При вычислении определенных интегралов пользуются формулой Ньютона-Лейбница и используют те же методы интегрирования, что и при вычислении неопределенных интегралов. Среди них часто встречаются методы непосредственного интегрирования, замены переменной, интегрирования по частям:
Теорема. Если функция 
непрерывна на некотором отрезке 
, а функция 
также непрерывна на некотором отрезке 
и имеет на этом отрезке непрерывную производную, причём отрезок функции 
отображается на отрезок ( 
), то справедливо следующее равенство:
Доказательство. Обозначим через 
одну из первообразных функции , т.е. 
на отрезке . Составим сложную функцию 
.
, последнее равенство означает, что функция является первообразной для подынтегральной функции, поэтому по формуле Ньютона-Лейбница можем записать:
С другой стороны, по формуле Ньютона-Лейбница
Из последних двух равенств следует, что
Билет №7 Площадь.
Площади ступенчатых фигур, содержащиеся в данной фигуре и содержащие данную фигуру равны соответственно 
(нижняя сумма) и 
(верхняя сумма). С другой стороны, по предыдущей лекции для интеграла вида 
справедливо 
. Так как – непрерывная функция (а следовательно, интегрируемая), то можно поделить на части таким образом, чтобы 
(условие квадрируемости для любого 
). Поскольку два числа 
и можно поместить в интервал сколь угодно малой длины таким образом, чтобы они совпадали, площадь плоской фигуры для кривой, заданной в декартовых координатах, определяется по формуле:
Замечание 1. Если кривая 
и 
, то площадь находится как 
.
Замечание 2. Если требуется найти площадь плоской фигуры, находящейся под осью 
, интеграл берут с минусом.
Замечание 3. Если требуется найти площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми, используют формулу
Если кривая задаётся в параметрической форме 
, формула принимает вид 
Если 
, то на отрезке площадь криволинейной трапеции будем находить по вышеописанной формуле при условии, что 
.
Если 
, то интеграл нужно взять по абсолютной величине: 
.
Во всех случаях, когда 
и 
сохраняют свои знаки, нужно воспользоваться формулой .
Пусть кривая задана в полярных координатах 
, а кривая 
непрерывна на отрезке 
. Угол произвольным образом разбиваем на части, проводя радиус-векторы под некоторыми углами. В результате этого деления получим некоторые криволинейные секторы. Для определённости рассмотрим один криволинейный сектор, соответствующий изменению угла 
. Внутри проводим два круговых сектора: один внутри, другой – снаружи. Из школьного курса известно, для кругового сектора с наименьшим радиусом 
и наибольшим 
, один из которых содержит криволинейный сектор, а другой – содержится в нём, известны формулы их вычисления:
Так как 
и 
соответственно являются нижней и верхней суммой непрерывной функции 
, при достаточно малой величине 
получим, что 
– площадь для вычисления фигуры, если кривая задаётся в полярных координатах.
Билет №8 Длина дуги.
Кривая называется гладкой, если 
Пусть кривая 
задана в параметрической форме 
.
1) 
Данную кривую произвольным образом с помощью параметра 
разбиваем на произвольные части: 
.
2) Эти точки соединяем отрезками. В результате получается некоторая ломаная. Чем меньше отрезки деления 
, тем меньше длины 
(звенья ломаной). 
( 
, 
, 
3) 
4) 
(длина дуги равна периметру ломаной)
5) Длина ломаной:
- расстояние между точками
max 
=max 
При 
в отрезке в силу непрерывности функций 
и 
длина каждого звена также будет стремиться к нулю. В этом случае говорят, что кривая спрямляема, а 
называют длиной дуги.
Теорема.
Гладкая кривая 
, заданная в параметрической форме, является спрямляемой(имеет длину), и её длина вычисляется как 
– формула для вычисления длины дуги в параметрической форме.
1.
2.
3. По формуле Лагранжа (о конечных приращениях)
( 
в формуле Лагранжа).
.
4.
5.
где 
– некоторая интегральная сумма для непрерывной функции 
. В силу непрерывности функций и , рассмотрев абсолютную величину разности последних двух сумм, получим:
6. 
7. 
8. Если 
задаётся в декартовых координатах 
, подставляя в формулу (1), получаем:
9. В полярных координатах:
Подставляя в формулу (1), получаем:
Билет №9 Объём тела.
Определение. Ограниченная замкнутая область в пространстве называется телом.
Пусть 
– некоторое тело, 
и 
– содержащийся и содержащий многогранники данного тела соответственно: 
. За внутреннюю меру 
данного тела понимается верхняя грань объёмов многогранников, содержащихся в данном теле: 
. За внешнюю меру 
данного тела понимается нижняя грань объёмов многогранников, содержащих данное тело: 
. Любая внутренняя мера не больше внешней. Если они равны между собой, говорят, что тело кубируемо, а 
– его объём.
Критерий кубируемости. Для того чтобы тело было кубируемо, необходимо и достаточно, чтобы можно было указать два многогранника, один из которых содержится в теле, другой – содержит его, причём их объёмы сколь угодно мало отличаются друг от друга.
Из школьного курса известно, что объём тела может быть вычислен, когда известна площадь поперечных сечений тела:
где 
– площадь поперечного сечения.
Разобьём отрезок произвольным образом на 
частей точками 
. Через эти точки деления проводим плоскости, которые разрежут наше тело на некоторые части 
с толщиной 
. На каждом слое два элементарных цилиндра с высотой : один внутри, другой – содержит данный слой. Если площадь малого цилиндра обозначить черех 
, а большого 
, то 
, 
.
Тогда разность этих объёмов 
может быть сделана сколь угодно малой при достаточной малости отрезков 
, т.к. представляет собой разность верхних и нижних сумм непрерывной, а следовательно, интегрируемой функции . Согласно предыдущим результатам получим, что 
(формула для вычисления объёма тела по заданной площади поперечных сечений, принцип Кавальери). Кроме того, можно найти объём тела вращения для на некотором отрезке .
Так как поперечное сечение – круг
– формула для вычисления объёма тела вращения при вращении вокруг оси .
Замечание. При вращении вокруг оси 
формула принимает вид
Билет №10
Определение. Последовательность точек 
, если расстояние между точками 
. В этом случае точка 
называется предельной точкой плоскости 
.
Теорема. Для того чтобы последовательность точек 
стремилась к точке 
необходимо и достаточно, чтобы 
и 
.
Доказательство. Необходимость. 
. Согласно определению 
, 
.
Достаточность. , .
(по определению).
Теорема (Больцано – Вейерштрасса). Из всякой ограниченной плоскости точек на плоскости всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность, которая сходится к некоторой предельной точке.
Доказательство – см. семестр I.
Определение (по Гейне). Если для любой стремящейся к точке последовательности точек последовательности соответствующих значений функции 
стремятся к одному и тому же пределу 
, то – предел функции 
в точке :
Определение (по Коши). Число называется пределом функции в некоторой точке , если для сколь угодно малого можно подобрать 
, такое, что для всех пар 
, которые удовлетворяют неравенствам 
, 
, из чего следует выполнение 
.
Дата: 2019-03-05, просмотров: 262.
