Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)

где n - концентрация частиц; U - их потенциальная энергия; n_o - концентрация частиц в точках поля, где U = 0; k - постоянная Больцмана; T - термодинамическая температура; e - основание натуральных логарифмов.

 Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести)

            или

где p - давление газа; m - масса частицы;  - молярная масса; z - координата (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; p_o - давление на этом уровне; - ускорение свободного падения; R - молярная газовая постоянная.

· Вероятность того, что физическая величина x, характеризующая молекулу. лежит интервале значений от до ,

где f(x) - функция распределения молекул по значениям данной физической величины x (плотность вероятности).

· Количество молекул, для которых физическая величина x, характеризующая их, заключена в интервале значений от  до ,

                      .

· Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям) выражается двумя соотношениями:

а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от  до ,  

    ,

где  - функция распределения молекул по модулям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале от  до , к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале; N - общее число молекул; m - масса молекулы;

б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от u до u+du,

где u= - относительная скорость, равная отношению скорости  к наивероятнейшей скорости ; f(u) - функция распределения по относительным скоростям.

 Распределение молекул по импульсам. Число молекул, импульсы которых заключены в пределах от до ,                

где - функция распределения по импульсам.

 Распределение молекул по кинетическим энергиям поступательного движения. Число молекул, энергии которых заключены в интервале от  до ,

где  - функция распределения по кинетическим энергиям.

 Среднее значение физической величины x в общем случае

а в том случае если функция распределения нормирована на единицу,

где - функция распределения, а интегрирование ведется по всей совокупности изменений величины x.

Например, среднее значение скорости молекулы (т.е. средняя арифметическая скорость) ; средняя квадратичная скорость , где ; средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы                                                                  

                       .

Тепловые свойства.

 Молярная внутренняя энергия химически простых (состоящих из одинаковых атомов) твердых тел в классической теории теплоемкости выражается формулой

где R - молярная газовая постоянная; T - термодинамическая температура.

 Теплоемкость системы (тела) при постоянном объеме определяется как производная от внутренней энергии U по температуре, т.е.

 Закон Дюлонга и Пти. Молярная теплоемкость  химически простых твердых тел

 Закон Неймана - Коппа. Молярная теплоемкость химически сложных тел ( состоящих из различных атомов)

где n - общее число частиц в химической формуле соединения.

· Среднее значение энергии  квантового осциллятора, приходящейся на одну степень свободы, в квантовой теории Эйнштейна выражается формулой

                  ,

где  - нулевая энергия ;  - постоянная Планка;  - круговая частота колебаний осциллятора; k - постоянная Больцмана;T - термодинамическая температура.

· Молярная внутренняя энергия кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна определяется по формуле

                ,

где - молярная нулевая энергия по Эйнштейну; -характеристическая температура Эйнштейна.

· Молярная теплоемкость кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна                                                                                                     

                      .

При низких температурах

                                     .

· Частотный спектр колебаний в квантовой теории теплоемкости Дебая задается функцией распределения частот g . Число собственных частот тела, приходящихся на интервал частот от  до , определяется выражением

Для трехмерного кристалла, содержащего N атомов,

где  - максимальная частота, ограничивающая спектр колебаний.

· Энергия U твердого тела связана со средней энергией  квантового осциллятора и функцией распределения частот соотношением 

· Молярная внутренняя энергия кристалла по Дебаю

где -молярная нулевая энергия кристалла по Дебаю; -характеристическая температура Дебая.

· Молярная теплоемкость кристалла по Дебаю  

 .

Предельный закон Дебая. В области низких температур последняя формула принимает вид

Кристаллы. Элементы кристаллографии.

· Молярный объем кристалла

 где - молярная масса; - плотность кристалла.

Объем - элементарной ячейки в кристаллах:

а) при кубической сингонии

б) при гексагональной сингонии  Здесь и с- параметры решетки.

Если для гексагональной решетки принять теоретическое значение

                       то                          

· Число элементарных ячеек в одном моле кристалла

                       или

где - число одинаковых атомов в химической формуле соединения (например, в кристалле число одинаковых атомов или  в химической формуле соединения равно единице); - постоянная Авогадро; n - число одинаковых атомов, приходящихся на элементарную ячейку.

 Число Z элементарных ячеек в единице объема кристалла

или в общем случае

для кристалла, состоящего из одинаковых атомов (k = 1),

· Параметр кубической решетки

Расстояние d между соседними атомами в кубической решетке:

а) в гранецентрированной

б) в объемно-центрированной