В случаях, когда истинное математическое уравнение, описывающее технологический процесс, составить затруднительно, его представляют в виде степенного ряда

y=f(x₁,x₂,….,x_n ),

где y - целевая функция, подлежащая оптимизации;

  x₁ – x_n  - независимые переменные (факторы, влияющие на целевую функцию).

Любой объект исследования может быть представлен «черным ящиком»:

В общем виде математическая модель этого объекта может быть представлена функцией: 

 y=f(U₁,V₁,Z₁,t)

На целевую функцию и на вектор входа существуют определенные ограничения:

                   a < y < b;                                     d < y < g.

Представленная функция еще не является математической моделью. Чтобы построить математическую модель надо определиться что от нее требуется.

Вид функции определяется исследователем на основании интуиции или априорной информации. Очевидно, главным требованием будет то, чтобы данная модель описывала исследуемый объект с достаточной точностью, т.е. чтобы значение целевой функции y, рассчитанной по математической модели были равны значениям целевой функции в реальных условиях или отличались от них на допустимую величину. Если это требование выполняется, то построенная модель считается адекватной.

Однако возникают случаи, когда объект исследования может быть описан математическими моделями разного вида. Тогда возникает вопрос, какая математическая модель лучше - которая проще. Например, в линейной функции y=bx неизвестной является величина коэффициента b . Она может быть определена экспериментально или теоретически, т.е. может быть построена математическая модель. С логарифмической функцией сложнее.

При прочих равных условиях предпочтительнее являются математические модели представленные степенными рядами или алгебраическими полиномами. Но полиномы могут быть разных степеней (квадратичные, кубичные), поэтому однозначного ответа нет. Задача построения математической модели сводится к выбору вида моделей ( линейная, квадратичная, кубичная) и определению величин коэффициентов. Выбор вида моделей лежит полностью на интуиции исследователя.

Все математические модели можно разделить на два вида (рис .): статические и динамические. Статистической называется такая модель, в которой не учитывается фактор времени. Динамическая модель временной фактор учитывает.

В свою очередь все математические модели разделяются на три группы: детерминированные, стохастические, комбинированные.

Математическая модель называется детерминированной, если она описывает исследуемый объект на основе законов химии, физики, термодинамики и прочих естественных наук.

    Стохастической называется модель, составленная на основе статистических данных исследуемого объекта без использования законов естественных наук.

    Комбинированные модели имеют признаки детерминированных и стохастических моделей.

Детерминированные модели (статические и динамические) представляют собой совокупность алгебраических уравнений или неравенств, характеризующих причинно-следственные связи между отдельными входами и выходами. Это могут быть уравнения энергии, термодинамики, теплообмена и пр.

    Для сложных технологических процессов построение детерминированных моделей не представляется возможным ввиду неполноты знаний. В таких случаях прибегают к построению стохастических моделей.

    Стохастические модели формально отражают вероятностный характер связи между отдельными входами и выходами исследуемого объекта. Такие модели строятся на основании специальной обработки статистических данных. Накопленных за определенный интервал времени без привлечения законов естественных наук. Это позволяет по новому оценить исследуемый объект и установить влияние каждого фактора на целевую функцию.

    Комбинированные модели сочетают в себе признаки, характерные как для детерминированных, так и для стохастических моделей. В них для описания исследуемого объекта принимается подходящий вид уравнения, а коэффициенты этого уравнения определяются методами параметрической идентификации объекта.

    Математическая модель постоянно уточняется, что имеет большое значение в процессе познания объекта. Знание математической модели объекта позволяет решать конкретные задачи повышения эффективности производства, оптимизировать процессы получения, обработки, создания и выбора материалов с помощью методов математического программирования. Использование компьютерной техники позволяет решать эти задачи за короткий промежуток времени.