Отрицание, что к парадоксу кучи применима логика, не кажется лучшим из возможных решений. Чтобы иметь какое-то значение, логика должна быть применима к естественному языку, а не только к идеальной его форме. Следовательно, нельзя избегать терминов, в которых обсуждается парадокс кучи, а сам парадокс нужно решить иначе.

Отрицание некоторых предпосылок

Отрицание некоторых предпосылок в рамках парадокса кучи на сегодня – самое привычное решение. Здесь логика применима к естественному языку. Однако возникают вопросы по поводу предпосылок, на которых основан парадокс.

Эпистемическая теория

В рамках этой теории одно из условий считается ложным, а в любом парадоксе такого типа наступает момент, когда вместо предиката используется отрицание. Вспомним парадокс лысого.

Предположим, что мы отказываемся от одной из предпосылок, кроме первой. Например, точкой отрицания будет 130 волос. Иными словами, человек, у которого 129 волос на голове, считается лысым, а тот, у кого 130, – уже не считается.

Естественно, эпистемическая теория вызывает вопросы у многих. Если одна из предпосылок ложна, то как узнать, какая именно? И как найти эту информацию? Слово «лысый» имеет значение в силу того, как оно используется. А как использовать его для определения стандарта, когда сам стандарт неизвестен?

Теория истинностного провала

Эта теория утверждает, что мы не можем знать точки отрицания, поскольку конкретной точки отрицания не существует. Интуиция подсказывает: есть группа людей, в отношении которых утверждение, что они лысые, истинно, а есть те, в отношении кого оно ложно. Но есть и группа людей «посередине»: невозможно определить, лысые они или нет.

Согласно теории истинностного провала, поскольку предложения могут быть неопределенными, а не только истинными, не все предпосылки истинны. Но и здесь есть свои проблемы.

Предложение «Дождь либо идет, либо не идет» в целом можно считать логической правдой. Но с позиции теории истинностного провала, если бы существовал пограничный случай дождя, оба утверждения были бы неопределенными, а следовательно, их нельзя было бы назвать истинными.

Метод точной оценки

Применяется для решения проблемы группы людей «посередине», о которой шла речь выше. Есть люди с редкими волосами, о которых не будет истиной сказать, что они лысые (опираясь на определение понятия «лысый»). Но в то же время такое утверждение о них не будет ложным. Очевидно, что мы сами можем принять любое решение по этому вопросу.

При методе точной оценки определение пограничной черты между лысиной и не лысиной считается «уточнением» термина «лысый». Простые предложения в отношении пограничных сценариев могут характеризоваться неопределяемостью истинностного значения, а их составные части фактически имеют истинностные значения, и метод точной оценки допускает применение стандартной логики (даже при наличии истинностных провалов). На основе идеи уточнения с позиции метода точной оценки утверждается следующее.

• Предложение истинно, только если оно истинно относительно всех уточнений.

• Предложение ложно, только если оно ложно относительно всех уточнений.

• Предложение неопределенное, если оно истинно относительно некоторых уточнений и ложно относительно других.

Итак, согласно методу точной оценки, предпосылки парадокса кучи будут истинными относительно одних уточнений, ложными – относительно других; следовательно, некоторые предпосылки неопределенные. Поэтому возможны правильные рассуждения, ведущие к ложным заключениям.

Но даже у метода точной оценки есть свои проблемы. Он утверждает, что высказывание «Дождь либо идет, либо не идет» всегда истинно, даже если ни одно из событий не является истиной. В парадоксе лысого он утверждает, что заявление «Если у человека 130 волос на голове, он не лысый, но если у него на один волос меньше, он лысый» ложно. При этом, согласно этому методу, утверждение «Есть определенное число волос, с которым человек не считается лысым, если же у него на один волос меньше, то он лыс» истинно. Налицо противоречие.