Тема 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

УТВЕРЖДАЮ

Ректор университета

__________ О.Н. Федонин

«___»____________2013г.

МАТЕМАТИКА

Методические указания к изучению дисциплины

для студентов заочной формы обучения направлений подготовки

151900 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» и 150700 «Машиностроение»

(II семестр)

Брянск 2013

УДК 511

Математика [Текст]+[Электронный ресурс]: методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направлений подготовки 151900 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» и 150700 «Машиностроение» (II семестр). – Брянск: БГТУ, 2013. – 43 с.

Разработали: Е.С. Золотухина, канд. физ.-мат. наук, доц.;

А.И. Горелёнков, канд. техн. наук, доц.

Рекомендовано кафедрой «Высшая математика» БГТУ

(протокол №3 от 19.11.12)

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящие МУ предназначены для оказания помощи студентам при изучении дисциплины «Математика» во втором семестре. Они содержат список рекомендуемой литературы, методические рекомендации к изучению тем курса и выполнению контрольных работ и задачи для контрольных работ.

По дисциплине «Математика» студенты во втором семестре сдают экзамен после выполнения предусмотренных учебным планом двух контрольных работ. Задания к ним приводятся в данных указаниях. При выполнении работ и их оформлении следует придерживаться следующих правил:

– студент должен выполнять контрольные задания по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой номера его зачетной книжки;

– работа должна быть выполнена в тетради, имеющей поля для замечаний рецензента;

– перед решением каждой задачи нужно привести полностью ее условие;

– следует придерживаться той последовательности при решении задач, в какой они даны в задании;

– на обложке тетради указываются наименование учебной дисциплины, номер контрольной работы, фамилия, имя, отчество (полностью) студента, номер его группы и зачетной книжки, фамилия, имя, отчество рецензента.

Список рекомендуемой литературы

1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2004. – Т. 1. – 416 с.

2. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2001. – Т. 2. – 544 с.

3. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике / Д.Т. Письменный. − 2-е изд., испр. − М.: Айрис-пресс, 2002. – Ч. 1. − 288 с.

4. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике / Д.Т. Письменный. − 2-е изд., испр. − М.: Айрис-пресс, 2002. – Ч. 2. − 254 с.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ИЗУЧЕНИЮ ТЕМ КУРСА И ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Тема 6. двойной интеграл

Двойной интеграл [4, §7.1]. Основные свойства двойного интеграла [4, §7.3]. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах [4, §7.4]. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах [4, §7.5]. Приложения двойного интеграла [4, §7.6].

Пример 11. Записать двойной интеграл в виде повторного интеграла двумя способами, если область интегрирования ограничена линиями

Решение. Найдем точки пересечения заданных линий. Для этого решим систему уравнений

откуда

Соответственно

Изобразим область .

С одной стороны, область можно описать как часть плоскости, расположенную в полосе между прямыми и линиями и тогда

С другой стороны, область можно представить в виде где область – часть плоскости, расположенная в горизонтальной полосе между прямыми и линиями область – часть плоскости, расположенная в горизонтальной полосе между прямыми и линиями и тогда

Пример 12. Найти массу пластинки, ограниченной линиями и имеющей переменную поверхностную плотность

Решение. Если пластинка занимает область плоскости и имеет переменную поверхностную плотность , то масса пластинки выражается двойным интегралом

Сделаем чертеж.

Имеем где область интегрирования – часть плоскости, расположенная в полосе между прямыми и линиями тогда

Вычислим внутренний интеграл по переменной , считая константой:

Вычислим внешний интеграл от функции

Таким образом, масса пластинки равна

ВАРИАНТ 1

Контрольная работа №3

1. Найти производные первого порядка для заданных функций:

а) ;

б) ;

в)

2. Найти производную второго порядка для функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

5. Найти частные производные первого порядка функции .

6. Найти дифференциал второго порядка функции .

7. Найти градиент и производную функции в точке по направлению вектора .

8. Найти экстремумы функции .

Контрольная работа №4

1. Найти неопределенные интегралы:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

3. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, расположенной в первой четверти и ограниченной параболой , прямой и осью .

4. Записать двойной интеграл в виде повторного интеграла двумя способами, если область интегрирования ограничена линиями

5. Найти массу пластинки, ограниченной линиями и имеющей переменную поверхностную плотность

ВАРИАНТ 2

Контрольная работа №3

1. Найти производные первого порядка для заданных функций:

а) ;

б) ;

в)

2. Найти производную второго порядка для функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

5. Найти частные производные первого порядка функции .

6. Найти дифференциал второго порядка функции .

7. Найти градиент и производную функции в точке по направлению вектора .

8. Найти экстремумы функции .

Контрольная работа №4

1. Найти неопределенные интегралы:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

4. Записать двойной интеграл в виде повторного интеграла двумя способами, если область интегрирования ограничена линиями осью

5. Найти массу пластинки, ограниченной линиями и имеющей переменную поверхностную плотность

ВАРИАНТ 3

Контрольная работа №3

1. Найти производные первого порядка для заданных функций:

а) ;

б) ;

в)

2. Найти производную второго порядка для функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

5. Найти частные производные первого порядка функции .

6. Найти дифференциал второго порядка функции .

7. Найти градиент и производную функции в точке по направлению вектора .

8. Найти экстремумы функции .

Контрольная работа №4

1. Найти неопределенные интегралы:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

5. Найти массу пластинки, ограниченной линиями и имеющей переменную поверхностную плотность

ВАРИАНТ 4

Контрольная работа №3

1. Найти производные первого порядка для заданных функций:

а) ;

б) ;

в)

2. Найти производную второго порядка для функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

5. Найти частные производные первого порядка функции .

