Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя. Возрастание и убывание функций. Максимум и минимум функций. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения графика [3, §25].

Пример 3. Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение.

1. Найдем область определения функции: .

2. Заданная функция непериодическая.

3. Исследуем функцию на четность, нечетность.

Так как  и , то функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Исследуем функцию на непрерывность.

Заданная функция является непрерывной на области определения. Точка  является точкой разрыва.

Найдем односторонние пределы функции в этой точке:

 и

Следовательно,  – точка разрыва II рода.

5. Исследуем функцию на экстремум и промежутки возрастания и убывания.

Найдем критические точки I рода:

:  откуда , .

 не существует в точке , но эта точка не принадлежит области определения функции.

Значит, ,  – точки возможного экстремума. Они разбивают числовую прямую на четыре промежутка. На каждом из них найдем знаки производной :

		0		1		2
	+	0	–	не сущ.	–	0	+
		max		не сущ.		min

Так как при переходе через точку  производная  меняет знак с «+» на «–», то  – точка максимума, тогда . Так как при переходе через точку  производная  меняет знак с «–» на «+», то  – точка минимума, тогда .

Функция возрастает при , так как на этом промежутке . Функция убывает при , так как на этом промежутке .

6. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Найдем критические точки II рода:

: таких точек нет;  не существует в точке , но эта точка не принадлежит области определения функции.

Значит, критических точек II рода нет, и, следовательно, нет точек перегиба.

Определим знаки второй производной:

		1
	–	не сущ.	+
		не сущ.

При  график функции является выпуклым, так как на этом промежутке ; при  график функции является вогнутым, так как на этом промежутке .

7. Исследуем график функции на наличие асимптот.

Найдем вертикальные асимптоты.

Так как  – точка разрыва II рода, то  – уравнение вертикальной асимптоты.

Найдем уравнения горизонтальных асимптот.

Аналогично

Значит, горизонтальных асимптот график функции не имеет.

Найдем уравнения наклонных асимптот графика функции в виде  и , где ; ; ;

Аналогично

Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

8. Найдем точки пересечения графика функции с осью .

Так как , то  – точка пересечения с осью .

По результатам исследования построим график заданной функции.

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции  на отрезке .

Решение.

Область определения заданной функции .

Найдем критические точки I рода, принадлежащие отрезку , и значения заданной функции в этих точках.

Для этого найдем производную первого порядка:

;

:  или , , , .

 не существует: таких точек нет.

Таким образом,  – критическая точка, принадлежащая отрезку .

Тогда .

Найдем значения функции на концах отрезка:

Выберем из найденных значений функции наименьшее и наибольшее: , .