Билет №1 Интеграл Римана (Определённый интеграл)

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Билет №1 Интеграл Римана (Определённый интеграл).

К понятию определённого интеграла приводят следующие задачи:

1. нахождение длины пройденного пути;

2. нахождение массы неоднородного стержня;

3. нахождение площади криволинейной трапеции и др.

Подробнее рассмотрим задачу о нахождении площади криволинейной трапеции:

– неопределённая функция, находящаяся над осью . Отрезок делим произвольным образом на частей точками , …, , так что .

Из каждой точки восстанавливаем перпендикуляры до пересечения с кривой , тем самым деля криволинейную трапецию на полосок. В каждой из частей мы произвольным образом выбираем некоторую точку . Вычислим приблизительно площадь одной такой полоски: , . Чем меньше деление отрезка на приозвольные частей, тем точнее будет площадь данной фигуры при условии, что наибольшая из длин отрезков , то есть

Определение. Величину называют интегральной суммой для функции .

Определение. Площадью называют предел интегральной функции, который обладает следующим свойством: как бы ни было задано , можно найти такую при условии, что , что все интегральные суммы не зависят ни от способа деления отрезка на части, ни от выбора точек . Этот предел носит называние определённого интеграла и обозначается

Где – нижний и верхний предел интегрирования.

Билет № 2 Верхние и нижние суммы.

При стремящихся к нулю длин отрезков деления каждая из слагаемых интегральной суммы также стремится к нулю. При этом число слагаемых неограниченно возрастает. При этих условиях интегральная сумма может стремиться к какому-то пределу, но также может и не иметь этого предела. Для этого вводят понятия верхний и нижний суммы Дарбу. В силу ограниченности функции на данном отрезке она будет ограничена на каждом из отрезков деления отрезка , следовательно, можно говорить о верхней и нижней гранях функции на этих отрезках, то есть

где изменяется о т 1 до .

Объедененно эти суммы называют суммами Дарбу. ( ≤0≤ ) При геометрическом истолковании нижняя и верхняя суммы выражают площади двух ступенчатых фигур: одна из них содержится в криволинейной трапеции, а другая – содержит криволинейную трапецию.

Билет №6

Билет №7 Площадь.

Площади ступенчатых фигур, содержащиеся в данной фигуре и содержащие данную фигуру равны соответственно (нижняя сумма) и (верхняя сумма). С другой стороны, по предыдущей лекции для интеграла вида справедливо . Так как – непрерывная функция (а следовательно, интегрируемая), то можно поделить на части таким образом, чтобы (условие квадрируемости для любого ). Поскольку два числа и можно поместить в интервал сколь угодно малой длины таким образом, чтобы они совпадали, площадь плоской фигуры для кривой, заданной в декартовых координатах, определяется по формуле:

Замечание 1. Если кривая и , то площадь находится как .

Замечание 2. Если требуется найти площадь плоской фигуры, находящейся под осью , интеграл берут с минусом.

Замечание 3. Если требуется найти площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми, используют формулу

Если кривая задаётся в параметрической форме , формула принимает вид

Если , то на отрезке площадь криволинейной трапеции будем находить по вышеописанной формуле при условии, что .

Если , то интеграл нужно взять по абсолютной величине: .

Во всех случаях, когда и сохраняют свои знаки, нужно воспользоваться формулой .

Пусть кривая задана в полярных координатах , а кривая непрерывна на отрезке . Угол произвольным образом разбиваем на части, проводя радиус-векторы под некоторыми углами. В результате этого деления получим некоторые криволинейные секторы. Для определённости рассмотрим один криволинейный сектор, соответствующий изменению угла . Внутри проводим два круговых сектора: один внутри, другой – снаружи. Из школьного курса известно, для кругового сектора с наименьшим радиусом и наибольшим , один из которых содержит криволинейный сектор, а другой – содержится в нём, известны формулы их вычисления:

Так как и соответственно являются нижней и верхней суммой непрерывной функции , при достаточно малой величине получим, что – площадь для вычисления фигуры, если кривая задаётся в полярных координатах.

Билет №8 Длина дуги.

Кривая называется гладкой, если

Пусть кривая задана в параметрической форме .

1) Данную кривую произвольным образом с помощью параметра разбиваем на произвольные части: .

2) Эти точки соединяем отрезками. В результате получается некоторая ломаная. Чем меньше отрезки деления , тем меньше длины (звенья ломаной). ( , ,

4) (длина дуги равна периметру ломаной)

5) Длина ломаной:

- расстояние между точками

max

=max

При в отрезке в силу непрерывности функций и длина каждого звена также будет стремиться к нулю. В этом случае говорят, что кривая спрямляема, а называют длиной дуги.

Теорема.

Гладкая кривая , заданная в параметрической форме, является спрямляемой(имеет длину), и её длина вычисляется как – формула для вычисления длины дуги в параметрической форме.

3. По формуле Лагранжа (о конечных приращениях)

( в формуле Лагранжа).

где – некоторая интегральная сумма для непрерывной функции . В силу непрерывности функций и , рассмотрев абсолютную величину разности последних двух сумм, получим:

8. Если задаётся в декартовых координатах , подставляя в формулу (1), получаем:

9. В полярных координатах:

Подставляя в формулу (1), получаем:

Билет №9 Объём тела.

Определение. Ограниченная замкнутая область в пространстве называется телом.

Пусть – некоторое тело, и – содержащийся и содержащий многогранники данного тела соответственно: . За внутреннюю меру данного тела понимается верхняя грань объёмов многогранников, содержащихся в данном теле: . За внешнюю меру данного тела понимается нижняя грань объёмов многогранников, содержащих данное тело: . Любая внутренняя мера не больше внешней. Если они равны между собой, говорят, что тело кубируемо, а – его объём.