6. Найти дифференциал второго порядка функции .

7. Найти градиент и производную функции в точке по направлению вектора .

8. Найти экстремумы функции .

Контрольная работа №4

1. Найти неопределенные интегралы:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

5. Найти массу пластинки, ограниченной линиями и имеющей переменную поверхностную плотность

ВАРИАНТ 5

Контрольная работа №3

1. Найти производные первого порядка для заданных функций:

а) ;

б) ;

в)

2. Найти производную второго порядка для функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

5. Найти частные производные первого порядка функции .

6. Найти дифференциал второго порядка функции .

7. Найти градиент и производную функции в точке по направлению вектора .

8. Найти экстремумы функции .

Контрольная работа №4

1. Найти неопределенные интегралы:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

5. Найти массу пластинки, ограниченной линиями и имеющей переменную поверхностную плотность

ВАРИАНТ 6

Контрольная работа №3

1. Найти производные первого порядка для заданных функций:

а) ;

б) ;

в)

2. Найти производную второго порядка для функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

5. Найти частные производные первого порядка функции .

6. Найти дифференциал второго порядка функции .

7. Найти градиент и производную функции в точке по направлению вектора .

8. Найти экстремумы функции .

Контрольная работа №4

1. Найти неопределенные интегралы:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

5. Найти массу пластинки, ограниченной линиями и имеющей переменную поверхностную плотность

ВАРИАНТ 7

Контрольная работа №3

1. Найти производные первого порядка для заданных функций:

а) ;

б) ;

в)

2. Найти производную второго порядка для функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

5. Найти частные производные первого порядка функции .

6. Найти дифференциал второго порядка функции .

7. Найти градиент и производную функции в точке по направлению вектора .

8. Найти экстремумы функции .

Контрольная работа №4

1. Найти неопределенные интегралы:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

5. Найти массу пластинки, ограниченной линиями и имеющей переменную поверхностную плотность

ВАРИАНТ 8

Контрольная работа №3

1. Найти производные первого порядка для заданных функций:

а) ;

б) ;

в)

2. Найти производную второго порядка для функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

5. Найти частные производные первого порядка функции .

6. Найти дифференциал второго порядка функции .

7. Найти градиент и производную функции в точке по направлению вектора .

8. Найти экстремумы функции .

Контрольная работа №4

1. Найти неопределенные интегралы:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

5. Найти массу пластинки, ограниченной линиями и имеющей переменную поверхностную плотность

ВАРИАНТ 9

Контрольная работа №3

1. Найти производные первого порядка для заданных функций:

а) ;

б) ;

в)

2. Найти производную второго порядка для функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

5. Найти частные производные первого порядка функции .

6. Найти дифференциал второго порядка функции .

7. Найти градиент и производную функции в точке по направлению вектора .

8. Найти экстремумы функции .

Контрольная работа №4

1. Найти неопределенные интегралы:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

5. Найти массу пластинки, ограниченной линиями и имеющей переменную поверхностную плотность

ВАРИАНТ 0

Контрольная работа №3

1. Найти производные первого порядка для заданных функций:

а) ;

б) ;

в)

2. Найти производную второго порядка для функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

5. Найти частные производные первого порядка функции .

6. Найти дифференциал второго порядка функции .

7. Найти градиент и производную функции в точке по направлению вектора .

8. Найти экстремумы функции .

Контрольная работа №4

1. Найти неопределенные интегралы:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

4. Записать двойной интеграл в виде повторного интеграла двумя способами, если область интегрирования ограничена линиями .

5. Найти массу пластинки, ограниченной линиями и имеющей переменную поверхностную плотность

Математика: методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направлений подготовки 151900 «Конструкторско-технологическое обеспечение машино-строительных производств» и 150700 «Машиностроение» (II семестр). – Брянск: БГТУ, 2013. – 43 с.

Екатерина Сергеевна Золотухина

Андрей Иванович Гореленков

Научный редактор В.М. Кобзев

Редактор издательства Л.И. Афонина

Компьютерный набор Е.С. Золотухина

Темплан 2013 г., п. 119

Подписано в печать Формат 60х84 1/16 Бумага офсетная

Офсетная печать. Печ. л. 2,32 Уч.-изд. л. 2,32 Т. 30 экз. Заказ

Издательство Брянского государственного технического университета

Брянск, бульвар 50-летия Октября, 7. тел. 58-82-49

Лаборатория оперативной печати БГТУ, ул. Институтская, 16.

УТВЕРЖДАЮ

Ректор университета

__________ О.Н. Федонин

«___»____________2013г.

МАТЕМАТИКА

Методические указания к изучению дисциплины

для студентов заочной формы обучения направлений подготовки

151900 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» и 150700 «Машиностроение»

(II семестр)

Брянск 2013

УДК 511

Разработали: Е.С. Золотухина, канд. физ.-мат. наук, доц.;

А.И. Горелёнков, канд. техн. наук, доц.

Рекомендовано кафедрой «Высшая математика» БГТУ

(протокол №3 от 19.11.12)

ПРЕДИСЛОВИЕ

– работа должна быть выполнена в тетради, имеющей поля для замечаний рецензента;

– перед решением каждой задачи нужно привести полностью ее условие;

– следует придерживаться той последовательности при решении задач, в какой они даны в задании;

Список рекомендуемой литературы

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ИЗУЧЕНИЮ ТЕМ КУРСА И ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Тема 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Определение производной; ее механический и геометрический смыслы. Производные суммы, разности, произведения и частного функций. Производная сложной функции. Таблица производных [3, §20]. Дифференцирование параметрически заданных функций [3, §21]. Производные высших порядков [3, §23]. Дифференциал функции [3, §24].

Пример 1. Найти производные первого порядка для заданных функций: