый заказ на поставку в объеме глобусов. Сгенерируем в Excel новые значения величины спроса и времени доставки и заполним рабочую таблицу. Результаты эксперимента приведены а таблице 8.

Таблица 8. Табличная имитационная модель работы склада ().

№ дня	Величина запасов при открытии	Спрос	Разме-щенные заказы	Время поставки	Полученные заказы	Уровень запасов при закрытии	Дефицит	Стоимость хранения
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	20	8	заказ	1		12		2,4
2	12	3			50	59		11,8
3	59	8				51		10,2
4	51	5				46		9,2
5	46	4				42		8,4
6	42	4				38		7,6
7	38	9				29		5,8
8	29	3				26		5,2
9	26	6				20		4
10	20	6	заказ	3		14		2,8
11	14	5				9		1,8
12	9	5				4		0,8
13	4	8			50	46		9,2
14	46	6				40		8
15	40	5				35		7
16	35	6				29		5,8
17	29	0				29		5,8
18	29	3				26		5,2
19	26	4				22		4,4
20	22	3				19		3,8
21	19	8	заказ	3		11		2,2
22	11	7				4		0,8
23	4	5				0	1	0
24	0	4			50	46		9,2
25	46	6				40		8
26	40	5				35		7
27	35	3				32		6,4
28	32	2				30		6
29	30	4				26		5,2
30	26	8				18		3,6
31	18	3	заказ	3		15		3
32	15	5				10		2
33	10	2				8		1,6
34	8	5			50	53		10,6
35	53	6				47		9,4
36	47	4				43		8,6
37	43	6				37		7,4
38	37	6				31		6,2
39	31	5				26		5,2
40	26	0				26		5,2
41	26	3				23		4,6
42	23	5				18		3,6
43	18	4	заказ	3		14		2,8
44	14	2				12		2,4
45	12	4				8		1,6
46	8	5			50	53		10,6
47	53	0				53		10,6
48	53	5				48		9,6
49	48	3				45		9
50	45	6				39		7,8
51	39	4				35		7
52	35	0				35		7
53	35	6				29		5,8
54	29	3				26		5,2
55	26	3				23		4,6
56	23	1				22		4,4
57	22	6				16		3,2
58	16	6	заказ	2		10		2
59	10	6				4		0,8
60	4	5			50	49		9,8
61	49	7				42		8,4
62	42	4				38		7,6
63	38	7				31		6,2
64	31	8				23		4,6
65	23	4				19		3,8
66	19	2	заказ	2		17		3,4
67	17	3				14		2,8
68	14	6			50	58		11,6
69	58	4				54		10,8
70	54	5				49		9,8
71	49	5				44		8,8
72	44	4				40		8
73	40	4				36		7,2
74	36	3				33		6,6
75	33	6				27		5,4
76	27	5				22		4,4
77	22	-1				23		4,6
78	23	6				17		3,4
79	17	5	заказ	3		12		2,4
80	12	8				4		0,8
81	4	4				0		0
82	0	5			50	45		9
83	45	6				39		7,8
84	39	3				36		7,2
85	36	1				35		7
86	35	4				31		6,2
87	31	2				29		5,8
88	29	6				23		4,6
89	23	6				17		3,4
90	17	3	заказ	2		14		2,8
91	14	5				9		1,8
92	9	8			50	51		10,2
93	51	6				45		9
94	45	1				44		8,8
95	44	5				39		7,8
96	39	6				33		6,6
97	33	5				28		5,6
98	28	6				22		4,4
99	22	7				15		3
100	15	4	заказ	3		11		2,2

Как видно из таблицы 8, за 100 дней дефицит товара возник только один раз (23-й день работы). Было сделано 10 заказов, при этом последний заказ пришелся на последний день работы и не был доставлен. Суммарные издержки на хранение товаров составили рубля. Общие затраты составили рубля, что гораздо меньше, чем в предыдущем примере.

Задания для самостоятельной работы.

Задание 1. Получение случайных чисел при помощи арифметических генераторов.

а) Получите выборку из 10 равномерно распределенных псевдослучайных чисел методом серединных квадратов. Начальное значение выберите самостоятельно.

б) Получите выборку из 20 равномерно распределенных псевдослучайных чисел при помощи линейного конгруэнтного генератора:

; ,

при , и .

Задание 2. Рассмотрим работу n-канальной СМО с отказами. Входящий поток заявок имеет показательный закон распределения с интенсивностью , а время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону, с параметром . Найти вероятность отказа в обслуживании в данной системе, относительную и абсолютную пропускную способность и среднее число занятых каналов. Указанные характеристики определить аналитически.

Задание 3. Смоделируйте в Excel работу одноканальной СМО с очередью. Пусть интенсивоность входящего потока заявок и длительность обслуживания подчиняются показательному закону распределения. Интенсивность потока заявок чел/час, среднее время обслуживания заявки минут. За время моделирования примите время обслуживания 100 посетителей.

Проведите 10 вычислительных экспериментов и определите: коэффициент загруженности канала, среднюю длину очереди, среднее время пребывания заявки в очереди, максимальную длину очереди, среднее время пребывания заявки в системе. Сделайте вывод об эффективности данной СМО. Сформулируйте предложения по повышению эффективности работы СМО.

Задание 4. Построить табличную имитационную модель двухканальной СМО с отказами в Excel. Будем считать, что входной и выходной потоки заявок подчиняются показательному закону распределения вида с параметрами и соответственно. Количество поступающих в систему заявок принять равной . Определите среднюю вероятность отказа в обслуживании.

Задача 5. Построить в Excel табличную модель, имитирующую работу торговой организации в течение 60 дней. Начальный уровень запаса составляет 100 единиц. Закон распределения спроса – равномерный на интервале [5;10]. Закон распределения времени поставки - показательный с параметром 0,5.

Стоимость хранения 1 единицы запаса в день составляют 5 руб. в день. Затраты на оформление 1 заказа равны 100 руб. Прибыль от реализации 1 единицы продукции =110 руб. Размер заказываемой партии 40 шт. Точка заказа 30.

Средствами Excel сгенерируйте случайные значения величины спроса и времени доставки заказа. Определите:

1) количество заказов , сделанных за периорд времени ;

2) среднюю длину цикла заказа ;

3) значение функции потерь, учитывающей накладные расходы на оформление заказов, затраты на хранение остатков продукции на складе и потери от неудовлетворенного спроса.

Сформулируйте свои предложения по повышению эффективности системы управления запасами.

Приложения

Приложение 1. Табличная имитационная модель одноканальной СМО с очередью (шаблон).

Приложение 2. Табличная имитационная модель двухканальной СМО с отказами (шаблон).

Приложение 3. Табличная имитационная модель системы управления запасами (шаблон).

Список литературы

1. Гармаш А.Н., Орлова И.В. Математические методы в управлении: Учеб. пособие. — М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012. – 272 с.

2. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 573 с.

3. Кораблев Ю.А. Имитационное моделирование. Тексты лекций: Учеб. пособие. — М.: Финансовый университет, кафедра «Системный анализ и моделирование экономических процессов», 2014, 122 с.

4. Емельянов А.А. Имитационное моделирование: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика. 2010. – 366 с.

5. Словари и энциклопедии: [Электронный ресурс]. URL: http://dic.academic.ru (Дата обращения: 1.11.2015).

Учебно-методическое издание

И. И. Белолипцев