Критерий кубируемости. Для того чтобы тело было кубируемо, необходимо и достаточно, чтобы можно было указать два многогранника, один из которых содержится в теле, другой – содержит его, причём их объёмы сколь угодно мало отличаются друг от друга.

Из школьного курса известно, что объём тела может быть вычислен, когда известна площадь поперечных сечений тела:

где – площадь поперечного сечения.

Разобьём отрезок произвольным образом на частей точками . Через эти точки деления проводим плоскости, которые разрежут наше тело на некоторые части с толщиной . На каждом слое два элементарных цилиндра с высотой : один внутри, другой – содержит данный слой. Если площадь малого цилиндра обозначить черех , а большого , то , .

Тогда разность этих объёмов может быть сделана сколь угодно малой при достаточной малости отрезков , т.к. представляет собой разность верхних и нижних сумм непрерывной, а следовательно, интегрируемой функции . Согласно предыдущим результатам получим, что (формула для вычисления объёма тела по заданной площади поперечных сечений, принцип Кавальери). Кроме того, можно найти объём тела вращения для на некотором отрезке .

Так как поперечное сечение – круг

– формула для вычисления объёма тела вращения при вращении вокруг оси .

Замечание. При вращении вокруг оси формула принимает вид

Билет №10

Определение. Последовательность точек , если расстояние между точками . В этом случае точка называется предельной точкой плоскости .

Теорема. Для того чтобы последовательность точек стремилась к точке необходимо и достаточно, чтобы и .

Доказательство. Необходимость. . Согласно определению , .

Достаточность. , .

(по определению).

Теорема (Больцано – Вейерштрасса). Из всякой ограниченной плоскости точек на плоскости всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность, которая сходится к некоторой предельной точке.

Доказательство – см. семестр I.

Определение (по Гейне). Если для любой стремящейся к точке последовательности точек последовательности соответствующих значений функции стремятся к одному и тому же пределу , то – предел функции в точке :

Определение (по Коши). Число называется пределом функции в некоторой точке , если для сколь угодно малого можно подобрать , такое, что для всех пар , которые удовлетворяют неравенствам , , из чего следует выполнение .

Билет №17 Ряды.

Определение. Рядом называется выражение, которое получится, если все члены последовательности соединить формально знаком «плюс»: .

называется первой частичной суммой, – второй частичной суммой, …, – -ой частичной суммой.

Определение:

Говорят, что бесконечный ряд сходится, если последовательность его частичных сумм стремится к некоторому числу

, в противном случае, говорят, что ряд расходится.

Некоторые ряды:

Гармонический ряд, всегда расходится.

Обобщённый ряд Дирихле, при сходится, при – расходится.

При сходится, при – расходится.

Свойства сходящихся рядов.

1. (Необходимый признак сходимости ряда) Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при .

Доказательство. Пусть ряд сходится, тогда , , следовательно, .

Замечание. Данный признак является необходимым, но не достаточным (например, гармонический ряд).

2. а) Если сходится бесконечный ряд, то сходится и любой его остаток.

б) Если сходится какой-либо остаток ряда, сходится и сам ряд.

3. Если ряд сходится, то есть остаток стремится к нулю.

Доказательство. Согласно определению остатка .

4. Пусть дан сходящийся ряд , сумма которого равна . Если все члены этого ряда умножить на число , то получится новый сходящийся ряд, сумма которого равна .

Доказательство:

S= )= )= )=bS=

5. Пусть даны два сходящихся ряда , сумма которого равна и , сумма которого равна . Если составить новый ряд , этот ряд также будет сходиться, а его сумма будет равна .

6. Если в сходящемся ряде произвольно объединить члены ряда в группы, не меняя при этом порядка следования членов, сходимость ряда не нарушится, а сумма ряда не изменится.

Билет №18 Положительные ряды.(Необходимое и достаточное условие сходимости ряда)

Определение. Положительным рядом называется ряд, все члены которого неотрицательны.

Теорема (основная). Для того чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы все его частичные суммы были ограничены сверху некоторым числом.

Доказательство. Необходимость. Пусть ряд сходится, следовательно, существует предел . Так как ряд положительный, стремится к возрастая, а значит, (условие ограниченности).

(Последовательность частичных сумм ограничена сверху числом ).

Достаточность. . Тогда по теореме о монотонной переменной существует конечный предел последовательности частичных сумм, что . Из определения сходящегося ряда следует, что сходится.

Признак Вейерштрасса.

Пусть дан функциональный ряд вида (1). Если существует положительный сходящийся ряд , такой что для всех из промежутка выполняется условие , , то данный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на отрезке .

Доказательство:

Возьмем , существует такое N, что

Для любого р→0

Из (2) следует

Предел в левой части существует при р→0, тогда ряд будет абсолютно сходиться на промежутке .

Тогда согласно свойствам абсолютной сходимости рядов, получим

Доказывает, что для любого х принадлежащего промежутку , ряд равномерно сходится на этом отрезке.

Билет №26 Свойство 1, о непрерывности суммы

Теорема 1. Если функции непрерывны на отрезке , и ряд равномерно сходится, то – непрерывная функция на этом отрезке.

Доказательство. Возьмём . Пользуясь равномерной сходимость ряда, для числа найдём такой номер , что при будет выполняться , где – остаток некоторого функционального ряда. По формуле , (для любых ( ) из промежутка ). Если вычесть из последнего предпоследнее равенство (или наоборот), получим: