Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов [3, §29]. Основные методы интегрирования [3, §30]. Интегрирование рациональных функций [3, §31]. Интегрирование тригоно-метрических функций [3, §32]. Интегрирование иррациональных функций [3, §33].

Пример 9. Найти неопределенные интегралы:

а)  б)

в)  г)  д)

е)

Решение.

а)

б)

в)

г) подынтегральная дробь – правильная, но ее знаменатель не до конца разложен на множители. Поэтому преобразуем знаменатель

Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей

Неизвестные коэффициенты , ,  найдем методом частных значений. Так как

то .

Положим , тогда

Положим , тогда

Так как «удобных» частных значений не осталось, то придадим  любое значение, например . Получим  или  Откуда с учетом найденных значений  и , имеем  

Значит,  Тогда

д) наименьшее общее кратное показателей корней в подынтегральном выражении равно , поэтому сделаем подстановку , получим

е)

Тема 5. определенный интеграл

Определенный интеграл [3, §35]. Свойства определенного интеграла [3, §38]. Формула Ньютона-Лейбница [3, §37]. Вычисление определенного интеграла [3, §39]. Несобственные интегралы [3, §40]. Геометрические и физические приложения определенного интеграла [3, §41].

Пример 10. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Площадь  фигуры, ограниченной  кривыми  и

, причем , прямыми  и , вычисляется по формуле

Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого решим систему уравнений

 откуда  или

Сделаем чертеж.

Таким образом,

Пример 11. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси  фигуры, расположенной в первой четверти и ограниченной параболой , прямой  и осью .

Решение. Объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси  криволинейной трапеции, ограниченной кривой  и прямыми , , , вычисляется по формуле

Найдем абсциссу точки пересечения заданной параболы и заданной прямой в первой четверти. Для этого решим систему уравнений

 откуда ,  Первой четверти соответствует корень

Найдем абсциссу точки пересечения заданной прямой с осью :

Сделаем чертеж.

Таким образом, тело вращения при  ограничено поверхностью, образованной вращением параболы  вокруг оси , а при  – вращением прямой  вокруг оси .

Следовательно, искомый объем  где

Значит,

Тема 6. двойной интеграл

Двойной интеграл [4, §7.1]. Основные свойства двойного интеграла [4, §7.3]. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах [4, §7.4]. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах [4, §7.5]. Приложения двойного интеграла [4, §7.6].

Пример 11. Записать двойной интеграл  в виде повторного интеграла двумя способами, если область интегрирования  ограничена линиями

Решение. Найдем точки пересечения заданных линий. Для этого решим систему уравнений

 откуда

Соответственно

Изобразим область .

С одной стороны, область  можно описать как часть плоскости, расположенную в полосе между прямыми  и линиями  и тогда

С другой стороны, область  можно представить в виде  где область  – часть плоскости, расположенная в горизонтальной полосе между прямыми  и линиями  область  – часть плоскости, расположенная в горизонтальной полосе между прямыми  и линиями  и тогда

Пример 12. Найти массу пластинки, ограниченной линиями  и имеющей переменную поверхностную плотность

Решение. Если пластинка занимает область  плоскости  и имеет переменную поверхностную плотность , то масса пластинки выражается двойным интегралом

Сделаем чертеж.

Имеем  где область интегрирования  – часть плоскости, расположенная в полосе между прямыми  и линиями  тогда

Вычислим внутренний интеграл по переменной , считая  константой:

Вычислим внешний интеграл от функции

Таким образом, масса пластинки равна